《高三数学复习效果分析与对策研究——以人教A版“柯两不等式”的复习为例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学复习效果分析与对策研究——以人教A版“柯两不等式”的复习为例（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中 学 数 学 教 学 参 考 锄W W W z h o n g s h u c a n C O Il l 同二 数学复习 惑 衙匿 厨 田 的 复 习为例 瓣 瓣 攒嚣 搿| 王永生( 云南省大理市第一中学) 高三数学复习过程中， 大家都有过这样 的经历 ： 刚复习完一个 内容 ， 在接下来 的月考 中， 师 生都认为 应该做得很好 的题 ， 结果却往往不尽如人意 ， 甚 至与 理想成绩相差甚远 。于是， 很多教师感慨 ， 即使是考 前刚讲过的原题， 考试时学生照样做不出来。这透露 出 了教 与学 的效果 问题 。只有正 确 面对 这样 的现象 ， 找出原因 ， 制定有针对性的措施方可最大限
2、度地提高 复习效率。下面笔者结合 自己的复习教学经验谈一 点认识与思考。 1 基础复习过程 ， 力求逐点通过 柯西不等式被安排在人 教 A版 数学 ( 选修 4 5 ) 中系统学习。 2 0 1 4年普通高等学校招 生全国统 一考试大纲 ( 课 程标准实验 版) ( 以下简 称 考试大 纲 ) 要求 ： 了解柯 西不等式 的几种不 同形式， 理解它 们的几何意义 ， 并会证 明； 会用 它们证 明一些简单 问 题。能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定 函数的极值。 在对柯西不等式及其应用进行基础复习时， 结合 学生实际， 按照 考试大纲 的要求 ， 在力求逐点通过 的原则下 ， 笔者按
3、以下设计顺利完成 了复习。 定理对任意的两组实数 a ， a ， ， a 及 b ， b ， ，b ( 2 ) ， 有 ( a b ) ( ) ( ) 筒 = 1 f 一 1 i = 1 厂 一厂 f n 6 f 口 6 ( N _g R N n = k b ( i 盘 1 V i = 1 V f 一 1 为常数) 时 ， 等号成立) 。 此即为柯西不等式的一般形式 。特别地 ， 二维柯 西不等式为 ： 若 n 、 b 、 C 、 d都是实数 ， 则 ( a c +b d) 。 ( 口 +b ) ( c +d ) ， 当且仅当 a d =b c时， 等号成立。 5 ) 不等式选讲 第 3 2页
4、定理 1 。 教 材探 源 2 ： ( 人 教 A 版 数 学 4 ( 必修 ) 第 1 0 8页 习题 2 4 B组第 3 题) 证明： 对于任意的 口 、 6 、 C 、 dR， 恒有不等式( a c +b d ) ( 口 。 +b ) ( c +d 。 ) 。 链接高考 1 ： ( 2 0 1 3年 高考数学陕西卷理科第 1 5 题 ) 已知 口 、 6 、 m、 均 为 正 数 ， 且 口 +b = 1 ， mr l 一2 ， 则 ( a m+b n ) ( b in+a n ) 的最 小值 为 。 说明： 此题 的解法较多， 但 利用二维柯西不等式 不失为一种 有效 途径。据 此可
5、进一 步让 学 生完 成 下题 ： 练习 1 ： ( 人教 A版 数 学( 选修 4 - 5 ) 不等式选讲 第 3 6页 习题 3 1第 5 题 ) 已知 口 、 b R +， 且 n +6 1 ， l 、 z 2 R +， 求证： ( a x 1 +b x 2 ) ( b x l +a x 2 ) 1 z 2 。 三维柯 西不等式为 ： 设 口 ， 、 口 、 a 。 、 b 、 b 、 b 。是实 数 ， 则( 口 ； +口 ； +a ； ) ( b +b ； +b ； ) ( a b +a 2 b + 口 。 b 。 ) 。 ， 当且仅当 口 -=k b ( 一1 ， 2 ， 3 )
