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1、文山学院本科毕业论文（设计）2015 年度本科生毕业论文（设计）常微分方程中几种非线性方程的解法教 学 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2011 级 姓 名： 杨艺芳 学 号： 20110701011053 导师及职称： 刘常福 教授 2015 年 5 月文山学院本科毕业论文（设计）毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者作者签签名
2、：名： 日期：日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者作者签签名：名： 指指导导教教师签师签名：名：日期：日期： 日期：日期： 文山学院本科毕业论文（设计）杨艺芳 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主任（组长）文山学院本科毕业论文（设计）摘 要非线性常微分方程是
3、常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。如“利用初等积分法与引入变量法” 、 “首次积分法” “常数变易法” 、 “化为线性微分方程求解法”等方法。在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。关键词：关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解文山学院本科毕业论文（设计
4、）英文文山学院本科毕业论文（设计）目 录一、引言 1二、线性微分方程与非线性微分方程的区别 12.1 线性微分方程 12.2 非线性微分方程 1三、非线性微分方程的解法 23.1 利用初等积分与引入新变量法 23.1.1 形如型的方程分的两种情形 2 ,0nF x y3.1.2 形如型的方程 3 ,.,0nF y yy3.1.3 形如型的方程 4 ,.,0nF x yy3.2 首次积分法 43.3 常数变易法 53.3.1 引用定理 3.1 53.3.2 形如型的方程 6dyyygdxxx3.3.3 形如型的方程6 yyP x eQ x3.3.4 形如型的方程 7xyxyy3.4 可化为线性方
5、程法 73.4.1 通过变换方程化为线性方程的方程 73.4.2 通过求导运算化为线性的方程 83.4.3 伯努利方程 83.4.4 黎卡提方程 83.4.5 二阶非线性方程或型 9, ,0F x y y y, ,yf x y y四、结束语 10参考文献 10致谢 11文山学院本科毕业论文（设计）1一、引 言在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。非线性常微分方程是伴随着微积分学发展起来的数学分支，发展得不是很完善，在学术界也是一个值得深究的热题。现在微分方程科学研究的发展很快，但以目前国内高校微分方程教材的现状来看，不同程度地存在
6、着内容相对滞后的现象。为了能够更加完整地掌握和了解非线性微分方程，本文将利用几种特殊的非线性微分方程的解法加以说明，让更多学者能够简易明了地认清非线性微分方程的解法，从而能够达到从特殊化到一般化、循序渐进地理解非线性微分方程的本质。二、 线性微分方程分与非线性微分方程的区别2.1 线性微分方程 在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或者两个以上的微分方程为偏微分方程。 如： 2 0dydytydtdt是常微分方程，是未知函数， 是自变量。是偏微分方程，是未知函yt2240TT xtT数，、 是自变量。本文将对常微分方程作讨论，以下统称微分方程。x
7、t一般的阶微分方程具有形式n， (1-1)( , ,.,)0nndyd yF x ydxdx如果方程（1-1）的左端为及的一次有理整式，则称（1-1）为线性阶微y,.,nndyd y dxdxn分方程。一般阶微分方程具有形式，n1111( ).( )( )( )nnnnnnd ydydya xaxax yf xdxdxdx这里是的已知函数。1( ),.,( ),na xax( )f xx2.2 非线性微分方程不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程。文山学院本科毕业论文（设计）常微分方程中的几种非线性方程的解法2例如：例如：是一阶非线性微分方程。，2 0dydytydtdt ,0nF x y等
8、为高阶非线性微分方程1。 ,.,0nF y yy三、 非线性微分方程的解法3.1 利用初等积分与引入新变量法53.1.1 形如型的方程分两种情形 ,0nF x y若可以解出，写为，则通过次积分得通解 ny nyf xn或 001212 00.,1 !2 !xxnnn nxxnccyf xdxxxxxcnn1 44 2 4 43 011212 001.1 !1 !2 !xnnn nxccyxfdtxxxxcnnn例如：例如：型的方程，由上述思想可得：对两端积分，有： yf x yf x，再积分一次，得：，所 11yf x dxfxc 11212yfxc dxfxcxc以得方程的通解为： 212.
9、yfxcxc例例 3.13.1 求二阶非线性微分方程的通解。21yy 解解 依据题意，将原方程两端积分得：221,yy dxxxyc再积分一次得：2 222 121,22yyxxyc dxxxc xc所以方程的通解为：2 2 121.2yyxc xc若不便从方程中解出时，有时可以写成参数方程 ,0nF x y ny也即，此时由得 ,nxh tyg t ,0F h tg t (1),nndyydxg t h t dt，最后的通解的参数 1 11,nyg t h t dtgt c表示为. 12,.,nnxh tygt c cc文山学院本科毕业论文（设计）3例例 3.23.2 求的通解。yeyx解解
10、 此方程无法解出，引入参数 ,令,则，所以ytyttxet所以，1,tdyy dxt edt2 11112ttyt edttetc又，再积分得,故得参数方程的通解为：2 11112ttdyydxtetcedt( )y t22212.312426tttxettttyecectc 3.1.2 形如型的方程 ,.,0nF y yy这类方程的特点是不显含自变量。解法是令,且将取作自变量，则有xypy，yp.,dpdp dydpypdxdy dxdy222 2 322.,ddpddpdyd pdpdp d pyppppgpdxdydydydxdydydy dy2211221,.,.,.,nn n nnn
11、nddp d pdpdydpdpygpgpdxdydydydxdydy将以上各式代入原方程，得到对的阶方程：py1n11, ,.,0.nndpdpFy pdydy例例 3.33.3 求方程的解。 230yyyy解解 此方程为不显含自变量，令，则xyp，代入方程得，则得.dpdp dydpypdxdy dxdy232.0dpdpy ppppyppdydy，或。前者对应解出；后者对应方程解得，0p 20dpyppdyyc1dpdy ppy对两边积分得，即，再积分得11pc ypp111c ydypdxc y 12ln.ycyxc文山学院本科毕业论文（设计）常微分方程中的几种非线性方程的解法4因此原
12、方程的解是：及 12lnycyxc.yc3.1.3 形如型的方程 ,.,0nF x yy例如：例如： 型的方程，此类方程的特点是不显含未知数。解法是令,yf x yy，则得，故原方程变为，设其通解为，若yzdpydx,zf x z 11zfxc的原函数为，则原方程的通解为: 1fx 2fx 211.yfxcxc（注：对于，令，可以将方程化为 ,.,.,nnkF x ty tytyt F x yyuye不显含未知函数的，再令，即可以降低一阶。还有两种特殊 ,.,0nF x u uuuz观点下的（1-1）形的齐次型，可参阅文献5，见习题。 ）例例 3.43.4 求方程的解。 lnyxyyx解解 此方程不显含，最低阶导数为，令，代入方程得，再令yyyzlnzxzzx，代入上式整理得，积分得，即得xuzlndudx uuu
