《高等数学》(专升本)资料

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1、12009 年年专专科起点本科科起点本科 高等数学高等数学 课课程入学考程入学考试试复复 习习 资资 料料（内部（内部资资料）料）适用适用专业专业： ：专专升本升本层层次各理工科次各理工科专业专业2四川大学网络教育学院四川大学网络教育学院 2009 年入学考试年入学考试 高等数学高等数学 （专科升本科）复习资料（专科升本科）复习资料一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材 高等数学（一）第 3 版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习内容及方法：第一部分 函数、极限、连续复习内容 函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数 的极限概念。收敛数列的基本性质及函数

2、极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两 个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连 续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性 质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存 在定理。复习要求 会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的 计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重 要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在 求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定

3、函数的连续区间及 间断点；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。重要结论 1.两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇 函数与偶函数之积必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数； 2.单调有界数列必有极限； 3.若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定 收敛； 4.若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于 零； 5.无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷 大量的乘积则有多种可能 6.初等函数在其定义域内都是连续函数； 7.闭区间上的连续函数必能取到最大值与

4、最小值。重要公式1.若则,)(lim,)(lim00BxgAxf xxxx ；ABxgxfxgxf xxxxxx )(lim)(lim)()(lim0003。BA xgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0(B2.两个重要极限公式1）；2） ，。1sinlim 0 xxexxx 11limexx x 101lim3.在求极限的运算中注意使用等价无穷小量的代换，常见的等价无穷小量代换有：当 时，0x。xexxxxxxxxx1,2cos1 ,tan,sin,)1ln(2 第二部分 一元函数微积分复习内容 导数的概念及其几何、物理意义、基本求导公式与各种求导法则，微分的

5、概念及计算， 罗尔定理、拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定，函数的极值与极值点、 最大值与最小值，函数的凹凸性及拐点，曲线的渐近线。复习要求 理解导数的定义，同时掌握几种等价定义，即；000000 0)()( 2)()()()()(xxxfxf xxxfxxf xxfxxf xyxf掌握导数的几何意义，了解导数的物理意义；掌握连续与可导的关系，即连续不一定可导， 而可导一定连续；熟练掌握基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则、反函数与复 合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导法则，掌握对数求导法与高阶导数的求法； 理解微分的定义，明确一个函数可微与可导的关系，即可微一定可导

6、，反之一样；熟练掌 握微分的四则运算和复合函数的微分；理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理，了解其几 何意义；能熟练运用洛必达法则求极限，必须记住使用洛必达法则的条件，同时应注意以 下几个问题：1.如果使用洛必达法则后，问题仍然是未定型极限，且仍满足洛必达法则的条件，则可再次使用洛必达法则，2.如果在“0/0”型或“”型极限中含有非零因子，/ 该非零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以达到简化运算的目的，3.如果 能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合使用洛必达法则，也可以达到简化运算的目的； 会利用导数的几何意义求已知曲线的切线方程与法线方程，会利用导数的符号判断函数的增减性，熟练掌握

7、函数的极值与最值的求法即需掌握以下步骤：1.求出函数的定)(xfy 义域，2.求出，并在函数的定义域内求出导数等于零与导数不存在的点（驻点）3.判)(xf 定驻点两侧导数的符号，4.如果驻点处函数的二阶导数易求，可再次求导通过在该点的符 号来判断极值，5.求最值时，只需求出所有的极值点与端点的值，最大（小）者即为最大（小）值；掌握判断曲线的拐点、凹凸性的一般方法：1.求出该函数的二阶导数，)(xfy 并求出其二阶导数等于零的点，2.同时求出二阶导数不存在的点，3.判定上述各点两侧，该4函数的二阶导数是否异号，如果在的两侧异号，则（）为曲线)(xf 0x)(,00xfx的拐点，4.在的的取值范围

8、内，曲线是弧是下凹的，在)(xfy 0)( xfx的的取值范围内，曲线弧是上凸的.；了解渐近线的定义，并会求水平渐近线0)( xfx与铅直渐近线，即，则为曲线的水平渐近线，若Cxf x )(limCy )(xfy ，则称为曲线的铅直渐近线； )(lim0xf xx0xx )(xfy 重要结论1.如果函数在点的导数存在，则在几何上表明曲线在点（)(xfy 0x)(0xf )(xfy ）处存在切线，且切线的斜率为，且切线方程为)(,00xfx)(0xf ，)()(000xxxfxfy当时，法线方程为0)(0 xf，)()(1)(0 00xxxfxfy2.若函数在点处可导，那么函数在点处必定连续，反

