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1、高二数学高二数学“导数及其应用导数及其应用”综合测试卷综合测试卷一、填空题（本题共一、填空题（本题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，合计分，合计 70 分）分）1.已知函数，则 2( )lnf xxx( )fx2.曲线在点的切线方程是 3231yxx1, 13.函数的单调增区间是 33yxx4.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则3( )128f xxx3,3,M m Mm5.已知函数则 2( )2(1),f xxxf (0)f 6.已知函数在上单调递增，则的取值范围是 2( )lnf xxax1,a7.设函数 331f xaxx（xR） ，若对于任意，都有0 成立，1,1x
2、f x则实数= a8.若函数的定义域为，对任意，则的( )f xR( 2)1f ,( )1xR fx( )3f xx解集为 9.曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为 1yx2yxx10. 已知函数的递增区间为，则的取值范围是 3(3 )(0)ya xx a( 1,1)a11. 已知函数的导函数若在处取到极大值,则的( )f x( )(1)(),fxa xxa( )f xxaa 取值范围是 12. 周长为的矩形围成圆柱（无底） ，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱12cm 的高之比是 13. 已知二次函数导数为且，对任意实数都有2( )f xaxbxc( ),fx(0)0
3、f x则的最小值为 ( )0,f x (1) (0)ff 14. 在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图xOyP)0()(xexfx象在处的切线 交轴于点，过点作 的垂线交轴于点，设线段的PlyMPlyNMN中点的纵坐标为 ，则 的最大值是 tt二、解答题（第二、解答题（第 15,1615,16 题各题各 1414 分；分；17,1817,18 题各题各 1515 分；分；19,2019,20 题各题各 1616 分，共计分，共计 9090 分）分）15.已知函数图象上的点处的切线方程为.32( )f xxaxbxc 1,(1)Pf31yx （1）若函数在时有极值，求的表达式；(
4、 )f x2x ( )f x（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.( )f x2,0b16若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.( )yf x0xx0x( )yf x已知 a，b 是实数，1 和是函数的两个极值点132( )f xxaxbx（1）求 a 和 b 的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；( )g x( )( )2g xf x( )g x17. 设函数.329( )62f xxxxa（1）对于任意实数恒成立，求实数的最大值；,( )x fxmm（2）若方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.( )0f x a18. 已知函数32( )3f xxaxx（1）若在
5、上是增函数，求实数的取值范围；( )f x1,a（2）若是的极值点，求在上的最小值和最大值.3x ( )f x( )f x1,xa19. 用长为 24m 的钢条围成一个长方体形状的框架, 要求长方体的长与宽之比为 3：1, 问该长方体长、宽、高各为多少时,其体积最大？最大体积是所少？20. 设函数，其中为实数。axxxf ln)(axexgx)(a（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；)(xf), 1 ( )(xg), 1 ( a（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。)(xg), 1()(xf高二数学高二数学“导数及其应用导数及其应用”综合测试参考答案综合
6、测试参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 2 lnxxx32yx 1,13242a 7. 8. 9. 10. 11. 12.42,3 4,010a 2:113. 14. 21 22e e15. 解：即2( )32,fxxaxb (1)323,fab 20.ab又(1)13 1 12,fabc 1.abc （1）函数在时有极值，( )f x2x ( 2)1240.fab 解得2,4,3,abc 32( )243.f xxxx （2）函数在区间上单调递增，Q32( )2bf xxxbxc 2,0在区间上恒成立，则2( )30fxxbxb 2,0( 2)1220(0)0fbbfb 得 实数的取
7、值范围为.4,b b4,1617. 解：（1）对于任意实数2( )396,fxxxQ恒成立，恒成立，,( )x fxm239(6)0xxm解得的最大值为.81 12(6)0,m 3.4mm 3 4（2）当时，当时，2( )3963(1)(2),fxxxxxQ1x ( )0;fx 12x当时， 当时，取极大值当时，( )0;fx 2x ( )0.fx 1x ( )f x5(1);2fa2x 取极小值又方程有且仅有一个实根，或( )f x(2)2.fa( )0f x (2)0f(1)0,f解得或.实数的取值范围为.2a 5 2a a5,2,2U18. （1）由题设知时，2( )323.fxxax1
8、,x31( )0.1,.2fxxaxx Q（时取等号）.时，当且仅当时min3132axx1x 3a 1x ( )0,fx 3.a（2）由题设知即(3)0,f3227630,5,( )53 .aaf xxxx令得或（舍去）.2( )31030,fxxx3x 1 3x 当时，单调递减；当时，单调递增.13x( )0,( )fxf x35x( )0,( )fxf x当时，有极小值3x ( )f x(3)9.f 又在上的最小值是最大值是(1)1,(5)15,( )fff x 1,5x(3)9,f (5)15.f19. 20.（1）0 在上恒成立，则，axxf1)(), 1 ( ax1)1 (，x故：
9、1，若 1e，则0 在上恒aaxgxe)(aaxgxe)(), 1 ( 成立，此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；axexgx)(), 1 ( 若e，则在上是单调减函数，在上是单aaxexgx)()ln1 (a，)(ln，a调增函数，满足故的取值范围为：e)ln()(minagxgaa（2）0 在上恒成立，则ex，axgxe)(), 1(a故： a1e)0(11)(xxaxaxxf()若 0 ，令0 得增区间为(0， )；a1e)(xf 1a令0 得减区间为( ，)(xf 1a当 x0 时，f(x)；当 x时，f(x)；当 x 时，f( )lna10，当且仅当 时取等号1a1aa1e故：当 时，f(x)有 1 个零点；当 0 时，f(x)有 2 个零点a1ea1e()若 a0，则 f(x)lnx，易得 f(x)有 1 个零点()若 a0，则在上恒成立，01)(axxf)0(，即：在上是单调增函数，axxxf ln)()0(，当 x0 时，f(x)；当 x时，f(x)此时，f(x)有 1 个零点综上所述：当 或 a0 时，f(x)有 1 个零点；当 0 时，f(x)有 2 个零a1ea1e点
