函数的定义域和值域

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1、第 1 页 共 8 页 函数的定义域和值域2.2 函数的定函数的定义义域和域和值值域域一、 【考点概述】 理解函数定义域和值域的意义， 通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义 域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果 会求一些简单的复合函数的定义域和值域 二、 【重点难点】掌握定义域和值域的常用求法 已知函数的定义域和值域确定参数的值；数形结合思 想 三、 【知识回顾】 1.构成函数的三要素：定义域定义域、对应关系对应关系、值域值域 2.函数的定义域（ （1）解决一切函数）解决一切函数问题问题必必须认须认真确定真确定该该函数的定函数的定义义域，函数的定域，

2、函数的定义义域包含三种形域包含三种形式：式： 自然型：指使函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不 为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等） ； 限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是 难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； 实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，函数的定义域的求解除要考虑解析式 有意义外，还应认真考察自变量x的实际意义。（ （2）已知函数解析式，求定）已知函数解析式，求定义义域域若是整式，则定义域为 R( )f x 分式函数的分母不为 0零次幂的底数不为 0，即的定义域为 0( )f xx

3、偶次根式函数的被开方数大于或等于 0 对数的真数大于 0，指数或对数的底数大于 0 且不为 1正切函数定义域为tanyx 2xk（ （3）求复合函数的定）求复合函数的定义义域域的定义域是指表达式中的取值范围( ( )yf g xx已知的定义域为 D，求的定义域，只需令,解得 的集合即( )f x( ( )f g x( )g xDx为所求已知的定义域为 D，求的定义域，只需求出上的值域( ( )f g x( )f x( )g xxD且3.函数的值域 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。求函数的值域是比较困 难的数学问题，没有统一的方法，其类型依解析式的特点分可分三类：第 2 页 共 8

4、页 函数的定义域和值域求常见函数值域； 求由常见函数复合而成的函数的值域； 求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。（ （1）直接法：利用基本初等函数的）直接法：利用基本初等函数的值值域来求域来求一次函数的定义域为 R，值域为 R；(0)y kx b k反比例函数)0( kxky的定义域为x|x0，值域为；(,0) (0,)二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为 R，当a0 时，值域为；当a0 时，值域为24,4ac b a24,4ac b a指数函数的定义域为 R，值域为. (01)xyaaa且0,对数函数的定义域为，值域为 R.log(01)xyaaa且0,三角函数的定义域为 R

5、，值域为定义域为，值sin ,cosyx yx1,1tanyx2xk域为 R（ （2）配方法：）配方法：主要对二次函数型解析式(二次函数或形如类的函数)进行配方，2( )( )( )F xa fxbf xc转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：2( )f xaxbxc的形式；( , )xm n例 1：求的值域23yxx解：，故所求的值域为2(1)22yxQ2,（ （3）判）判别别式法：主要用于式法：主要用于（ （不同不同时为时为 0） ）2 111 2 222a xb xcya xb xc12,a a将函数转化为（或某个代数式）的一元二次方程.利用一元二次方程根的判别式x，得

6、到关于不等式，解之便可求出值域。注意使用时要保证：定义域为 R分子、0y分母无公因式例 2：求的值域22247 23xxyxx第 3 页 共 8 页 函数的定义域和值域223247(2)2(2)370 23 2 7 02(2)4(2)(37) 0992,22yxyxyxxyyxy yyyyy 解：当时，当y 2时，=解得 故值域为，（ （4） ）分式分式转转化法（或称化法（或称为为“分离常数法分离常数法”）常）常对对形如形如应应用用(0)cx dyaax b例 3：求的值域51 42xyx解：510(42) 15744 4244(21)x yxx Q，故所求值域为704(21)xQ5 4y 5