6、时， 等号成立 。 链接高考 2 ： ( 2 0 1 3年 高考数 学湖北卷理科 第 1 3 题 ) 设 、 Y、 R， 且 满足 X + +2 一1 ， +2 j ， +3 一 ，则 z +3 ， + 一 说明 ： 此题主要考查使用三维柯西不等式时等号 成立的条件 。利用 练 习 2可进一 步 强化 此知 识 的 应用 。 练习 2 ： ( 2 0 1 2年高考数学湖北卷理科第 6题) 设 a 、 6 、 C 、 、 Y 、 是 正数 ， 且 a 。 +6 。 +C 一l O ， X +y 。 + z -4 0 ， 口 +6 Y +C Z 一2 0 ， 则 =() 。 A 14 B。13 c
7、 丢 D 丢 链接高考 3 ： ( 2 0 1 3年 高考数 学湖 南卷理科 第 1 0 题 ) 已知 a 、 b 、 C R， 口 +2 6 +3 c -6 ， 则 口 。 +4 b +9 c 的 教材探源 1 ： 该结论源于人教 A版 数学( 选修 4 一 最小值为 WWw z ho ng s h uc a n c o rn 中学数学教学参考 说明： 此题 的解法仍然很多， 但通过对 口 +4 b 。 + 9 c 配置因式 1 。 +1 。 +1 。 后 ， 利用三维柯 西不等式求 解效 果最 佳 。 链接高考 4 ： ( 2 0 1 3年高考数 学新课标卷 第 2 4 题) 设 口 、
8、b 、 C 均为正数， 且 口 +6 +c =1 ， 证 明： ( I) a b +b c +c 口 ； ( ) _a 2 十一b 2十 一c 2 1 。 说明： 此题 可借助基本不等式 ， 利用综合法顺利 进 行证明。 但第( ) 问 可 对譬+ + 配置因 式1 = ： D C 口 6 +c +口后 ， 利用三维柯西不等式获得简捷证 明， 利用 练习 3可使学生进一步熟知这种因式配置的方法 。 练习 3 ： ( 2 0 1 2年 高考数 学福建卷理科 第 2 1 ( 3 ) 题 ) 已知 函数 厂 ( z ) 一仇一 I 一2 ， mR， 且 f ( x + 2 ) O的解集为 一1 ，
9、1 。 ( I) 求 m 的值 ； ( ) 若 n 、 b , c E R +， 且 + + 一 ， 求证 ： 口 +2 6 +3 c 9 。 柯西不等式的向量形式为 ： 设 口、 是两个 向量 ， 则 I 口 I l 1 I ， 当且仅当 是零向量， 或存在 实数 k ， 使 口 一 时 ， 等号成立。 教材探源 3： 此结论源于人教 A版 数学( 选修 4 5 ) 不等式选讲 第 3 3页定理 2 。 教材 探源 4 ： ( 人教 A 版 数 学 4 ( 必修) 第 1 0 4页 探 究 3 ) a和 b都是非零向量 ， 则 I 口 b I I 口 I 1 b I 。 链接高考 5 ： (
10、 2 0 1 3年 高考数 学陕西卷理科 第 3 题) 设 口 、 b为向量 ， 则“ J 口 b I I 口11 b l ” 是“ n ” 的 ( ) 。 A 充分不必要条件 B 必 要不 充分 条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 说明： 此题考查的正是柯西不等式取等号的充要 条件 。 由此 可见 ， 柯西 不 等式 虽 在人 教 A 版 数 学 ( 选 修 4 5 ) 中才进行 系统 学习， 但二维柯西不 等式 和柯 西不等式的向量形式却在人教 A版 数学 4 ( 必修) 中都有所体现。特别地 ， 柯西不等式在最值问题和不 等式的证明中都有较为重要的作用， 所 以一直以来都
