探索数形结合思想

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1、探索数形结合思想探索数形结合思想在初中数学解题中的应用在初中数学解题中的应用班级：班级：2011 级本科级本科 2 班班 姓名：陈馥姓名：陈馥学号：学号：2011011234探究数形结合思想方法在初中数学解题中的应用探究数形结合思想方法在初中数学解题中的应用摘要：在新课程标准全面实施的今天，数形结合思想在初中数学解题中的应用也越加 广泛深入。 “数”和“形”是数形研究的两大对象，数形结合简言之就是数和形两方面的转 化。从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程，不等式，函数，集 合等表示数学问题中的数量变化和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义，有助于学生 形成数形结合思想，提高

2、学习数学的兴趣和应用意识。将原本复杂的题目变为一目了然的 图形，在解题中不断把数形结合思想灌输给学生，要使学生充分认识到数形结合在初中数 学的意义以及中中如何应用数形结合思想解题，从而使学生能将数形结合思想得心应手的 展现在数学解题中。 关键词：数形结合，数学解题，数学思想方法，应用，思维能力0.引言引言“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生撰写的谈谈与蜂房结构有关的数学问题中， “数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法，在初中数学传统学习的 时候，教师很少使用数形结合的思想，但在新课程标准下，教师认识到数形结合解决数学 问题的便利和重要性。 “数形结合”是一种重要的数学思想，在

3、研究抽象的“数”的时候， 往往要借助于直观的“形” ，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数” 。通过“数”与 “形”的结合，对事物，规律的把握就能既容易又细微，深刻。 在初中数学教学中数形结合的思想贯彻初中数学的始终。数形结合思想的主要内容体 现在以下几个方面。 （1）建立适当的代数模型(主要是方程，不等式或函数模型)。 （2）建 立几何模型（或函数图像）解决有关方程和函数问题。 （3）与函数有关的代数，几何综合 性问题。 （4）以图像形式呈现信息的应用性问题。 “数形结合”的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形” ，另一种情形是 “以形助数” 。 “以数解形”就是有些图形过于简单

4、，直接观察却看不出什么规律来，这时 就需要图形赋值，如边长，角度等等。 “以形助数”是指把抽象的数语言转化为直观的图形， 在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题具体情形，或者把图形性质问题转化成 数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以数柱形或以形助数， 使问题简单化，抽象问题具体化。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问 题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合思想通 过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象为形象思维， 有助于把握数学问题的本质，它是数学问题的规

5、律性与灵活性的有机结合。 新的一轮数学课程改革在许多方面都发生了比较大的变化。这些变化主要表现在以下 几个方面：不仅强调数学的基础知识，技能，技巧，同时强调数学思考，问题解决，情感 态度目标；不仅强调数学的基础知识，同时强调数学的应用，要求用大量实例来引入和说 明抽象的数学知识；在思维和能力的培养方面提高了要求；不仅强调数学学习的结果，同 时也强调数学学习的过程等，有利于促进学生对数学知识的理解。长期以来，学生解了大 量的题目，但不少人的解题能力未见提高。具体的情况是“许多同学懂了课本内容却不会 解题，还有的解了许多题，却说不清思路” ，其原因是“数学解题的规律被简单化为对题 型，套解法 ，由

6、此产生了盲目的题海战术，习题效应” 。 学生在解题过程中往往会出现数与形分离的情况，只注重用形或只注重用数解题的片 面做法，导致解题思路清晰，但解题过程繁琐的现象。数形结合是一种重要的数学思想， 是数学解题中一种重要的方法，利用数形结合解题可以充分发挥数与形的优势，对题目既有进行几何直观的刻画又进行代数的量化分析，从不同的两个角度对题目进行把握，有利 于提高学生的解题能力，找出代数问题的几何背景，追本溯源，体会蕴含在其中的思想方 法；将抽象问题具体化，促进形象思维和抽象思维的共同发展。1.数形结合思想在初中数学教学解题中的地位数形结合思想在初中数学教学解题中的地位1.1 有助于概念的理解和记忆

7、有助于概念的理解和记忆数形结合思想可以化抽象为具体，有助于学生概念的理解和记忆，其主要体现在以下 几个方面： 第一，运用数形结合，可以揭示数学概念的来龙去脉，有助于学生感知和接受数学概 念。应用“数形结合”能培养学生的数学直觉思维能力。在数学学习中，存在着大量的直 觉思维，即人们在求解数学问题时，运用已有的知识体系，从整体上对数学对象快速识别， 判断，进而做出大胆的猜想，合理的假设。 “数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之 就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。利用数形结合， 有利于学生对知识本质的理解，进而达到对知识的内化。例如

8、，学生在学习等式的本质 “等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等”时，如果直接告诉学生这个性质， 学生就只能进行机械式记忆，并不理解，因此就会出现在解题过程中繁杂，长时间在一道 题上下功夫。1.2 有助于提高解题能力有助于提高解题能力学习知识就是为了能应用知识，数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与 “形”两个方面。 “数”与“形”两者之间不是孤立的。数学知识的掌握情况在一定程度上 影响着数学问题的解决能力，而数学思想方法的掌握和应用情况也影响着学生的解题能力。 数形结合思想作为重要的数学思想方法之一，对其的掌握不仅能帮助学生寻找解决问题的 途径，从而提高学生解题能力，而且

