2017年高考数学理试题分类汇编:圆锥曲线

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1、 第 1 页 共 16 页 2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线(理数) 解析 一、 选择题. 1 二、填空题 .3 三、大题. 5 一、一、选择题选择题 【浙江卷】【浙江卷】2椭圆22 194xy的离心率是 A13 3B5 3C2 3D5 9【解析】945 33e,选 B. 【全【全国国 1 卷(理) 】卷(理) 】10.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于 A、B 两点,直线 l2与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A16 B14 C12 D10 【解析】设AB倾斜角为作1AK垂直准线,

2、2AK垂直x轴 易知11cos22AFGFAKAKAFPPGPP (几何关系)(抛物线特性) cosAFPAF同理1cosPAF,1cosPBF 2222 1cossinPPAB又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为 2 2 222 cossin2PPDE第 2 页 共 16 页 而24yx,即2P 22112sincosABDEP2222sincos4sincos 224 sincos 24 1sin 2421616sin 2,当 4取等号 即ABDE最小值为16,故选 A 【全国卷(理) 】【全国卷(理) 】9.若双曲线C:22221xy ab(0a ,0b )的一条渐近线被圆2224xy所截

3、得的弦长为 2,则C的离心率为( ) A2 B3 C2 D2 3 3【解析】 取渐近线byxa, 化成一般式0bxay, 圆心20,到直线距离为2223bab 得224ca,24e ,2e 【全国【全国 III 卷(理) 】卷(理) 】5.已知双曲线 C: (a0,b0)的一条渐近线方程为5 2yx,且与椭圆22 1123xy 有公共焦点,则 C 的22221xy ab方程为( ) A. 22 1810xy B. 22 145xy C. 22 154xy D. 22 143xy【解析】双曲线的一条渐近线方程为5 2yx,则5 2b a 又椭圆22 1123xy与双曲线有公共焦点,易知3c ,则

4、2229abc 由解得2,5ab,则双曲线C的方程为22 145xy,故选B.【全国【全国 III 卷(理) 】卷(理) 】10.已知椭圆 C:22221xy ab, (ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切,则 C 的离心率为( ) A.6 3B.3 3C.2 3D.1 3 第 3 页 共 16 页 【解析】以12A A为直径为圆与直线20bxayab相切,圆心到直线距离d等于半径, 222abda ab 又0,0ab,则上式可化简为223ab 222bac,可得2223aac,即222 3c a6 3cea,故选A 【天津卷】【天津卷

5、】(5) 已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F, 离心率为2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A.22 144xy B.22 188xyC.22 148xyD.22 184xy【解析】由题意得224,14,2 2188xyabcabc ,故选 B. 二、填空题二、填空题 【全国【全国 1 卷(理) 】卷(理) 】15.已知双曲线 C:22221xy ab(a0,b0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径做圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若MAN=60 ,则 C 的离心率为_. 【解析】如图,

6、 OAa,ANAMb 60MAN,3 2APb,22223 4OPOAPAab 第 4 页 共 16 页 223 2tan3 4bAP OPab 又tanb a,223 2 3 4bb aab ,解得223ab2212 31133bea 【全国【全国 2 卷(理) 】卷(理) 】16.已知F是抛物线C:28yx的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点,则FN 【解析】28yx则4p ,焦点为20F,准线:2l x, 如图,M为F、N中点, 故易知线段BM为梯形AFMC中位线, 2CN ,4AF , 3ME 又由定义MEMF, 且MNNF, 6NFNMMFlFNMCB A

7、Oyx【北京卷】【北京卷】 (9)若双曲线2 21yxm的离心率为3,则实数 m=_. 【解析】.1321mm 第 5 页 共 16 页 【江苏卷】【江苏卷】8.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线2 213xy 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P,Q,其焦点是 F1 , F2 ,则四边形 F1 P F2 Q 的面积是 . 【 解 析】 右 准线 方 程为33 10 1010x , 渐 近 线为3 3yx , 则3 1 03 0(,)1 01 0P,3 1030(,)1010Q,1(10,0)F ,2( 10,0)F,则302 102 310S . 【山东卷】【山东卷】14.在平面直角坐标

8、系xOy中,双曲线222210,0xyabab的右支与焦点为F的抛物线220xpx p交于,A B两点,若4AFBFOF,则该双曲线的渐近线方程为 . 三、大题三、大题 【全国【全国 I卷 (理) 】卷 (理) 】20. (12 分) 已知椭圆 C:2222=1xy ab(ab0) , 四点 P1(1,1) ,P2(0,1) ,P3(1,3 2) ,P4(1,3 2)中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2) 设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A, B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1,证明:l 过定点. 20.解: (1)根据椭圆对称性,必过3P

9、、4P 又4P横坐标为 1,椭圆必不过1P,所以过234PPP, ,三点 第 6 页 共 16 页 将2330 112PP , ,代入椭圆方程得222113 141bab ,解得24a ,21b 椭圆C的方程为:2 214xy (2)当斜率不存在时,设:AAl xmA myB my, 221121AA P AP Byykkmmm 得2m ,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足 当斜率存在时,设1l ykxb b 1122A xyB xy,联立22440ykxbxy ,整理得222148440kxkbxb 1228 14kbxxk,212244 14bxxk则22121211P AP B

10、yykkxx21212112xkxbxx kxbx x x 222228888 14 44 14kbkkbkb k b k 811411k b bb ,又1b 21bk, 此时64k , 存在k使得0 成立 直线l的方程为21ykxk 当2x 时,1y 所以l过定点21, 【全国【全国 II卷(理) 】卷(理) 】20. (12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:2 212xy上,过M 做 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足2NPNM. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且1OP PQ.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦

11、 点 F. 第 7 页 共 16 页 解:设()P xy,易知(0)N x, (0)NPy,又1022yNMNP, 1 2M xy ,又M在椭圆上 22 122yx,即222xy 设点( 3)QQy ,()PPP xy,(0)Qy , 由已知:() ( 3)1PPPQPOP PQxyyyy , 21OPOQOPOP OQOP, 213OP OQOP , 33PQPQPPQxxy yxy y 设直线OQ:3Qyyx, 因为直线l与OQl垂直 3l Qky 故直线l方程为3()PP Qyxxyy, 令0y ,得3()PQPy yxx, 1 3PQPy yxx, 1 3PQPxyyx , 33PQP

12、y yx, 1(33)13PPxxx , 若0Qy ,则33Px,1Px ,1Py , 直线OQ方程为0y ,直线l方程为1x ,直线l过点( 10) ,为椭圆C的左焦点 【全国【全国 III 卷(理) 】卷(理) 】20.(12 分)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 与 A,B两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. 第 8 页 共 16 页 (1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上; (2)设圆 M 过点 P(4,-2) ,求直线 l 与圆 M 的方程. 解:(1)显然,当直线斜率为0时,直线与抛物线交于一点,不符合题意 设:2l xmy,11( ,)A x y,22(,)B xy, 联立:22 2yx xmy得2240ymy, 2416m 恒大于0,122yym,124y y 1212OA OBx xy y 12(2)(2)mymy2 1212(1)2 ()4my ym yy24(1)2 (2 )4mmm 0OAOB,即O在圆M上 (2)若圆M过点P,则0AP BP 1212(4)(4)(2)(2)0xxyy121

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