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1、上海中学数学2014年第6期2014年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷( 2014年3月30日星期日上午8：3010：30)说明：解答本试卷不得使用计算器一、填空题I本题满分60分。前4小题每小题7分。 后4小题每小题8分)1给定正实数n，6(n6)，两点(7二矿，o)、 (一 孑 可 ，o)到 直 线 xcosOTyTsinO=1的 距 离 的nD条件咒2与竹一1两种情况的考虑，能注意咒一1时 对口。的检验，留意是否需分段表示n。2改编2：已知S=，(a。n)已知数列n。前挖项和S。一竹2+妄n。+1，求通项公式a。解法分析：当九=1，n1一S11+n1+1，t 2l =4当722，。S。一
2、竹2+寺n。+1，s：一l 一(n-1)2+寺口。一1+1两式作差，口。一2行一1+可1口。一可1口。一，即口。一一n。一1+4n一2口。一2，z一一口。一l 一2(咒一1)，即口。一2n)是 以2为首项，一1为公比的等比数列一27z一2(一1) ”1，即=2X (一1)”1+2咒，当，z一1，nl -4符合上式，an-2(-1)”1+2n 改编意图：此题与原题比较，加大了难度，旨在 让学生体验到当S。与丑。关系较为直接时，想到消除S。求口。，而口。一S。，口。一S。一S。一。(挖2)仍是本 题的解题关键3改编3：已知S。、l s。一l 、a。关系已知数列n。的前行项和为S，且满足口。=，SS
3、S一。+百1口。( 7z2)，求数列) 的通项n。解法分析：当Tl2，a。一S。一S。一。，S。=s。S。一。+虿1(s。一s。一-)，s。一巫Sn_-1j，两边取倒，圭一一虿+2，贾1一一一葛兰一)乘积是 2已知线段A B 、C D 的长分别为a、b(n，6o)若线段A B 、C D 分别在X 轴、3，轴上滑动，且使 得A，B ，C ，D 四点共圆，则这些圆的圆心轨迹方程 是 3若z(一1，1)时，厂(z)一z2一口z+詈恒为即专一1是以2为首项，-1为公比的等比数列1历可二万而如一SnSt 一孬可j丁可一獗下毒雨可，咒2即当咒2，口。一彳三；：雯薹数，4结语已知S。的关系式求通项公式a。，
4、是高考的常 见内容，所以有必要对课本的原题进行深入分类拓 展另外，改编原题也符合数学教学的根本目的，在 变题的训练过程中，不但巩固学生已有的知识结构， 更让学生的推理能力、归纳领悟能力得到进一步的升华与提高 通过变题训练，学生可以归纳出相关解题方法 (1) 当前72项和S。与通项公式口。的关系比较直接时，消S。求口。，如改编1、2 (2)当不能转化为前n项和S。与通项公式n。的直接关系时，消口。求S。，如改编3上海中学数学2014年第6期正值，则实数a的取值范围是o 4数列z。定义如下：z。=，z。+。一 。否乏茅#谕(n一1，2，)，则z，+zz+zz。t_ _ _。_。_ _ 一 5不等式
5、l og占(z2+2x一3) z2+2x一16的 解集是6设a1，a2，a2。14是正整数1，2，2014的一个排列，记S=a。+a，k=1，2，2014，则S。，S。，S：叭中奇数个数的最大值是7设S一1，2，11)，对S的每一个7元子 集，将其中的7个数从小到大排列，取出中间的数，则所有取出的中间数的和等于8将90000个五位数10000，10001，99999打印在卡片上，每张卡片上打印一个五位数有些卡 片上所打印的数，如19806倒过来看是90861，有两种不同的读法，会引起混淆，则不会引起混淆的卡片共有张3(o，24 硒40285(一5， 一3)U(1，3)6151171980888
6、060二、解答题9设三角形D EF是三角形A BC的外接正三角形，如图1所示记么B AF=a，则由正弦定理可得A E一 唑黠 掣 ，AF=警罴 产 叫 分F图1所以EFA E+A F=兰 ( bsi nl 5。CO Sq+9, 3二、解答题6c。s，5。sim)+(譬f跗+丢csim)一去(号+9( 本题满分14分) 在锐角三角形A BC 中，已 知么A =75。，A C =b，A B=c求三角形A B C的外接正三角形面积的最大值 10( 本题满分14分) 设7z是给定的大于2的整数有7“1个外表上没有区别的袋子，第k个袋中有k个红球，(靠一愚) 个白球，志一1，2，7“把这些袋 子混合后，
