中考几何题中的新定义型题集锦

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1、中考几何题中的新定义型题集锦中考几何题中的新定义型题集锦在近年的中考试题中，涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题，为了 便于同学们了解掌握这方面的信息，现从近年的中考试题中精选数例，供同学们参考与借 鉴。 一、定义一种新的几何体 例 1（2001 年泰州市）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定 相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图 1，甲、乙是两个不同的正方体，正 方体都是相似体。（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A. 两个球体B. 两个圆锥体 C. 两个圆柱体D. 两个长方体 （2）请猜想出相似体的主要性质： 相似体的一切对应线段（或弧长）

2、的比等于_； 相似体表面积的比等于_； 相似体体积的比等于_。 （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋 友上幼儿园时身高为 1.1m，体重为 18kg，到了初三，身高为 1.65m，问他的体重为多少？ （不考虑不同时期人体平均密度的变化） 解：（1）由相似体的定义可知，应选 A。 （2）相似比；相似比的平方；相似比的立方。 （3）设初三时体重为 x kg，则由题意，得 31 . 1:65. 118:x， 解之，得 kg75.60x 故到了初三时，他的体重约为 60.75kg。二、定义一种新的规则 例 2 （2003 年安徽省）如图 2，这些等腰三角形与正三

3、角形的形状有差异，我们把它 与正三角形的接近程度称为“正度” ，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相 等。设等腰三角形的底和腰分别为 a、b，底角和顶角分别为、，要求“正度”的值是 非负数。同学甲认为：可用式子|ba|来表示“正度” ，|ba|的值越小，表示等腰三角形越 接近正三角形。同学乙认为：可用式子|来表示“正度” ，|的值越小，表示等腰三角形越 接近于正三角形。 探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么？ （2）对你认为不合理的方案，请加以改进（给出式子即可） 。 （3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。解：（1）乙同学的方案较为合理。因为|的值越小，与越接近60，因而该

4、等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等。 同学甲的方案不合理。因为不能保证相似三角形的“正度”相等。如：边长为4、4、2 和边长为 8、8.4 的两个等腰三角形相似，但4|84|2|42|。（2）对同学甲的方案可改用ka/ |ba|、kb/ |ba|等（k 为正数）来表示“正度” 。（3）还可以用|60|、|60|、|120|、3/6026022等 来表示“正度” 。 说明：（2） 、 （3）的答案不惟一，只要符合要求的均可。三、定义一种新的线段例 3（2003 年安徽省附加题）如图 3，在五边形54321AAAAA中，1B是1A对边43AA的中点，连结11BA，我们称1

5、1BA是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条 中对线都将五边形的面积分成相等的两部分。 求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行。证明：如图 3，取51AA的中点3B，连结33BA、31AA、41AA、53AA。因为4113ABBA，所以411131ABABAASS。又因为四边形1321BAAA与四边形5411AABA的面积相等，所以541321AAAAAASS同理543321AAAAAASS，所以543541AAAAAASS，所以543AAA与541AAA的边54AA上的高相等，所以5431AAAA。同理可证：5321AAAA，4132AAAA，5243AAAA，4251AAAA。例

6、4（2007 年连云港市）如图 4（1） ，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 AC：AB=BC：AC，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线” ，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S、2S，如果121S:SS:S，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线。 （1）研究小组猜想：在ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点，如图 4（2） ， 则直线 CD 是ABC 的黄金分割线。你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

7、（3）研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E，再过点 D 作直线 DFCE，交 AC 于点 F，连结 EF，如图 4（3） ，则直线 EF 也是ABC 的黄金分 割线。请你说明理由。 （4）如图 4（4） ，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点 E 作EFAD，交 DC 于点 F，显然直线 EF 是平行四边形 ABCD 的黄金分割线，请你画一条平 行四边形 ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形 ABCD 各边的黄金分割点。解：（1）直线 CD 是ABC 的黄金分割线，理由如下： 设 AB 边上的高为 h，则由 AD：AB=DB：A

8、D， 得2/ADh:2/DBh2/ABh:2/ADh，即ADCCDBABCADCS:SS:S， 由黄金分割线的定义知：CD 是ABC 的黄金分割线。 （2）三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。 （3）证明：设 DC 与 EF 的交点为 O。因为 DFCE，所以COFDOFSS，所以ADCAEFSS，CFEBCDBSS四边形。因为ADCCDBABCADCS:SS:S，所以AEFCFEBABCAEFS:SS:S四边形，所以直线 EF 是ABC 的黄金分割线。（4）画法不唯一，如： 画法 1 如图 5（1）取 EF 的中点 G，过点 G 作一条直线分别交 AB、DC 于 M、N 点， 则直线

