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1、第七章第七章 参数估计参数估计第一节第一节 基本概念基本概念1 1、概念网络图、概念网络图 单正态总体的区间估计区间估计一致性有效性无偏性 估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计 从样本推断总体2 2、重要公式和结论、重要公式和结论（1） 点估计矩估计设总体 X 的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表m,21L成它的 k 阶原点矩中).,;(21mxFL), 2 , 1)(mkXEvk kL也包含了未知参数，即。又设m,21L),(21mkkvvL为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为nxxx,21L nik ixn11)., 2 , 1(mkL这样，我们按照“当参数等于其
2、估计量时，总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程，即有nim immniimniimxnvxnvxnv12112 2121211.1),(,1),(,1),(LLLLLLLLLLLL由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数即为参数),(21mL（）的矩估计量。m,21L若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。 )(xg)(g)(g极大似 然估计当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设),;(21mxfLm,21L为总体的一个样本，称nxxx,21L),;(),(11122 nimimxfLLL为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体 X 为离型随机变量时，设其
3、分布律为，则称),;(21mxpxXPL),;(),;,(1111222 nimimnxpxxxLLLL为样本的似然函数。若似然函数在处取),;,(2211mnxxxLLLm ,21L到最大值，则称分别为的最大似然估计值，m ,21Lm,21L相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin, 2 , 1, 0lnL 若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极 )(xg)(g)(g大似然估计。无偏性设为求知参数的估计量。若 E （）=，则),(21nxxxL 称 为的无偏估计量。 E（）=E（X） ， E（S2）=D（X）X（2） 估计量 的评选 标准有效性设和是未知参数),(2111nxxxL
4、),(2122nxxxL 的两个无偏估计量。若，则称有效。)()(21 DD21 比一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有n , 0)|(|limn nP则称为的一致估计量（或相合估计量） 。n 若为的无偏估计，且则为的一致估计。 ),(0)(nD 只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。置信区 间和置 信度设总体 X 含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与nxxx,21L),(2111nxxxL，使得区间以),(2122nxxxL)(21,21的概率包含这个待估参数，即) 10(1,121P那么称区间为的置
5、信区间，为该区间的置信度（或置,211信水平） 。设为总体的一个样本，在置信度为nxxx,21L),(2NX下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下：12和,21（i）选择样本函数；（ii）由置信度，查表找分位数；1（iii）导出置信区间。,21（3） 区间估 计单正态 总体的 期望和 方差的 区间估 计已知方差，估计均值（i）选择样本函数).1 , 0( /0N nxu (ii) 查表找分位数.1 /2 nxP（iii）导出置信区间 nx nx00,未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1( /nt nSxt(ii)查表找分位数.1 / nSxP（iii）导出置信区间 nSx nSx,方差的
6、区间估计（i）选择样本函数).1() 1(2 22 nSn（ii）查表找分位数.1) 1(2221 SnP（iii）导出置信区间 SnSn121,1 例 71：设总体，求对a, b的矩估计量。),(baUX例 72：设是总体的一个样本，试证nxxx,21L（1）;21 103 51321xxx （2）;125 41 313212xxx （3）.121 43 313213xxx 都是总体均值 u 的无偏估计，并比较有效性。例 73：设是取自总体的样本，试证nxxx,21L),(2NX niixxnS122)(11是的相合估计量。2第二节第二节 重点考核点重点考核点矩估计和极大似然估计；估计量的优
7、劣；区间估计第三节第三节 常见题型常见题型1 1、矩估计和极大似然估计、矩估计和极大似然估计例 74：设，求的最大似然估计量及矩估计量。0), 0(UX例 75：设总体 X 的密度函数为., 0,1 )(/)(其他xexfx其中0, ,为未知参数，为取自 X 的样本。试求,的极大似然估nXXX,21L计量。2 2、估计量的优劣、估计量的优劣例 76：设 n 个随机变量独立同分布，nxxx,21L,)(11,1,)(12212 1 niiniixxnSxnxxD则 （A）S 是的无偏估计量；（B）S 是的最大似然估计量；（C）S 是的相合估计量；（D）相互独立。xS 与2例 77：设总体 X 的
