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1、 10 1315 13 1313zi= 时取得等号. 从而513 |2| 513z+. 说明 本例也可用作图结合复数的性质 求解. 例2 设 zC,且| 1z =,求|3uz=+ | i 的最值,并问 z 为何值时,u 取得到最值? 分析 |3| |( 3)|uzizi=+=,应用 (3)和(4)可解之. 解 |3| |( 3)|uzizi=+= |3| 123zi+=+= , 此时Rem( )Im( )013zz=,又| 1z = , 31 22zi=. 综上得,当31 22zi= +时,max3u=; 当31 22zi=时, min1u= . 说明 本例也可用z 的三角形式或作图结 合复数
2、的性质来求解. 练 习 (1) xR, 求 函 数2( )1f xxx=+ 21xx+的最小值. (2) x 为何实数时,2|(3)4yx=+ 2(1)9 |x+有最大值,最大值是多少? (3) 求22634420=+yxxxx的 最大值. 答案 (1) 2; (2) 7x =时有最大值5 ; (3)34 . 2002年全国高考数学 第(20)题简析 福建福州二中 王晓敏 2002 的高考数学理科(20)题为应用题: “某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预 计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%, 并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环 境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万
3、辆,那 么每年新增汽车数量不应超过多少辆？”本 题以城市环保为背景,是数列、函数、极限、 不等式等知识的交汇,旨在考查运用化归、综 合分析及分类讨论等数学方法进行数学建模 解决实际应用问题. 1 试题特点 1.1 入手易得高分难 本题题目篇幅短小精干,文字阅读量小, 非数学的背景材料简单,数学结构显而易见. 这样,数学应用问题的三关(事理关、文理关、 数理关)中的前两关就比较容易得以突破,数 学化比较直接,克服了学生对应用题的畏难 情绪.其次,本题所要建立的数列模型,在平常 的应用题练习中最为常见,本题由常见题“原 有森林木材量a,木材的年增长率为25%,每年 砍伐的木材量为x,为使经过20年
4、木材的存有 量翻两番,求每年砍伐的木材量 x”变化而来, 其中的定值“20 年”改为不定的“n 年”,大 部分同学都会觉得入手不难.但本题的改造 看似平淡,其实极为新颖,要想很严密地解决 问题并且得到高分就不容易了. 1.2 明显的区分度 本题充分体现了应用题考查学生运用数 学知识分析问题、解决问题能力的检验功能, 不同层次的学生有不同的区分度,有助于通 过考试甑选优秀的人才.本题的实质是建立 数列模型,利用函数的单调性和极限求最值 问题,在评卷中,2 分、4 分、6 分、8 分、10 27 分、12 分都可以反映出一个学生计算能力的 高低和思维程度的深浅.(详见 3.错误分析) 2 不同解法
5、 本题的解题过程主要分为两大部分,前 半部分为求第 n 年的汽车数量的通项表达式, 后半部分为求每年新增汽车数量.下面分两 部分谈本题的一些不同解法. 2.1 求通项表达式 法一 (参考答案)迭代法: 设 2001 年末汽车保有量为1b 万辆,以后 各年末汽车保有量依次为2b 万辆,3b 万辆, 每年新增汽车 x 万辆,则130b =,21bb=0.94 x+ ,2 110.940.94(1 0.94)nnnbbxbx+=+=+ = 110.94(10.94n nbbx+=+ 210.940.94)n+ 110.940.940.06=+n nbx (30)0.940.060.06=+nxx.