9、MN 就是平行四边形 ABCD 的黄金分割线。画法 2 在 DF 上取一点 N，连结 EN，过点 F 作 FMEN 交 AB 于点 M，连结 MN， 则直线 MN 就是平行四边形 ABCD 的黄金分割线，如图 5（2） 。四、定义一种新的点 例 5（2006 年安徽省实验区）如图 6，凸四边形 ABCD，如果点 P 满足APD=APB=，且BPC=CPD=，则称点 P 为四边形 ABCD 的一个半等角点。（1）在图 8 的正方形 ABCD 内画一个半等角点，且满足。 （2）在图 9 的四边形 ABCD 中画一个半等角点，保留画图痕迹（不需写出画法） 。（3）若四边形 ABCD 有两个半等角点1

10、P、2P（如图 7） ，证明线段21PP上任意一点也 是它的半等角点。解：（1）如图 8，连接 AC，在 AC 上（点 A、C、AC 的中点除外）任取一点 P，连 结 PB、PD，则点 P 为正方形 ABCD 的一个半等角点。（2）如图 9 所示。（3）连结；1AP、DP1、BP1和CP2、DP2、BP2，则由题意，得DAP1=BAP1，2121PBPPDP，故360PDPDAP2211，所以180PDPDAP211，所以1P在2AP上，同理2P在CP1上，所以 A、1P、2P、C 在同一条直线上。在21PDP和21PBP中，因为2121PBPPDP，1212PBPPDP，21PP为公共边，所

11、以2121PBPPDP， 所以11BPDP ，22BPDP ， 于是 B、D 关于 AC 对称，设 P 是21PP上任一点，连结 DP、BP，则由对称性知 DPA=BPA，DPC=BPC， 所以点 P 是四边形 ABCD 的一个半等角点。例 6（2007 年宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端 点的距离不相等，但到另一对角线的两端点的距离相等，则称这个点为这个四边形的准等 距点，如图 10（1） ，点 P 为四边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一点， PD=PB，PAPC，则点 P 为四边形 ABCD 的准等距点。（1）如图 10（2） ，画出菱形 ABCD

12、的一个准等距点； （2）如图 10（3） ，作出四边形 ABCD 的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹， 不要求写作法） （3）如图 10（4） ，在四边形 ABCD 中，P 是 AC 上的点，PAPC，延长 BP 交 CD 于点 E，延长 DP 交 BC 于点 F，且CDF=CBE，CE=CF，求证：点 P 是四边形 ABCD 的准等距点； （4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数， 不必证明） 。 解：（1）如图 10（2）所示，点 P 即为所求（答案不唯一，点 P 不能画在 AC 的中点 上） 。 （2）如图 10（3）所示，点 P 即为所求作的点（

13、答案不唯一） 。 （3）证明：如图 10（4） ，连结 DB。 因为DCFBCD（AAS） ， 所以 CD=CB，所以CDB=CBD， 故PDB、PBD，所以 PD=PB。 因为 PAPC，所以点 P 是四边形 ABCD 的准等距点。 （4）当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一条对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为 0 个； 当四边形的对角线既不垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对 角线的中点时，准等距点的个数为 1 个； 当四边形的对角线既不垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另 一条对角线的中点时，准等距点的个数为 2 个； 当四

14、边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，准等距点有 无数个（注意点 P 不能画在对角线的中点上） 。五、定义一种新的三角形 例 7 （2005 年天津市）在ABC 中，A、B、C 所对的边分别用 a、b、c 表示。（I）如图 11，在ABC 中，A=2B，且B=60，求证；cbba2； （II）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的 2 倍，我们称这样的三角形为 “倍角三角形” ，本题第（I）问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对任意的倍角三角形 ABC，其中A=2B，如图 12，关系式cbba2是否仍然成立？并证明你的 结论；（III）试求出一个倍角三角形的三条边长，

15、使这三条边长恰好为三个连续的正整数。 （I）证明：因为A=60，A=2B，所以C=90，所以在 RtABC 中，2/cb ，2/c3a ，于是4/c3a22，4/c32/c2/cccbb2，所以cbba2。（II）关系式cbba2仍然成立。 证明：如图 12，延长 BA 到 D，使 AD=AC，连结 CD，则ACD 为等腰三角形。 所以BAC=2D， 因为BAC=2B， 所以D=B，所以 BC=CD。 因为D 为ACD 与CBD 的公共角， 所以ACDCBD， 所以 AD：CD=CD：BD，即cb:aa:b，所以cbba2。（III）解：若ABC 是倍角三角形，由A=2B，知cbba2，且ba ，当bca时，设1na，1nb，nc （n 为大于 1 的整数）代入cbba2，得1n21n1n2， 解之得5n 。 故6a ，5c ，4b ，可以证明这个三角形中，A=2B。 当bac及cba时，均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形，所 以边长为 4、5、6 的三角形为所求。六、定义一种新的矩形 例 8（2005 年资阳市）阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满