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1、函数单调性、奇偶性、对称性、周期性函数单调性、奇偶性、对称性、周期性一、知识梳理：一、知识梳理： （一）（一） 、函数的单调性、函数的单调性 1单调函数与严格单调函数单调函数与严格单调函数设为定义在上的函数，若对任何，当时，总有( )f xI12,x xI12xx() ，则称为上的增函数，特别当且仅当严格不等式)()(21xxff( )f xI成立时称为上的严格单调递增函数。12()()f xf x( )f xI() ，则称为上的减函数，特别当且仅当严格不等式)()(21xxff( )f xI成立时称为上的严格单调递减函数。12()()f xf x( )f xI2函数单调的充要条件函数单调的充
2、要条件若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有：( )f xI1x2x或1212()()0ffxx xx1212) ()()0ffxxxx（若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有：( )f xI1x2x或1212()()0ffxx xx1212) ()()0ffxxxx（3函数单调性的判断函数单调性的判断(证明证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法 4 复合函数的单调性的判定复合函数的单调性的判定对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当( )yf u( )ug x( )ug x( , )a b时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函,xa b,um n( )y
3、f u( , )m n数在区间具有单调性。( ( )yf g x, a b5由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：( )f x( )g xIJIJ (1)当和具有相同的增减性时，函数、( )f x( )g x1( )( )( )F xf xg x的增减性与 (或)相同，、2( )( )( )F xf xg x( )f x( )g x3( )( )( )F xf xg x的增减性不能确定；4( )( )( ( )0)( )f xF xg xg x(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为
4、减函( )f x( )g x( )f x( )g x数，那么：、的增减性不能确定；1( )( )( )F xf xg x2( )( )( )F xf xg x 、为增函数，3( )( )( )F xf xg x4( )( )( ( )0)( )f xF xg xg x为减函数。5( )( )( ( )0)( )g xF xf xf x（二）（二） 、函数的奇偶性、函数的奇偶性 1.1. 奇偶性的定义：奇偶性的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数( )f xx( )()f xfx为偶函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有( )f x( )f xx，则称函数为奇函数。( )
5、()f xfx ( )f x2.奇偶性的几何意义：奇偶性的几何意义： 具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函 数的图像关于轴对称。y3. .函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断(证明证明)：(1)比较与的关系；( )f x()fx(2)（）与的关系；( ) ()f x fx()0fx1(3)与的关系( )()f xfx04. .由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断：由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断：对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且( )f x( )g xIJ：IJ (1)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数
6、，那么：( )f x( )g x函数、也为奇函数；1( )( )( )F xf xg x3( )( )( )F xf xg x、为偶函数；2( )( )( )F xf xg x4( )( )( ( )0)( )f xF xg xg x(2)当和具有相异的奇偶性时，那么：( )f x( )g x、的奇偶性不能确定；1( )( )( )F xf xg x3( )( )( )F xf xg x、为奇函数。2( )( )( )F xf xg x4( )( )( ( )0)( )f xF xg xg x5( )( )( ( )0)( )g xF xf xf x区分区分：若函数是偶函数，则；)(xfy )