7、|4y y（ （5）三角有界法：主要用于形如）三角有界法：主要用于形如， ，转转化化为为只含正弦、余弦的函只含正弦、余弦的函sin( ),cos( )f yf y数，运用三角函数有界性来求数，运用三角函数有界性来求值值域；域；（ （6）基本不等式法：利用均）基本不等式法：利用均值值不等式公式不等式公式来求来求值值域；有域；有时时也也转转化化为为形如：形如：2( ,0)abab a bab且且且且且且且且且且且， ，(0)ayxax需要同时满足“一正、二定、三相等”的条件熟悉常见变形：22()22;22abababab若等号取不到，可考虑函数单调区间。(0)ayxax（ （7） ）换换元法：通元

8、法：通过变过变量代量代换转换转化化为简单为简单的且能求的且能求值值域的函数，化域的函数，化归归思想；思想；代数换元，形如可设，转( , , ,0)yaxbcxd a b c dac，为常数(0)cxdt t化为二次函数求值域。三角换元，形如，可令，得21yxxcos ,0,x sincos2sin4y 0 ，（ （8） ）导导数法：可以利用数法：可以利用导导数求出函数的最数求出函数的最值值来求出函数的来求出函数的值值域。域。（ （9）数形）数形结结合：合：基本初等函数，或由其经简单变换所得到的函数，或用导数研究极值点及第 4 页 共 8 页 函数的定义域和值域单调区间后，可画出示意图，根据函数

9、的图形，利用数型结合的方法来求值域，这是值域 中的重点内容.（ （10） ）单调单调性法：性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。四、 【思维总结】 “函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本 内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义 的x的取值范围，它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。 五、 【练习】例 1.函数的定义域是 。220(32 ) lg 21xxyx x 例 2.函数的定义域是 。2 0.5log(43 )yxx例 3.函数的定义域是 。2lg()1xxy x 例 4.函数的定义域是 。2112

10、yxx例 5.函数的定义域是 。2210(324 )log1()xxyx例 6.函数的定义域是 。2cos25lgyxx第 5 页 共 8 页 函数的定义域和值域例 7.（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 ( )yf x1 1 2 2且21() 2yf xx。（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 。 2f x1,1 2xf（3）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ( )yf x2,3( )( )(25)g xf xfx。例 8.若的定义域为 R，则 m 的取值范围是 。321( ) 3xf x mxmx 例 9.已知的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是 。2lg(43)ym

11、xmxm第 6 页 共 8 页 函数的定义域和值域例 10.已知，则的定义域是 。222(3)lg() 6xf x x ( )f x例 11.（09 启东模拟 5）设，若，则实数 t 的取值范围是 2 ( )21,026,0f xxxxxx ( )2f t 。例 12.（10 苏州模拟 10）函数恒有，若2( )5f xxaxxR对( 2)( 2)fxfx 的值域为，则 m 的取值范围是 。,0 (0),( )xmmf x 1,5例 13.（10 镇江调研 9）已知，函数，若，aR2( )21f xaxax( )0f m 比较 (2)f m (0)f例 14（10 苏北调研 12）已知的值域为

12、已知，则 b-a 取值范围是 2( )2 ,f xxx xa b13 且。第 7 页 共 8 页 函数的定义域和值域例 15.若，则的值域为 。1x 3( )2lgxxf xx例 16.求使的值域为的的取值范围 。222 1xaxyxx,2a例 17求下列函数的值域（1） （2）21 2yx31 2xyx（3） （4）2432yxx21 2yxx（5） （6）21yxx232,1,3yxxx（7） （8）12yxx22247 23xxyxx*（9）22225(12)1xxyxxx第 8 页 共 8 页 函数的定义域和值域例 18.函数的值域为 。1 sin 2cosxyx例 19.函数的定义域与值域均为，则= 。(1)( )log(0,1)axf xaa 01 且a例 20.函数的值域为 。22()1xyxRx例 21.若函数的值域为，则函数的值域为 。( )f x132且1( )( )( )F xf xf x例 22.若函数的值域为 。2( )0,2f xxxx