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1、1名校大联考名校大联考 2016 年高考数学全真模拟测试年高考数学全真模拟测试（8-7）一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合 M=x|-20,0)的图象在 y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和.(1)求函数 f(x)的解析式;4(2)求 sin 的值.18.(本小题满分 12 分)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中,O 是 AC 的中点,A1O平面ABC,BCA=90,AA1=AC=BC.(1)求证:A1BAC1;(2)求二面角 A-BB1-C 的余弦值.19.(本小题满分
2、 12 分)某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果统计如下:API0,50(50,100(100,150(150,200(200,250(250,300300空优良轻微轻度中度中度重5气质量污染污染污染重污染度污染天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量指数 API(记为 w)的关系式为 S=试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率.(2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染.完成下面 22 列联表,并判断能否有
3、 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100附:P(K2k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0016k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=20.(本小题满分 12 分)(2015 四川资阳三模,20)已知动点 P 到定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x=4 的距离的比值为.(1)求动点 P 的轨迹的方程;(2)若过点 F 的直线与点 P 的轨迹相交于 M,N 两点(M,N 均在 y 轴右侧),点 A(0,2),B(0,-2),设 A,B,M,N 四点
4、构成的四边形的面积为 S,求 S 的取值范围.21.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=.(1)判断函数 f(x)在(0,+)上的单调性;(2)证明:对任意正数 a,存在正数 x,使不等式 f(x)-1-1,所以 M(RN)=x|-2-1=x|-11)=P(log2-0.5=0.5-0.5=0.所以函数 f(x)=log2x+x-2 在区间(1,1.5)内有零点.又函数 f(x)=log2x+x-2 为定义域上的单调函数,所以函数的唯一零点在区间(1,1.5)内.所以方程 log2x+x=2 的解所在的区间为(1,1.5).答案:B6.已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1+a
5、3=,a2+a4=,则=( )A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1解析:设an的公比为 q,由可得=2,q=,代入得 a1=2.an=2.Sn=4.=2n-1.答案:D7.执行如图所示的程序框图,若 n=2,a1=1,a2=2,则输出的 s 等于( )11A.1B.C.2D.3解析:依题意得,当 n=2,a1=1,a2=2,执行第一次循环时,i=12,此时结束循环,故输出的 s=,选 B.答案:B8.(2015 广东广州一模,8)直线 x+ay+1=0 与圆 x2+(y-1)2=4 的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定解析:直线 x+ay+1=0 必过定点(-1,
6、0),因为(-1)2+(0-1)20,0)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)求 sin 的值.解:(1)由题意可得 A=2,-x0=,所以 T=.由=,得 =2,所以 f(x)=2sin.(2)因为点(x0,2)是函数 f(x)=2sin 在 y 轴右侧的第一个最高点,所以 2x0+.所以 x0=.所以 sin=sin=sincos+cossin=.18.(本小题满分 12 分)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中,O 是 AC 的中点,A1O平面 ABC,BCA=90,AA1=AC=BC.(1)求证:A1BA
7、C1;(2)求二面角 A-BB1-C 的余弦值.解:(1)因为 A1O平面 ABC,所以 A1OBC.又 BCAC,A1OAC=O,所以 BC平面 A1ACC1.所以 AC1BC.15因为 AA1=AC,所以四边形 A1ACC1是菱形.所以 AC1A1C.又 BCA1C=C,所以 AC1平面 A1BC,所以 A1BAC1.(2)设 AA1=2,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.则 A(0,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),C1(0,2,),=(2,2,0),=(0,1,).设 m=(x,y,z)是面 ABB1的一个法向量,则 m=m=0,即令 z=1,得 m=(,-,1)
8、.同理面 CBC1的一个法向量为 n=(0,-,1).因为 cos=.所以二面角 A-BB1-C 的余弦值为.19.(本小题满分 12 分)某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监 测数据,结果统计如下:A PI0,5 0(50,1 00(100,1 50(150,2 00(200,2 50(250,3 003 00空 气质 量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污 染重 度污 染天 数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量指数 API(记为 w)的 关系式为 S=16试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失
9、 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率.(2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染.完成下面 22 列 联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.非重度 污染重度 污染合 计供暖 季非供 暖季合计10 0附:P(K2 k0)0.2 50.1 50.1 00.0 50.0 250.0 100.0 050.00 1k01.3 232.0 722.7 063.8 415.0 246.6 357.8 7910.8 28K2=解:(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A,由 20
10、03.841,所以有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.20.(本小题满分 12 分)(2015 四川资阳三模,20)已知动点 P 到定点 F(2,0)的距离和它到定 直线 x=4 的距离的比值为.(1)求动点 P 的轨迹的方程;(2)若过点 F 的直线与点 P 的轨迹相交于 M,N 两点(M,N 均在 y 轴右侧),点 A(0,2),B(0,- 2),设 A,B,M,N 四点构成的四边形的面积为 S,求 S 的取值范围.解:(1)设动点 P(x,y),则,化简得=1.(2)由(1),轨迹是以 F(2,0)为焦点,离心率为的椭圆,如图,连接 OM,ON,设直线 MN 的方程为 x
11、=my+2,点 M(x1,y1),N(x2,y2).联立消去 x,得(m2+2)y2+4my-4=0,则 y1+y2=-,y1y2=-,所以|y1-y2|=.由于 M,N 均在 y 轴右侧,则 x10,x20,且 0|m|0,所以 h(x)在(0,+)上是增函数.又 h(0)=0,所以 h(x)0,则 f(x)0,所以 f(x)在(0,+)上是增函数.(2)证明:f(x)-1=,不等式 f(x)-1ln(a+1)时,G(x)0,所以 G(x)min=G(ln(a+1)=a-(a+1)ln(a+1).令 (a)=-ln(a+1)(a0),(a)=-0 时,(a)(0)=0,即 G(x)min=a
12、-(a+1)ln(a+1)0.故存在正数 x=ln(a+1),使不等式 f(x)-1a 成立.请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10 分)(2015 甘肃庆阳一诊)如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的 延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上.19(1)若,求的值;(2)若 EF2=FAFB,证明:EFCD.解:(1)A,B,C,D 四点共圆,ECD=EAB,EDC=B.EDCEBA,可得.,即.(2)EF2=FAFB,.又EFA=BFE,FAEFEB,可得FEA=EBF,又A,B,C,D 四点共圆,E
13、DC=EBF.FEA=EDC.EFCD.23.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1的参数方程为( 为参数),圆 C2的参数 方程为( 为参数),以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求 C1和 C2的极坐标方程;(2)C1和 C2交于 O,P 两点,求 P 点的一个极坐标.解:(1)圆 C1的普通方程为(x-4)2+y2=16,则 C1的极坐标方程为 =8cos .圆 C2的普通方程为 x2+(y-2)2=4,则 C2的极坐标方程为 =4sin .(2)设 P(,),则有 8cos =4sin ,解得 tan =2,sin =,所以 P 点的极坐标为.24.(本小题满分 10 分)(2015 河北唐山一模,24)已知函数 f(x)=|2x-a|+|x+1|.20(1)当 a=1 时,解不等式 f(x)3;(2)若 f(x)的最小值为 1,求 a 的值.解:(1)因为 f(x)=|2x-1|+|x+1|=且 f(1)=f(-1)=3,所以,f(x)3 的解集为x|-1x1.(2)因为|2x-a|+|x+1|=+|x+1|+0=,当且仅当(x+1)0,且 x-=0 时,取等号.所以=1,解得 a=-4 或 0.
