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1、1常用计算方法1超越方程的求解 一超越方程为 x(2lnx 3) -100 = 0 求超越方程的解。 算法方法一：用迭代算法。将方程改为0100 2ln()3xx其中 x0是一个初始值，由此计算终值 x。取最大误差为 e = 10-4，当| x - x0| e 时，就用 x 的值换成 x0的值，重新进行计算；否则| x - x0| 1000,break,end %如果项数太多则退出循环（暗示发散）if abs(x0-x) 0)，相距为 2a，画出电场线和等势线。 解析如 B5 图所示，等量异号点电荷在场点 P(x,y)产生的电势为(1)12kQkQUrrQxyOB5 图-Q2ar2r1P(x,
2、y)E1E2 128其中，k 为静电力常量，r1和 r2是场点 P 到电荷的距离， (2)22 1()rxay22 2()rxay电场强度可根据电势梯度计算E = -U (3) 其中，劈形算符为(4)xyz ijk在 xy 平面上，场强只有两个分量， (5)xUEx yUEy 两个点电荷在 P 点产生的电场强度的大小分别为， (6)12 1kQEr22 2kQEr场强的两个分量也能根据公式计算(7a)112233 12()()coscosxkQ xakQ xaEEErr(7b)112233 12sinsinykQykQyEEErr算法取 a 为坐标单位，做无量纲处理。则电势可表示为(1*)0*
3、 1211()UUrr其中，U0 = kQ/a。U0是 Q 在原点产生的电势，作为电势的单位。r1*和 r2*是约化距离， (2*)*2*21 1(1)rrxya*2*22 2(1)rrxya其中，x* = x/a，y* = y/a。x*和 y*是无量纲的坐标或约化坐标。 场强的 x 分量用梯度可表示为* 0 ( / )xUUUExax a 即 (5a*)*0*xUEEx 其中，E0 = U0/a，U* = U/U0。E0是场强的单位，U*是无量纲的电势。同理可得(5b*)*0*yUEEy 两个点电荷的电场强度的两个分量用公式可表示为9， (7*)*0*3*3 1211()xxxEErr*0*
4、3*3 12()yyyEErr将物理量无量纲化之后，只要作纯数值计算就行了。 MATLAB 的梯度函数 gradient 可直接计算场强的数值分量，场强的数值解和解析解可 相互比较。等势线可根据等值线指令 contour 绘制，电场线可根据流线指令 streamline 绘制。程序P0_24gradient.m 如下。%等量异号点电荷的电场线和等势线(请在“创建图形窗口”处设置断点，以观察画图过程)clear %清除变量xm=2.5; %横坐标范围ym=2; %纵坐标范围x=linspace(-xm,xm,400); %横坐标向量y=linspace(-ym,ym,400); %纵坐标向量X,
5、Y=meshgrid(x,y); %坐标网点(矩阵)R1=sqrt(X+1).2+Y.2); %左边第一个正电荷到场点的距离R2=sqrt(X-1).2+Y.2); %右边第二个负电荷到场点的距离U=1./R1-1./R2; %计算电势u=-4:0.5:4; %等势线的电势向量figure %创建图形窗口C=contour(X,Y,U,u,LineWidth,2); %画等势线并取等势线的坐标clabel(C,fontsize,16) %标记等势线的值grid on %加网格hold on %保持图像plot(-xm;xm,0;0,0;0,-ym;ym) %画水平和竖直线plot(-1,0,o
6、,1,0,o,MarkerSize,12) %画电荷Ex,Ey=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1);%用电势梯度求场强的两个分量%Ex,Ey=gradient(-U); %用电势梯度求场强的两个分量dth=20; %电场线角度间隔th=(dth:dth:360-dth)*pi/180; %电场线的起始角度r0=0.1; %电场线起点半径x0=r0*cos(th); %电场线的起点横坐标y0=r0*sin(th); %电场线的起点纵坐标streamline(X,Y,Ex,Ey,x0-1,y0) %画左边电场线(中间部分达到右边)streamline(X,Y,-Ex,-
7、Ey,x0+1,y0) %画右边电场线(中间部分达到左边)（-Ex是把负电荷做正电荷处理）axis equal tight %使坐标间隔相等title(等量异号点电荷的电场线和等势线,fontsize,20)%显示标题xlabel(itx/a,fontsize,16) %显示横坐标ylabel(ity/a,fontsize,16) %显示纵坐标text(-xm,ym-0.5,电势单位:itkQ/a,fontsize,16)%显示电势单位Ex=(X+1)./R1.3-(X-1)./R2.3; %用公式求场强的x分量Ey=Y./R1.3-Y./R2.3; %用公式求场强的y分量10streamline(X,Y,Ex,Ey,x0-1,y0) %重画左边电场线(曲线重合)streamline(X,Y,-Ex,-Ey,x0+1,y0) %重画右上电场线(曲线重合)图示如 P0_24 图所示，左边表示正电荷，右边表示负电荷，等量异号点电荷的电场 线和等势线关于原点是对称分布的。电场线从正电荷出发，终止于负电荷。电场线与等势 线垂直，任何两条电场线都不相交。除了电势为零的直线外，等势线分别包围着各自的电 荷。电场强度大的地方，电场线较密，等势线也较密。