8、密度函数为 , 0,0),(6 )(3 其他xxx xf是取自 X 的简单随机样本。nXXX,21L（1）求的矩估计量； （2）求的方差 D（） ； （3）讨论的无偏性和一致性（相合性） 。 3 3、区间估计、区间估计例 78：从一批钉子中随机抽取 16 枚，测得其长度（单位：cm）为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10 2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11假设钉子的长度 X 服从正态分布,在下列两种情况下分别求总体均值 的置信),(2N度为 90%的置信区间。 （1）已知=0.01. （2）未知.例 79：为
9、了解灯泡使用时数的均值 及标准差 ，测量 10 个灯泡，得=1500 小时，xS=20 小时。如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求 和 的 95%的置信区间。例 710：设总体 XN（3.4, 62） ，从中抽取容量为 n 的样本，若要求其样本均值位于x区间1.4, 5.4内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应取多大？第四节第四节 历年真题历年真题数学一：数学一：1 1（97，5 分）设总体X的概率密度为其他, 010) 1()(xxxf其中是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，nXXX,.121L是未知参数分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。 2 2（99，6 分）设总
10、体 X 的概率密度为 其他）（ , 00)(63xxx xf是取自总体X的简单随机样本。nXXX,21L（1）求的矩估计量；（2）求D（） 。 3 3（00，6 分）设某种元件的使用寿命X的概率密度为xxexfx, 02);()(2其中0 为未知参数。又设的一组样本观测值，求参数的最大似然Xxxxn是,21L估计值。 4 4（02，7 分）设总体X的概率分别为21)1 (2321022pX其中（00是未知参数，从总体X中抽取简单随机样本，记=min（nXXX,21L ） 。nXXX,21L（1）求总体 X 的分布函数F（x） ；（2）求统计量的分布函数； )(xF 如果用作为 的估计量，讨论它
11、是否具有无偏性。 7（04，9 分） 设总体 X 的分布函数为, 1, 1, 0,11),(xx xxF其中未知参数为来自总体 X 的简单随机样本，求：nXXX, 121L（I） 的矩估计量；（II） 的最大似然估计量.8 （06，9 分）设总体的概率密度为X 其它是未知参数其中 0,1021 1100 , xx XF为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于 1 的个nXXX,21LXNnxxx,21L数，求的最大似然估计。数学三：数学三：1 1（91，5 分）设总体 X 的概率密度为 0, 00,),(1xxeaxxfx其中是已知常数。试根据来自总体X的简单随机样本0,0是未知参数，求的最
12、大似然估计量。nXXXL,212 2（92，3 分）设n个随机变量独立同分布，nXXXL,21，则 niniiXXinSXnXDX12212 1)(11,1,（A）的无偏估计量。是S（B）的最大似然估计是。是S（C）的相合估计量（即一致估计量） 。是S（D）相互独立。XS与3 3（93，3 分）设总体X的方差为 1，根据来自X的容量为 100 的简单随机样本， 测得样本均值为 5。则X的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为。4 4（96，3 分）设由来自正态总体容量为 9 的简单随机样本，得样)9 . 0 ,(2NX本均值的置信区间是。95. 0. 5的置信度为则未知参数X5 5（
13、00，8 分）设 0.51, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体 X 的简单随机样本值。已知Y=lnX服从正态分布。) 1 ,(N（1）求X的数学期望EX（记EX为b） ； （2）求的置信度为 0.95 的置信区间； （3）利用上述结果求b的置信度为 0.95 的置信区间。 6 6（02，3 分）设总体X的概率密度为xxexfx若若 , 0,);()(则是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为。nXXXL,217（04，13 分） 设随机变量的分布函数为X ，xxx xF0,1),(其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,1, 0nXXX,21LX() 当时, 求未知参数的矩估计量;1() 当时, 求未知参数的最大似然估计量; 1() 当时, 求未知参数的最大似然估计量. 28 （05，4 分）设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知。现从),(2N2,中随机抽取 16 个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信)(20 cmx )( 1 cms 度为 0.90 的置信区间是（A） 164120,16412005. 005. 0tt（B） 164120,1641201 . 01 . 0tt（C）