11、是数学竞赛和高考重点考查的内容 。 2 复习效果分析 ， 反思课堂教学过程 前面从柯西不等式的一般形式出发 ， 通过教材探 源， 就二维柯西不等式和三维柯西不等式在高考题 中 的应用从等号成立的充要条件 、 最值问题和证明问题 三个方 面 进 行 了 全 面 的 复 习 ， 用 时 两 个 课 时 。应 当 说 ， 无论从哪个方面看， 学生通过复习都应该具有 了 使用柯西不等式的意识 ， 复习的基本任务 已经完成 。 但复习效果如何呢?这有待进一步进行检测 。 复习完此内容后 ， 学校高三年级统一举行月考 ， 其 中的第 2 4题 如下 ： ( 云南师大附中 2 0 1 5届 高考适应性 月考
12、( 二) 理 科 第 2 4题 ) 设 n 0 ， 6 O ， mO ， 0 。 ( I) 证 明 ： ( + ) ( + ) 4 m。 “ 。 ； ( I I ) 若 口 +b 一5 ， ma+n b 一5 ， 求 证 ： m 十 5 。 此 题主要 考 查 利 用基 本 不 等 式 和柯 西 不 等式 进 行证 明， 与前面复习过程中的链接高考 4有相似的地 方 。应 当说 ， 得分情况应该是很理想 的， 但具体情况 却极不如意 。笔者所教的两个班此题得 分情况如下 表所 示 ： 班次 总人数 0分 1 3分 4 5分 6 9分 1 O分 平均分 高 3 4 9班 6 5 1 2 8 3
13、0 1 3 2 5 6 高 3 5 3 班 6 5 1 5 1 O 3 4 5 1 4 5 由此表 可看 出 ， 多 数学 生得 分集 中在 4 5分 ， 这 说明基本能完成第 ( I) 问。得 0分 的学 生如此 多是 不应该的， 经查看卷面及与学生交谈得知这样的学生 有三类 ： 一类是根本不懂怎么做 ， 没有作答 ； 一类是会 做 ， 但由于最后才做， 已经没有时间了； 一类是尝试解 答了一些 ， 可毫不沾边 。( 这两个班一直 以来都是整 个年级数学成绩最差的两个普通班 ， 可经过前面的系 统复 习按道理不应该有这 么多人得 0分 才是) 当然 ， 得满 分人 数如 此之 少也 是让 人
14、难 以理解 的 ， 同样 查看 答题 卡并 与学 生交 流后 得知 有 两个 原 因 ： 一 是 根本 不 会第 ( ) 问的证 明， 二是两 问都会证 明， 但忘 了等号 成立 的条件。从平均分上 看倒也符合两个班 的实际 水平 。 此部分内容笔者已带学生完整系统地复习了， 而 且两 问都可直接用柯西不等式获得证明。按理说 ， 无 论哪个班都不应是这样 的结果 。“ 分析一堂课 ， 既要 分 析教 学 过 程 和 教 学 法 方 面 ， 又要 分 析 教 学 结 果 方 面 ” 。 中 学 数 学 教 学 参 考 锄w w w z h o n g s h u c a ( o m 从此次考试
15、的得分情况看 ， 前面的复习明显是没 有达到预期的效果。那造成这样结果的原因到底是 什么呢?经与部分学生交谈后可知， 多数学生不知要 用柯西不等式进行证 明， 但从题 目两问的形式是很容 易联想到柯西不等式 的。这说 明学生做题时根本 就 没认 出 。衡量 学 生 “ 会 ” 的标 志 主 要 有 “ 会 说 会 认 ” “ 会 用 ” 三个标 志【 2 。 由此 可 见 ， 通 过 复 习 ， 学 生 没 有 实现真正意义上的“ 会” 。而其更深层 的原 因是学生 对柯西不等式的学 习未达到真正的理解 。即还停 留 在“ 工 具性 理 解 ” 的层 面 ， 远 未 达 到 “ 关 系性 理 解 ” 和 “ 创新 性理解 ” 的层 面 。数学 理 解有 工 具 性 理 解 、 关 系 性 理 解 和创 新性 理解 三个 层 次 。如 图 1所 示 ， 三 种 理 解 既 相 对 独 立 又相 互 联 系 ， 他 们 的 交 融 促 成 综合 性 的理解 教学 的实现 l 3 。 图 1 反思复习过程 ， 结合
