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1、橙子奥数工作室 http:/ 教学档案 非卖品 第十五届“希望杯”全国数学邀请赛 高二 第 1 试 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1 四个数1,sin3,tan3,arctan33的大小关系是（ ） A. 1tan3sin3arctan33其中，能是()()12 121 22xxff xf x+恒成立的函数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. The number of monotonic intervals of the function 2232yxx= is ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 设2( )( ,),f xxbxc b
2、cR=+( ),Ax xf x xR=( ( ),Bx xf f xxR=如果 A 中只含一个元素，那么（ ） A. AB B. AB C. AB= D.AB = 7. 已 知 na是 公 差 不 为0的 等 差 数 列 ， 且0;na 又 定 义2004(12003)nnnbaan=+，则 nb的最大值是（ ） A. 1001b B. 1002b C. 2003b D. 不能确定的 8两个非零向量, a b? ? 的夹角为，则当()at b tR+ ? 的模取最小值时，t的值是（ ） A. cosab?B. cosa b?C. cosab? D. cosba? 9. 椭圆有这样的光学性质：从
3、椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过 椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的两个焦点，其中焦距为2c，长轴长为2a，当放在点 A 处的小球被击出发，经椭圆壁反弹后再回到点 A 时， 小球经过的路程是（ ） A. 4a B. 2()ac C. 2()ac+ D.以上答案均有可能 10通过两个定点1( ,0),( , ),A aA a a 且在y轴上截得的弦长等于2 a的圆的方程是（ ） A. 22222230xyaxaya+= B. 22222230xyaxaya+= C. 22244430xyaxaya+= D. 22244430xyaxaya+
4、= 二、A 组填空题（每题 4 分，共 40 分） 11若sin是方程2310xx+ =的根，则sin2()4+的值是_. 12. 函数22 ( )axf xxaa=+是奇函数的充要条件是：a满足_. 13. 金刚石是由碳原子组成的单质，在金刚石的晶体里，每个碳原子都被相邻的 4 个碳原子 包围，且处于 4 个碳原子的中心，以共价键跟这 4 个碳原子结合. 那么，在金刚石的晶体结 构中，相邻的两个共价键之间的夹角（用反三角函数表示）是_. 14已知0a ，( ),xxaf xaa=+则122003()()()200420042004fff+=_. 15. 抛物线22(0)ypx p=关于点(
5、2,1)A 对称的曲线的方程是_. 16已知点(3,1)A，点 M 在直线0xy=上，点 N 在x轴上，则AMN?周长的最小值是_. 17 If the equation 246xxa+=has two distinct real roots , then the range of real number a is_. (英汉小词典 distinct: 不同的；roots: 根；range: 范围 ) 18, x yR时，函数221( , )()()f x yxyyx=+的最小值是_. 19设双曲线的离心率、实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则此双曲线的方程是 _. 20. 在空间四边形 A
6、BCD 中，BC=AD，E、F、M、N 分别是 AB、CD、BD、AC 的中点，则 EF 与 MN 的夹角等于_. 三、B 组填空题（每题 4 分，共 40 分） 21. 函数sincos2 (02 )yxxx=+的值域是_, 单调递减区间是_. 22. 数列 na中，123,aaaaa aaaa=依次类推，其中01,a，共发出 m 枚奖牌：第一天发出 1 枚加上余下的1 7，第二天发出 2 枚加上余下的1 7；如此持续了(1)n天，第 n 天发出 n 枚. 该运动会开了_天，共发了_枚奖牌. 24. 设1,1 ,( )xf x 是 偶 函 数 ，( )g x是 奇 函 数 ， 且( )( )lg(2),f xg xx= 则( )g x =_，( )10g x的最大值是_. 25 Let M be a point of the ellipse 22221(0),xyabab+= let P and Q be focuses of the ellipse. Then the maximum of the quantity 33PMQM+ is _，the minimum is _. （英汉小词典 ellipse : 椭圆； focus : 焦点； maximum: 最大值； minimum: 最小值.
