函数应用题归类分析

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1、函数应用题归类分析函数应用题归类分析一 能解决利润最大或效益最高问题 例 1、某售货点，从批发部批发某一种商品的进价是每份 0.35 元，卖不掉的商品还要以每 份 0.08 元的价格退回批发部，卖出的商品的价格是每份 0.5 元，在一个月（30 天）中， 有 20 天每天可以卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，假设每天从批发部买 进的商品的数量相同，则每天从批发部进货多少才能使每月所获得利润最大？最大利 润是多少？ 分析：每月的利润=月总收入月总成本，而月总收入有三部分：可每天卖出 400 份共 20 天的收入；可每天卖出 250 份的共 10 天的收入；没有卖出而退回批

2、发部的商品的收入。解、设每天从批发部买进的数量为份，易知x250400x 设每月的纯收入为元，则由题意，得y0.5200.5 250 10(250) 0.08 100.35 30yxx 0.31050x250,400x因为一次函数在区间上为增函数，0.31050yx0.31050yx250,400x所以当时，函数取得最大值：400x 0.31050yx（元）0.3 400 10501170y 答；当每天从批发部进货 400 分时，每月所获得利润最大，最大利润是 1170 元。 点评：本题是一次函数模型的应用，对于利用一次函数来求最值，主要是利用其单调性来 解决。 例 2、旅行社为某旅游团包飞机

3、去旅游，其中旅行社的包机费为 15000 元，旅游团中的每 人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在 30 人或 30 人以下，飞机票 每张收费 900 元；若旅游团的人数多于 30 人，则给与优惠，每多 1 人，机票费每张减 少 10 元，但旅游团的人数最多有 75 人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得 的利润最大？ 解、设旅游团的人数为人，飞机票为元，依题意，xy得当时，；当时，130x900y 3075x；900 10(30)101200yxx 所以所求函数为900(130) 101200(3075)xyxx设利润为，则Q290015000(130)15000101200

4、15000(3075)xxQyxxxx当时，130xmax900 30 1500012000Q当时，3075x221012001500010(60)21000Qxxx 所以当时， ，60x max21000Q12000答：当旅游团人数为人时，旅行社可获得最大利润元。6021000 点评：本题是由一段一次函数、一段二次函数构成的分段函数的最值问题，对于分段函数 的最值，应先在各自的定义域上求出各段的最值，然后加以比较，最后确定出最值。 二 能帮助选择最佳方案 例 3、某企业买劳保工作服和手套，市场价每套工作服 53 元，手套 3 元一副，该企业联系 了两家商店，由于用货量大，这两家商店都给出了优

5、惠条件： 商店一：买一赠一，买一套工作服赠一副手套。 商店二：打折，按总价的 95收款。 该企业需要工作服 75 套，手套若干（不少于 75 副） 。若你是企业的老板，你选择哪一家 商店省钱。 分析：解决此问题的方法是先建立优惠条件的函数关系式，然后比较，当取相同值时，哪 种函数值小，则哪种优惠条件最省钱，就选哪一家商店。 解、设需要手套副，付款数为元，xy商店一的优惠条件：( )75 533 (75)33750f xxxx （）商店二的优惠条件：= ( )75 533 )5g xx（2.853776.25xx （）令，即，解得( )( )xg x337502.853776.25xx = x=

6、175即购买了 175 副手套时，两商店的优惠相同，令( )( )0.1526.25xg xxy=当 时 ，即，应选择商店一省钱。75175xy0( )( )xg x综上可知：当麦 175 套手套适量商店的优惠相同，当买的手套数多于 75 而少于 175 时， 选商店一省钱，当买的手套数多 175 时，选商店二省钱。 点评：给出几种方案，通过计算比较，确定出最佳方案是这类问题的特点。 三 涉及几何问题中的最值 例 4、某单位计划用围墙围出一块矩形场地。现有材料可筑墙的总长度为 。如果要使围墙l 围出一块矩形场地的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？分析：若设矩形的长为，则宽为，从而矩形的面积为

7、x(2 )2llx，是关于的二次函数。2(2 )22llSxlxxx x解、设矩形的长为，则宽为，从而矩形的面积为x(2 )2(2 )22llSxlxxx （）22416llx 02lx由此可得，函数在时取得最大值，且，这是矩形的宽为4lx 2max16lS2 24lxl即当这个矩形的边长为时，所围成的面积最大为，此时矩形为正方形。4l216l点评：对于求几何最值问题，应先建立函数关系式，然后再对函数求最值，还要回扣几何 问题，特别应注意的是不要忽略定义域。 四 解决图表问题 例 5、如图所示是一次舞会的盈利额同收票数之间的关系图（其中保险部门规定：人pn 数超过 150 人的时候，须交纳公安

8、保险费 50 元） ，请你写出它的函数表达式，并对图像加以解释。P(n) 20010050 n100 150 200-100-200 解、从途中观察的：当时，图像通过和两点，则此时表达式为0150n(0, 200)(100,0)( )2200P nn当时，图像右端点通过 左端点趋于点，则此时表达式150200n(200,200)(150,50)为( )3400P nn综上所述，得2200(0150)( )3400(150200)nnP nnn从不同角度剖析图像，可以得到不同地解释。 （1）当售票为零时舞场正常开放，要交付水电费、器材费等 200 元；（2）当时，可达到不赔不赚，当时，要赔本；100n 100n （3）当时，利润与售票数呈直线上升，时，达到最大值 100 元；100150n150n （4）当时，利润没有时多，即人数超过 166 人时，利润才能超过150167n150n 100 元；（5）人数达到 200 人时，利润可达到最大值 200 元。