9、还可以通过积累数学知识模块进而缩短思维链的方式， 提高学生的解题能力。1.3 有助于培养数学思维能力有助于培养数学思维能力数形结合思想始终坚持从“数”和“形”这两个不同的角度来剖析问题的实质。比如 函数与对应的图像，实数与数轴等内容。从已有的图像内容中分析相应的代数性质，这体 现了“数形结合”的思想方法；而将代数问题转化为相应的几何问题或借助与几何问题求 解，则需要同时用形象思维和创造性思维，这也体现了“数形结合”的思想方法。因此， 数形结合思想方法即是学生解决问题的一种方法和手段，又能帮助学生更深的人是数学问 题的实质，同时还有助于培养学生的形象思维和创造性思维，其在中学数学中是至关重要 的

10、。1.4 有助于激发数学学习兴趣有助于激发数学学习兴趣数形结合思想方法的运用就是将抽象，枯燥，难懂的数式与形象，直观，有趣的用形 相结合，是学生不再仅对这一个个数值去思考问题，而是将与图形相联系，利用图形对学 生思维的刺激，是学生对数学产生兴趣，逐渐领会到数学的乐趣，从而渐渐的喜欢上数学。 此外，数形结合思想的运用还可以将抽象复杂的数学问题变得具体简单，是学生不会感到 数学问题是那样的难以解决，消除了其心理障碍，激发了起学习数学的兴趣，进而提高其 数学成绩。2.数形结合思想在初中数学解题的应用数形结合思想在初中数学解题的应用2.1 应用数形结合思想解决不等式问题应用数形结合思想解决不等式问题数

11、轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的完美结合。由于对每一个有理数，数轴 上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数在数轴上对应的位置关系进行的（实数 的大小也是如此） ，相反数，绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻 划的。尽管我们学习的是有理数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点） ，通过渗透数形结合 的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。例 1 实数在数轴上的对应点如图 1 所示，比较的大小。ba,baba ,解此题可直接赋予特殊值，使问题简单化（从形到数转化） 。也可以利用相反数在ba,数轴上的位置关系在图中找到对应的位置。利用数轴上点的位置与大小关系

12、比较而ba ,-得（从数到形转化） 。 图图 12.2 应用数形结合思想解决集合问题应用数形结合思想解决集合问题2.2.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 例 2 有 48 名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数，理，化小组的分别为 28,25,15 同时参加数，理小组的有 8 人，同时参加数，化的有 6 人，同时参加理，化的有 7 人，问同时参加数理化小组的有多少人？ 分析：用圆表示集合，用 A,B,C 表示参加数理化小组的人数，则三圆的公共部分则正 好表示同时参加数理化的人数，用 n 表示集合元素的个数。 图图 2即 28+25+15-8-6-7-n

13、（ABC）=48，则 n(ABC)=48-28-25-15+8+6+7=1，即同IIII时参加数理化小组的有 1 人。例若集合，且的正整数是小于10| xxU ,UBA，试求 A 与 B。 864)()(291)(，BABABACCCUUUIII解：利用 Venn 图，把元素放入如图中相应位置，从而写出所求集合 图图 3921,7532，BA2.2.2 利用数轴解决集合的有关运算和关系问题利用数轴解决集合的有关运算和关系问题例 4 已知集合，求的 BARaaxaxBxxAI若),(3|,31|a取值范围分析：若，有如下图两种图形。BAI图图 4解：由图 1 可知，由图 2 可知。因为，于3aa

14、aa3,331即0,3aaa所以是第三种情况不成立，故3a2.3 用一元二次函数的图象解决方程问题用一元二次函数的图象解决方程问题例 5：若关于 x 的方程的两根都在-1 和 3 之间，求 k 的取值范围。0322kkxx分析：令，则的图像与 x 轴交点的横坐标就是方程kkxxxf32)(2)(xf的解。)(xf解：由图可知，二次函数对称轴为 x=-k，要是二根都在-1 和 3 之间。 图图 5只需满足 可得-1k0，即 0)(0)3(0) 1(kfff)0 , 1(k例 6：求函数的最小值。84122xxxy分析：考察式子特点，从代数角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化 手段，引

15、导学生探索函数背景，仍用两点间距离公式，可化为222222)20()2() 10()0(841xxxxx如图图图 6令，则问题转化为在 x 轴上求一点 P )0 ,(),2 , 2(),1 , 0(xPBA使有最大值，由于 AB 在 x 轴同侧，故取 A 关于 x 轴的对称点（0，-1） ，PBPA 故BCBPBPA22 min) 12()02()(2.4 数形结合思想在结局方成问题中的应用数形结合思想在结局方成问题中的应用例 7：为何值时，方程的两根在（-1,1）之内？a0122222aaxxa分析：显然，我们可从已知方程联想到相应的二次函数02a的草图。222122aaxxay图图 7从图像上我们可以看出，要使抛物线与 x 轴的两个交点在（-1,1）之间，必须满足条件：即从而可解得的取值范围为或且 0) 1 (0)(0) 1(21fffa0) 1(00122 212aaa）（ a22a22a1a2.5 利用几何图像解决函数问题利用几何图像解决函数问题例 8;求函数的值域。2cos2sin xxy分析：由联想到直线的斜率的形式，通过图像观察计算2cos2sin xy1212 xxyyk可的结果。解：表示过两点的直线斜率。由于点 P