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1、高中数学辅导网http:/京翰教育 http:/ 年广州市高二数学竞赛试题2009.5.102009.5.10考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；不准使用计算器；考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 24 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的1已知复数z满足1i z 3，则复数z的实部与虚部之和为A3iB11i3C2 3D4 32已知sin23sin ，且1,22knn k Z，则tan tan 的值为A2B1C
2、1 2D23已知定义在R上的函数( )f x为奇函数，且函数(21)fx的周期为 5，若 15f，则(2009)(2010)ff的值为A5B1C0D54已知 x表示不超过x的最大整数，则 2222log 1log 2log 3log 2009的值为 A18054B18044C17954D17944二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 36 分分5关于x的不等式01aaxax的解集是高中数学辅导网http:/京翰教育 http:/ , 1上随机任取两个数yx,，则满足4122 yx的概率等于7设2( )min 23,1,11 3f xxxx
3、，则max( )f x的值为8 计算机执行以下程序： 初始值3x ，0s ； 2xx； ssx； 若100s ，则进行，否则从继续执行；打印x；结束那么由语句打印出的数值为9在ABC中，已知21tanA，31tanB，若ABC最长边的长为1，则最短边的长为10已知定点2,0A，点,P x y的坐标满足430, 35250, 0.xy xy xa 当 |OAOAOP（O为坐标原点）的最小值是2时，实数a的值是三、解答题三、解答题：本大题共：本大题共 5 小题，满分小题，满分 90 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤11 （本小题满分 15 分）已知向
4、量11,2,cos2sinsinxxxab，其中2, 0x（1）试判断向量a与b能否平行，并说明理由？（2）求函数( )f x a b的最小值高中数学辅导网http:/京翰教育 http:/ （本小题满分 15 分）如图 1 所示的等边ABC 的边长为 2a，CD 是 AB 边上的高，E、F 分别是 AC、BC 边的中点现将ABC 沿 CD 折叠成如图 2 所示的直二面角 ADCB（1）试判断折叠后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；（2）求四面体 A-DBC 的外接球体积与四棱锥 D-ABFE 的体积之比13 （本小题满分 20 分）已知直线1yx 与椭圆22221(0)xy
5、abab相交于 A、B 两点，且OAOB（其中O 为坐标原点） （1）若椭圆的离心率为1 2，求椭圆的方程；（2）求证：不论, a b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点 P，并求点 P 的坐标ABCDEF图 1图 2ABCDEF高中数学辅导网http:/京翰教育 http:/ （本小题满分 20 分）定义一种新运算，满足1kn kn（,*,n kN为非零常数） （1）对于任意给定的k，设1,2,3,nan kn，证明：数列 na是等差数列；（2）对于任意给定的n，设1,2,3,kbn kk，证明：数列 kb是等比数列；（3）设1,2,3,ncn nn，试求数列 nc的前n项和nS15 （本
6、小题满分 20 分）定义函数( , )(1) ,0,yF x yxx y（1）令函数3 2( )1,log3f xFxx的图象为曲线1C，求与直线03154yx垂直的曲线1C的切线方程；（2）令函数32 2( )1,log1g xFxaxbx的图象为曲线2C，若存在实数 b 使得曲线2C在001,4xx 处有斜率为8的切线，求实数 a 的取值范围；（3）当,*x yN，且yx 时，证明,F x yF y x高中数学辅导网http:/京翰教育 http:/ 年广州市高二数学竞赛试题年广州市高二数学竞赛试题 参考答案参考答案与评分标准与评分标准说明说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要
7、知识和能力参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几并给出了一种或几 种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不 得超过该部分
8、正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题一、选择题：每小题：每小题 6 分，满分分，满分 24 分。分。 1D2A3D4A二、填空题二、填空题：每小题：每小题 6 分，满分分，满分 36 分。分。5 axx21|61675821955102简答与提示：简答与提示：4根据题意，当122kk
9、n时，2log,nkkN，于是1021321091002212222292210200921M 180547作图比较容易得到max( )5f x 8设程序执行n次后，x的值为nx，s的值为nS，则23nxn，nS是数列 nx的前n项和，由24100nSnn，可得9n ，则92 9321x 10 |OAOAOP表示向量OP在OA上的射影长，画出可行域，知当 P 点落在直线ax 上时， |OAOAOP取得最小值为OA，故2a三、解答题三、解答题：满分：满分 90 分。分。11解解： （1）若ab，则有02sin12cossin1xxx0,2x，sin0x 22cosx，这与cos21x 矛盾a与b
10、不能平行（2）2cos2( )sinsinxf xxxa b高中数学辅导网http:/京翰教育 http:/ xx sinsin21 sin2cos22xxsin1sin2，0,2x，sin0,1x，22sin1sin22sin1sin2)(xxxxxf当xxsin1sin2，即22sinx时取等号，故函数)(xf的最小值为2212解解： （1）如图所示，E、F 分别为 AC、BC 的中点， ABEFAB面 DEF，EF 面 DEF， AB面DEF （2）以 DA，DB，DC 为棱补成一个长方体，则四面体 ADBC的外接球即为长方体的外接球设球的半径为 R，则2222)2(3Raaa，22 4
11、5aR 于是球的体积33 1655 34aRV又3 63 31aADSVBDCBDCA，3 243 21 31aADSVDFCDFCE，3 83aVVVDFCEBDCAABFED915201ABFEDVV13 （1）解：解：由22221,1.xy ab yx 222222,()2(1)0,yabxa xab消去得222222222410,1.aaabbab 由整理得设1122( ,), ()A x yB x y，212222212222,(1).axxab abx xab. 1)() 1)(1(21212121xxxxxxyy OAOBO其中 为坐标原点，121212120,2() 10x x
12、y yx xxx 即ABCDEF高中数学辅导网http:/京翰教育 http:/ abab 即222220aba b22 2 21 4abea，2277,68ab故椭圆的方程为22 177 68xy（2）证明：证明：由（1）有222220aba b，2211122ab，即222222 221ab 则不论 a，b 如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点 P22,22 14 （1）证明：证明：1kn kn（,*,n kN为非零常数） ，11,2,3,k nan knn111 11kkk nnaann , k为非零常数，数列 na是等差数列（2）解：解：1kn kn（,*,n kN为非零常数） ，11,2,3,k kbn knk1 1k k k kbn bn 为非零常数，数列 kb是等比数列（3）解：解：1kn kn（,*,n kN为非零常数） ，1n ncn nn120 2132n nnncccS，当1时，1122nn nSn 当1时，2323n nSn得：2111nn nSn ，21 11nnnnS ，综上可知，2(1),12 1,1(1)1nnnn nSn当时,当时.高中数学辅导网http:/京翰教育 http:/ （1）解：解：xxxxFxfxx3) 11 ()3(log, 1)(3)3(log3 23 2
