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1、Just do it !Time waits for no one 1代数式代数式- -因式分解因式分解2013-08-23 中考复习一、基础知识一、基础知识1）因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2 2）因式分解的常用方法）因式分解的常用方法提公因式法：ab+ac=a(b+c) 运用公式法：平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2abb(ab) ；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a3+b3=(a
2、+b)(a-ab+b)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a+ab+b)；完全立方公式：a33a2b3ab2b3=(ab)3分组分解法：ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) 【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)十字相乘法：a+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 拆项、补项法：这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项） ，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。【例】bc
3、(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)原式=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)Just do it !Time waits for no one 2=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)配方法：对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)
4、=(x+8)(x-5)十字相乘法这种方法有两种情况：x+(p+q)x+pq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) kx+mx+n 型的式子的因式分解如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx+mx+n=(ax+b)(cx+d)图示如下：a b c d 例如：因为1 -3 7 2 且2-21=-19，所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3)应用因式定理：对于多项式 f(x)=0，如果 f(a
5、)=0，那么 f(x)必含有因式 x-a【例】f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定 x+2是 x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令 y=x2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)求根法：令多项式 f(x)=
6、0,求出其根为 x1，x2，x3，xn，则该多项式可分解为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) Just do it !Time waits for no one 3【例】因式分解2x4+7x3-2x2-13x+6解析：令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0。则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图像与 X 轴的交点 x1 ,x2 ,x3 ,xn ，则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x
7、2)(x-x3) (x-xn)3）多项式因式分解的一般步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。 ”二、练习题及答案二、练习题及答案【例1】分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2【解析】原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)=(1
8、+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)=(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2=(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)【例2】求证：对于任何实数 x,y，下式的值都不会为33：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5【解析】原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x
9、+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当 y=0时，原式=x5不等于33；当 y 不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y 互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。Just do it !Time waits for no one 4【例3】ABC 的三边 a、b、c 有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。【解析】此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：-c2+a2+
10、2ab-2bc=0，(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0(a-c)(a+2b+c)=0a、b、c 是ABC的三条边，a2bc0ac0，即 ac，ABC 为等腰三角形。【例4】把-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)分解因式。【解析】-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)=-6xny(n-1)(2xny-3x2y2+1)【例5】利用因式分解求最大公约数：对于任意的正整数 n，所有形如 n3n2n 的数的最大公约数是什么？【解析】答案：n3n2nn(n1)(n2)。因为 n、n1、n2 是三个连续的正整数，所以其中必有一个是2的倍数、一个
11、是3的倍数。所以 n3n2nn(n1)(n2)一定是6的倍数，因为 n3n2n 的最小值是6，所以形如 n3n2n 的数的最大公约数是6.因式分解的方法（全）因式分解的方法（全）2013-08-23 中考复习因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，分组分解法和十字相乘法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称换对称法, ,剩余定理法等。剩余定理法等。Just do it !Time wa
12、its for no one 5一、提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。【例】-am+bm+cm=-m(a-b-c)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(
13、x-y)(a-b)二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2abb(ab) ；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a-ab+b)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a+ab+b)；完全立方公式：a33a2b3ab2b3=(ab)3【例】a+4ab+4b =(a+2b) 三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。用分组分解法时
14、，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项） ，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-Just do
15、 it !Time waits for no one 6ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)五、配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5)六、十字相乘法这种方法有两种情况：x+(p+q)x+pq 型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x+(p
