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1、 1 / 14 2014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷山东卷） 文科数学文科数学 第卷第卷（共共 50 分分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 （1）已知,ia bR是虚数单位若ia2i b，则2(i)ab（ ） （A）34i （B）34i （C）43i （D）43i （2）设集合2 |20, |14Ax xxBxx，则AB （ ） （A）(0,2 （B）(1,2) （C）1,2)
2、（D）(1,4) （3）函数21( )log1f xx的定义域为（ ） （A）(0,2) （B）(0,2 （C）(2,) （D）2,) （4）用反证法证明命题：“设, a b为实数，则方程30xaxb至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） （A）方程30xaxb没有实根 （B）方程30xaxb至多有一个实根 （C）方程30xaxb至多有两个实根 （D）方程30xaxb恰好有两个实根 （5）已知实数, x y满足(01)xyaaa，则下列关系式恒成立的是（ ） （A）33xy （B）sinsinxy （C）22ln(1)ln(1)xy （D）2211 11xy（6）已知函数log ()( ,0,
3、1)ayxc a caa为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（ ） （A）0,1ac （B）1,01ac （C）01,1ac （D）01,01ac （7）已知向量(1, 3),(3,)mab 若向量, a b的夹角为 6，则实数m （ ） （A）2 3 （B）3 （C）0 （D）32 / 14 （8） 为了研究某药品的疗效， 选取若干名志愿者进行临床试验， 所有志愿者的舒张压数据 （单位： kPa）的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组
4、共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（ ） （A）6 （B）8 （C）12 （D）18 （9）对于函数( )f x，若存在常数0a ，使得x取定义域内的每一个值，都有( )(2)f xfax，则称( )f x为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ） （A）( )f xx （B）3( )f xx （C）( )tanf xx （D）( )cos(1)f xx （10） 已知, x y满足约束条件10, 230,xy xy 当目标函数zaxby(0,0)ab在该约束条件下取到最小值2 5时，22ab的最小值为（ ） （A）5 （B）4 （C）5 （D）2 第第 I
5、I 卷卷（共共 100 分分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 （11）执行右面的程序框图，若输入的x的值为 1，则输出的n的值为 （12）函数23sin2cos2yxx的最小正周期为 （13）一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 （14）圆心在直线20xy上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2 3，则圆C的标准方程为 171615141312/kPa舒张压频率/组距 0.360.080.160.24开始 输入 x 是 0n 3430xx 结束 1xx否
6、输出 n 1nn3 / 14 （15）已知双曲线22221(0,0)xyabab的焦距为2c，右顶点为 A，抛物线22(0)xpy p的焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FAc，则双曲线的渐近线方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分分 （16） （本小题满分 12 分） 海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量 （单位： 件） 如右表所示 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 地区 A B C 数量 50 150 100 （）求这 6 件样品中来自 A，
7、B，C 各地区商品的数量； （II）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率 4 / 14 （17） （本小题满分 12 分） ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为, ,a b c已知63,cos,32aABA （）求b的值； （II）求ABC的面积 5 / 14 （18） （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABCD中，1, ,2APPCD ADBC ABBCAD E F平面分别为线段,AD PC的中点 （）求证：APBEF平面； （II）求证：BEPAC 平面 FEPDCBA6 / 14 （19） （本小题满分 12 分） 在
8、等差数列na中，已知公差12a ，2a是1a与4a的等比中项 （）求数列na的通项公式； （II）设(1) 2nn nba，记1234( 1)nnnTbbbbb ，求nT 7 / 14 （20） （本小题满分 13 分） 设函数1( )ln1xf xaxx，其中a为常数 （）若0a ，求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （II）讨论函数( )f x的单调性 8 / 14 （21） （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为3 2， 直线yx被椭圆C 截得的线段长为4 10 5 （）求椭圆C的方程； （II）过原点的直线
9、与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点） 点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与x轴、y轴分别交于 M，N 两点 （i）设直线 BD，AM 的斜率分别为12,k k，证明存在常数使得12kk，并求出的值； （ii）求OMN面积的最大值 9 / 14 2014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷山东卷） 文科数学参考答案文科数学参考答案 1、A 2、C 3、C 4、A 5、A 6、C 7、B 8、C 9、D 10、B 10、 【解析】 解：10230xyxy 求得交点为2,1， 则22 5ab， 即圆心0,0到直线22 50a
10、b的距离的平方222 5245， 故答案为 B 11、3 12、 13、12 14、22214xy 15、yx 15、 【解析】解：由已知得22 2Pcab，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,2Pc，即, cb代入双曲线方程为22221cb ab得222c a， 2211bc aa渐近线方程为yx 故答案为yx 16 （）各地区抽取商品的比例为：:50:150:1001:3:2A B C 按照分层抽样，各地区抽取商品数为：132:61,:63,:62,666ABC （）设各地的商品数为：12312,A B B B C C 基本事件空间为： 123121213,A BA BA BA CA CB
11、 BB B 111223,B CB CB B, 2122313212,B CB CB CB CC C共 15 个 样本事件空间为： 12132312,B,BB BB BC C 所以这两件商品来自同一地区的概率为： 4 15P A 17 （）由题意知：23sin1 cos3AA6sinBsin(A)sinAcoscossincos,2223AA又正弦定理得：sinB3 2sinsinsinababABA （）由余弦定理得： 222 26cos4 39023bcaAccbc，123,3 3.cc 又因为2BA为钝角，所以bc，3c 10 / 14 所以13 2sin22ABCSabB18 （）连接
12、AC交BE于点O，连接OF，不妨设1ABBC，则2AD ， ,ABBCADBC四边形ABCE为菱形 又OF，分别为中点，OFAP OF 平面BEF, AP平面BEF （）, CDAPPCD面 面PCD, APCD ,BCED BCEDBCDE为平行四边形， ,BECDBEPA 又ABCEBEAC为菱形， 又,PAACA PA ACPAC 平面PAC, BE平面 19 （）由题意知 na为等差数列，设1(n 1)d,naa2a为1a与4a的等比中项 22 214111103,aaaaada ad且 2d 解得：12a 2122nann （）由（1）知：1 22 ,1nnn nan ban n当n
13、为偶数时： 21 22 33 4+121 3435+112 24 26 2+22246+222222nTn nnnnnnnnnn 当n为奇数时： 21 22 33 4121 3435+(1)212 24 26 2+(1) 212246+111212122122nTn nnnnn nnn nnn nnnnnn n -综上：2221, 2 2 2nnnn Tnnn 为奇数， 为偶数11 / 14 20 （）当0a 时 212,11xf xfxxx 1 1,2f又 10f，故直线过点1, 0 11 22yx （） 220 1afxxxx 当0a 时， 22 1fx x 恒大于0， fx在定义域上单调递增 当0a 时， 2221220 11a xxafxxxx x fx在定义域上单调递增 当0a 时，2222244840,aaaa 即1 2a- 开口向下， fx在定义域上单调递减 当102a时，1,222841210.2aaaaxaa 对称