7、()(axfaxf若函数是偶函数，则.)(axfy)()(axfaxf （三）（三） 、函数的对称性、函数的对称性 1.1.函数自对称函数自对称（1 1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是y)()(xfxf（2 2）关于原点对称的函数（奇函数）的充要条件是0,00)()(xfxf2.一个函数图象对称性一个函数图象对称性如果函数对于一切 xR,都有 ()(xfy )()(xafxaf),那么函数 y=f(x)的图像关于直线对称是)()2(xfxafax )(axfy偶函数如果函数 对于一切 xR, 都有成立，那么函数)(xfy ()()f axf bx的图像关于直线=（由=确定）对称)(xf
8、y x2ba x2)()(xbxa如果函数对于一切, 都有成立, 那么函)(xfy xRbxafxaf2)()(数的图像关于点对称)(xfy ),(ba3.3.两个函数图像之间的对称性两个函数图像之间的对称性函数 与函数的图像关于直线 (即 y 轴)对称；函数)(xfy )( xfy0x与函数的图像关于直线; 函数 与函数)(xfy )(xfy0y)(xfy 图像关于坐标原点对称。)( xfy函数,的图像关于直线(由确定)(),(xbfyxafy2baxxbxa对称函数与函数的图像关于直线对称（由)(xfy )(xfAy2Ay 确定 2)()(xfAxfy函数与函数的图像关于点中心对称)(xf
9、y )(xnfmy)2,2(mn4.4.平移伸缩变换平移伸缩变换 左加右减（对一个左加右减（对一个 x x 而言）而言） ，上加下减（对解析式而言）：，上加下减（对解析式而言）：若将函数的图像右移 a、上移 b 个单位，得到函数的图像；若将)(xfy baxfy)(曲线的图像右移 a、上移 b 个单位，得到曲线的图0),(yxf0),(byaxf像函数的图像是把的图像沿 x 轴向左平移 a 个单位得到)0)(aaxf)(xfy 的；函数的图像是把的图像沿 x 轴向右平移个单位得)0)(aaxf)(xfy a到的；函数的图像是把的图像沿 x 轴向左平移)(awxfy)(bwxfy个单位得到的.w
10、ba （四）（四） 、函数的周期性主要结论、函数的周期性主要结论1.定义：对于函数，如果存在一个非零常数 T。使得当 x 取定义域内的每)(xf一个值时，都有，则的最小正周期为 T，T 为这个函数的)()(xfTxf)(xf一个周期.2.如果函数是 R 上的奇函数，且最小正周期为 T，那么)(xf0)2()2(TfTf3. 如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期，如果函数的最小正周期为 T 则函数的最小正周)(xf)(xf)(axf期为，如果是周期函数，那么的定义域无界aT)(xfy )(xfy 4.关于函数的周期性的几个重要性质：关于函数的周期性的
11、几个重要性质：如果是 R 上的周期函数，且一个周期为 T，那么)(xfy )()(ZnxfnTxf函数图像关于轴对称bxax ,)(2baT函数图像关于中心对称0 ,0 ,ba)(2baT或或或)0)()(1)(xfxfaxf)0)()(1)(xfxfaxf)()(xfaxf, 则的周期 T=（递推法，换21( )( )(),( ( )0,1 )2f xfxf xaf x)(xf2a元法） 二、典型例题二、典型例题 例例 1.求出下列函数的单调区间：(1) y; (2) y；（3）xx212162 x2132yxx 练习：已知函数 f (x)4x2, 求函数 f (x22x3)的递增区间。例例
12、 2. 已知函数（11yax0,0)ax求证：函数在上是单调递增的函数；(0,)若函数在上的值域是，求的值。( )f x1 ,221 ,22a例例 3. 函数在1，上是增函数，求实数 a 的取22( )(31)f xaxaxa值范围练习：函数在上是增函数，求的取值范围。xyxa( 2,)a例例 4.已知函数是定义在的减函数，且满足：( )f x(0,)()( )( ),f xyf xf y，1( )13f求；(1)f若，求 x 的取值范围。( )(2)2f xfx例例 5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在 f(x)在是增函数，如果(0,)且，则有： （ ）120,0xx12xx1
13、2121212. ()()0. ()()0. ()()0. ()()0A fxfxB f xf xC fxfxD f xf x例例 6.设 f(x)是连续的偶函数，且当 x0 时，f(x)是单调函数，则满足的所有 x 之和为_.3( )()4xf xfx例例 7.若定义在实数集上的函数 yf (x)是一个最小正周期为 3 的周期函数，且已 知f (x), 求 f ()f ()的值。 023230xxxx练习：1、设偶函数 f(x)对任意的都有，且当时，xR1(3)( )f xf x 3, 2x ，则_.( )4f xx(107.5)f2、已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足，则 f（9）的值为 (2)( )f xf x _.例例 7.已知函数 f(x)的定义域为 R，且 满足(2)( )f xf x （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若 f(x)为奇函数，且当 0x1 时，求使1( )2f xx1( )2f x 在0，2 009上的所有的个数.x例例 8.定义在 R 上的偶函数 f(x)，对 任意 x1,x20,+)(x1x2)，有, 0)()(1212 xxxfxf则 （ ） A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(-2)