9、之不一定；0x)(xf0x3.函数在点可微的充分必要条件是在点处可导，且有)(xfy x)(xfy x；dxydxxfdy)(4.罗尔定理：若函数满足以下条件：)(xfy 1）在闭区间上连续，2）在开区间内可导，3），,ba),(ba)()(bfaf则在开区间内至少存在一点，使得；),(ba0)(f5.拉格郎日中值定理：若函数满足以下条件：)(xfy 1）在闭区间上连续，2）在开区间内可导，,ba),(ba则在开区间内至少存在一点，使得),(ba。)()()(abfafbf重要公式51.设与在点可导，则)(xuu )(xvv x， vuvuuv )()0(2 vvvuvu vu2.设复合函数，

10、若点处可导，在相应的点可导，则复)(xgfy )(xgu x)(ufy 合函数在点处可导，且有链式法则)(xgfy x)()(xgufdxdu dudy dxdy3.设是由所确定，其中都为可导函数，且，则)(xfy )()(tytx)(),(tt0)( t，)()( ttdtdxdtdydxdy 4.在求导数时，有时要注意对数求导法的应用5.洛必达公式：当满足一定条件时，有)(),(xFxf，)()(lim)()(lim00xFxf xFxfxxxx )()(lim)()(limxFxf xFxfxx 同时应注意可转化为“0/0”型或“”型的极限/第三部分 一元函数积分学复习内容 不定积分的概

11、念与性质，不定积分的基本公式，积分第一换元法与第二换元法，分部 积分公式与应用分部积分公式时应注意的一般原则，定积分的基本概念与基本性质，牛顿- 莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，无穷区间上的广义积分，求平面图形 的面积，求旋转体体积。复习要求 理解原函数与不定积分定义，了解不定积分的几何意义与隐函数存在定理；熟练掌握不定积分的性质与不定积分的基本公式，理解积分第一换元法，即设具有原函数)(uf存在连续导函数，则有换元公式)(),(xuuF.)()()()()()(CxFCuFduufdxxxfxu了解积分第二换元法；掌握分部积分公式，同时应注意在使用时应遵循的一般原则； 理解定积

12、分的定义与定积分的几何意义；熟练掌握定积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式；熟 练运用定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷区间上的广义积分的求法；会用定积6分的性质求平面图形的面积与旋转体的体积。重要结论1.若为在某区间上的一个原函数，则为的所有原函)(xF)(xfCxF)()(xf数，称为的不定积分，记为；)(xfdxxf)(2.定积分表示一个数值，它只取决于函数与积分区间，与积分变量无关，)(xf即；dttfdxxfbaba)()(3.如果函数在区间上连续，则定积分必定存在；)(xf,badxxfba)(4.以及轴所围成的曲边梯形的面积等于；bxaxxfy,),(OXdxxfba)(5.如果

13、在区间上连续，则在上至少存在一点，使得)(xf,ba,ba；)()(abfdxxfba6.如果在区间上连续，则积分上限函数在区间)(xf,badttfxxa)()(内可导，且),(ba；)()()(xfdttfxxa7.若是区间上的连续函数，则)(xf,aa)0(a。 为偶函数，为奇函数)()(2)(, 0 )(0xfdxxfxf dxxfaaa重要公式 1.先积分后求导，作用抵消，即),()(xfdxxf先求导后积分，相差一个常数，即Cxfdxxf)()(2.分部积分公式： vdxuuvdxvu3.牛顿-莱布尼茨公式：1）如果在区间上连续，2）为在)(xf,ba)(xF)(xf内的一个原函数

14、，则),(ba7。)()()()(aFbFxFdxxfbaba4.定积分的换元公式：设在区间上连续，函数满足以下条件：)(xf,ba)(tx1）;)(,)(ba2）在上为单值、有连续导数的函数，则有)(t,。dtttfdxxfba)()()(第四部分 空间解析几何复习内容 平面方程的基本概念、直线方程的基本概念，简单的二次曲面。复习要求 了解平面的点法式方程与一般式方程、了解特殊的平面方程、两个平面之间的关系： 垂直、平行、重合，会通过已知条件建立平面方程，掌握直线的标准式方程与一般方程， 了解直线之间的关系以及直线与平面之间的关系，会根据已知条件建立直线方程，了解常 见的二次曲面，即柱面方程

15、、球面方程、椭球面方程、锥面方程、旋转抛物面方程.重要结论 1.设有平面, 0:11111DzCyBxA, 0:22222DzCyBxA平面与相互垂直的充分必要条件是，120212121CCBBAA平面与平行的充分必要条件是，12212121/CCBBAA平面与重合的充分必要条件是，122112121/DDCCBBAA2.建立平面方程常用平面点法式：1） 过点作平行于的平面方程，取),(0000zyxM0:11111DzCyBxA及即可，),(111CBAn ),(0000zyxM2） 过点作垂直于向量的平面方程，只需取平面法线向量),(0000zyxM),(CBA及点即可，),(CBAn ),(0000zyxM3） 过点，作平面方程，利用平面的),(1111zyxM),(2222zyxM),(3333zyxM8一般式方程，设所求的平面为，将已给的三点的坐标代入0DCzByAx平面方程，可以得到一个以为未