7、任选一个袋子，并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)，求第三次取出的是白球的概率11(本题满分16分)正实数z，3，z满足：l 詈zm i nz，y)uk 去1 3，z寺 Lu求+鲁+导的最大值(这里，m inz，y表示ZVZ。实数z，Y 中的较小者)12(本题满分16分)求1，2，咒的排列a。，口。，口。的个数，使得I口。一志J写对正整数忌=1，2，n都成立参考答案一、填空题1b224x2- -4y2一口2+6206cosl 5。)si n口+(宰c+6sinl5。)co跚去(2+bcosl5。)2+(-压-23c+bsinl5。)2r ，- - - - - - - - - - - - -
8、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一一圭62+c2+bc(cosl 5。+捂si nl 5。) 3 ：2、bz+cz+2bccos45。 3一；2石耳7习瓦， 3枣C+otsm ，15。1_a 当口2-arctan嘉时等号成立所以，三角形A BC的外接正三角形的边长的最大值为一圭62+f2+仍c 3于是，三角形A BC的外接正三角形面积的最大 值 为 争F2=譬c去 石 耳 万 瓦 ，2一 譬c62+c2+拉k)14分10设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数是咒(7z一1) (7z一2)第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下4种情况：48上海中
9、学数学2014年第6期臼，臼，臼，取法有( n一是)( ，z一是一1)(行一是一2)种；白，红，白，取法有志( n- -k)( n- - k- -1)种；红，白，白，取法有量(n- k) ( n- -k- 1)种；红，红，白，取法有k(k- -1)( n- k) 种所以，第三次取出的是白球的种数为(n-k)(咒一k一1) ( 咒一k一2)+忌(咒一是)( n一是一1) +志( 竹一k)(7zk一1)+k(k一1)(靠一k)一(7z一1)(咒一2)(行一是) 4分故在第愚个袋子中第三次取出的是白球的概率为P严 譬 6分咒而选到第是个袋子的概率为上故所求的概率为P=奎k=lRl 咒2k奎=ln-_
10、k i1一n-17砉(1咒一是)J ，P一 =嘉霎i一鲁 叫4分11 由7；-zm inz，Y， 得 导 ， 孝 1 又11由。zm i nz，得三羔，三又 u-以她去席去红于 是 丢+ 一i 2十i 1一i12丢 去 +c， 一ZZzzztfZ詈 ， 去 半 厄+导c一詈 ，=一 号c箬一华)z+44 10分类似的 ，由占撕 ，羔1，得土+土：旦+ NYjj)一专一 寺。 专+c一 羔Y， 隽瓢+导czqq，zqjj2IY)一 导(芳一万2)2+虿9虿9 14分综上可得土+呈+旦一(土+土)+2(上+土)zzzzz4+2=13，当z一 了2，y=虿1，z一 吾 时 ， 等 号 成 立 1on
11、 所以三+兰+兰的最大值为1316分12先考虑咒为偶数的情况设，z一2m (m 为正整)对是一1，2，2m ，由ak-志I堡尹一m 一号及口。为整数知， am +忌或a志一m ，注意其中1m 咒一2m ，所以m +愚n2m (1志研)，1n。是一m (m +1忌2m )这里，a。，a。一。，a。的取法是唯一的事实上，注意到a。，a：，a。两两不等，不断地利用可知，n。只能取2m ，进而口。一，只能取2m 一1，以此类推知a。一，一2m t (0t m 一1)同理，由知a。+1，a。+2，a2。的取法也是唯一的因此当咒一2m 时，符合题意的排列恰有1个6分再考虑行为大于1的奇数的情况设n=2m
12、+1(m 为正整数)类似于偶数的情形知，对最一1，2，2m +1成立，因此志+m 口。2m +1(1忌优)，1n愚一m (m +2志2m +1)，且a。+11，2m +1)8分不妨设a。+l一1首先可知a。+2，a。+3，a2。+1的取法唯一事实上，注意到n。+。，a。+：，a。+。两两不等，不断地利用可知，6t 。+。只能取2，a。+。只能取3，以此类推知a。+，一t，1m +1对于剩下的数a，a。，a。，可以证明有21种取法事实上，由可知a。2m ，2m 十1，即a。有两种取值方式以下对每个(2m 一1)，当a。，a。一1 ”，a卅(这些数均不小于f+1+m )取定后，再利用知，a，取自集合t +优，t +m +1，2m +1，且不能取该集合中a。，a。一。，a川这些元素，故a，的取法数为F2m +1一(+m )+1 一( m f )一2当口。，a。一。，a：均取定后，a。的取值方式唯一确定，从而根据乘法原理知a。，a。一。，a。的取法有21种14分以上表明，在符合题意的排列中，满足a，十。一1的排列共有21个同理可知，满足a。+。=2m +1的排列亦有21个因此，当n=2m +1时，符合题意的排列有21+2”-1=2”个综上所述，当n为偶数时，符合题意的排列恰有1个；当咒为奇数时，符合题意的排列恰有2孚个16分(命题人：李大元、熊斌、顾鸿达、刘鸿坤、叶声扬)