6、法二 建构等比数列: 由10.94nnbbx+=+得 10.94()0.060.06nnxxbb+=, 数列 0.06nxb 是首项为10.06xb ,公比为 0.94 的等比数列. 110.94 ()0.060.06n nxxbb+=, 1110.940.940.06n n nbbx+=+ (30)0.940.060.06nxx=+. 法三 建构等比数列: 130b =,210.94bbx=+,10.94nnbb= x+,10.94nnbbx+=+, 11() 0.94,(2,3,4)nnnnbbbbn+= 数列1nnbb+是首项为21bb,公比为 0.94 的等比数列. 11nbb+ 11
7、21()()()nnnnbbbbbb+=+ 21()(10.94 ) 0.06nbb=, 即 110.9430(1.8)0.06nnbx+=+. 法四 猜想归纳: 210.94bbx=+, 2 3210.940.94(0.941);bbxbx=+=+ 32 4310.940.94(0.940.941);bbxbx=+=+432 510.94(0.940.940.941);bbx=+ 21 110.94(10.940.940.94)nn nbbx +=+110.940.94(30)0.940.060.060.06n nnxxbx=+=+2.2 求新增汽车数量 法一 (参考答案)分类讨论、函数的单
8、调 性、极限: 当3000.06x,即1.8x 时, 11130nnnbbbb+=. 当3000.06x时, 1limlim(30)0.940.060.06n nxxxxb=+ /0.06x= 并且数列 nb逐项增加,可以任意靠近0.06x,因此,如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,即60(1,2,3,)nbn= 则/0.0660x,即 3.6x (万辆),每年新增汽车不应超过 3.6 万辆. 法二 不等式、函数的单调性、极限: 依题意得:60nb 恒成立, 即 1(30)0.94600.060.06nxx+, 解得1.81.810.94nx +, 1n ,00.941n. 1.81.8(3
9、.6,)10.94n+, 即 3.6x (万辆), 28 每年新增汽车不应超过 3.6 万辆. 3 错误分析 3.1 阅读理解不清 审题时没有搞清题意,将递推式错写为2b16%=+bx .这部分学生解应用题的第一关文理关就无法通过,本题得 0 分. 3.2 通项表达式错次漏项 正确列出递推式210.94bbx=+,但在求通项表达式1nb+时,错次漏项, 如:11nbb+= 210.94(0.940.940.94)nnx+或 11nbb+= 20.94(10.940.940.94 )nnx+等.这部分 学生得 2 分. 3.3 应用等比数列求和公式错次错项 正确列出通项表达式得 4 分,但不少同
10、学 在求和时却将2110.940.940.94n+计为(1)n 个项,或用错等比数列的求和公式,或 利用建构等比数列求1nb+时,计算时却误将1b 作为首项,反映出基础知识薄弱等问题. 3.4 两变量无法处理 算 出1(30)0.940.060.06n nxxb+=+, 但因式中有x和n两个变量,许多同学无法处理. 这部分学生基础知识掌握较好,但数学能力 不足,无法利用主元思想解决问题,可得前半 部分 6 分. 3.5 分类讨论求最值 没有考虑到当30/0.060x时的情况, 要扣去 2 分. 3.6 忽视单调性 为极限所吸引,注意求 limnxb ,却忽视了 nb的单调性,而题目中“要求该城
11、市汽车保 有量不超过 60 万辆”,单调性的证明是必要 的. 在评卷中有这样的解法“606%3.6= 或606%606%1.83.6xx” ,这其 实也反映了解题者朴素的极限思想,但是这 个答案缺乏解题过程的支持,特别是缺乏对 单调性的证明,只能酌情给分. 4 对教学的建议 4.1 重视基础知识训练 强化基础知识、基本技能、基本思想的 训练是提高数学水平的根本.解应用题应着 重强化学生的数学建模思想,特别是函数模 型、数列模型、不等式模型等几个基本模型. 4.2 重视知识体系形成 在教学过程中,要注意知识的不断深化, 新知识及时纳入已有的知识体系.在复习阶 段,在掌握教材的基础上把各个局部知识
12、按 照一定的观点和方法组织成整体.关注高中 数学内容的主体和升入大学继续学习需要的 预备知识. 4.3 研究数学复习方法 高考复习中,为了在有限的时间内做到 最有较的提高,就需要我们对数学的复习方 法加以研究. 例如,福建省省纲 P249 第十讲应用性 问题例四:“资料表明,到 2000 年底我国某 地区原有的 5 万亩草地已有 70%荒漠化,为了 治理被荒漠化的土地,该地区政府决定从 2001 年起,每年都将 0.8 万亩荒漠化的土地改 造为草地,但同时,已有草地面积的 20%又因 侵蚀而荒漠化.设 2000 年底草地面积为0a 万 亩,经过一年(指到2001年底)草地面积为1a 万 亩,经过 n 年草地面积为na 万亩.(1)求出1a 、2a 和na ;(2)问至少需经过多少年努力才能使 草 地 面 积 不 少 于 3 万 亩 ？ ( 精 确 到 1 年,lg20.3010=) ” 在本题的教学中,有的老师就增加了第 三问“需经过多少年才能将草地全部改造 完？”按每年将 0.8 万亩荒漠化的土地改造 为草地,答案是永远无法将草地全部改造完. 这个答案可以通过反证不严密地得到,若要 严密地证明,其解题思想和过程就很类似本 道高考题了. 29
