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1、第 1 页 共 8 页第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何3.13.1 空间向量及其运算（一）空间向量及其运算（一）学习目标：学习目标： 知识目标：空间向量；相等的向量；空间向量的加减与数乘运算及运算律； 能力目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 情感目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物 学习重点：学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律 学习难点：学习难点：应用向量解决立体几何问题 学习方式：学习方式：讨
2、论式 学习过程：学习过程： .复习 师在必修四第二章平面向量中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫 做向量？向量是怎样表示的呢？生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母 a、b 等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB师数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以 将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下 生长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 师学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，其长度和方向规定如
3、下：(1)|a|a|(2)当 0 时，a 与 a 同向；当 0 时，a 与 a 反向；当 0 时，a0.师关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？生向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：abba加法结合律：(ab)ca（bc）数乘分配律：(ab)ab师今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表 示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行 一些简单的应用请同学们认真阅读课本 P26P27内容。 .学习新课师如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量空间中具有大小和方向的量叫做向量例如空间的一
4、个平移就是一个向量那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的 呢？生与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量表示同一向量或相等的向量师由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示因此我们说空间任意两个向量是共面的空间任意两个向量是共面的师空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？第 2 页 共 8 页生空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：=a+b，ABOAOB（指向被减向量） ，OAOBABa OP)(R师空间向量的加法与数乘向量有哪些运算
5、律呢？请大家验证这些运算律 生空间向量加法与数乘向量有如下运算律：加法交换律：加法交换律：a + b = b + a；加法结合律：加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；数乘分配律：数乘分配律：(a + b) =a +b师空间向量加法的运算律要注意以下几点： 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：nnnAAAAAAAAAA11433221L因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向 量 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnnL两个向量相加的平行四边形法则
6、在空间仍然成立 因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法 则例已知平行六面体（如图） ，化简下列DCBAABCD 向量表达式，并标出化简结果的向量：；BCAB ；AAADAB21CCADAB) (31AAADAB说明：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 ABCD的轨迹所形成的几何体，叫做平平行六面体记作 ABCDABCD平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱解：（见课本 P27）说明：由第 2 小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向
7、空间的推广.巩固练习 课本 P92 练习 . 小结：小结： 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的 是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的 长度” ，空间的平移包含平面的平移 关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法 .课后作业 预习课本 P92P96，预习提纲：怎样的向量叫做共线向量？ 两个向量共线的充要条件是什么？ 空间中点在直线上的充要条件是什么？ 什么叫做空间直线的向量参数表示式？ 怎样的向量叫做共面向量？ 向量 p 与不共线向量 a、b 共面的充要条件是什么？ 空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是什么？第 3
8、页 共 8 页空间向量及其运算（空间向量及其运算（2）一、学习目标：1理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 2掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式 二、学习重、难点：共线、共面定理及其应用 三、学习过程： （一）复习回顾：空间向量的概念及表示； （二）新课学习： 1共线（平行）向量：共线（平行）向量： 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：arbr/abrr2共线向量定理：共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）, (0),/a b babr rrrrrabrr推论推论：如果
9、 为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直lAarOP线 上的充要条件是存在实数 ，满足等式，其中向量叫做直线 的方ltOPOAtABuuu ruu u ruuu rarl向向量。在 上取，则式可化为或lABauuu rrOPOAtABuuu ruu u ruuu r(1)OPt OAtOBuuu ruu u ruuu r当时，点是线段的中点，此时1 2t PAB1()2OPOAOBuuu ruu u ruuu r和都叫空间直线的向量参数方程，是线段的中点公式AB3向量与平面平行：向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向arOAauu u rrO
10、A量平行于平面，记作：ar/ar通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的4共面向量定理：共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使, a brrpr, a brr, x ypxaybrrr推论推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使PMAB, x y或对空间任一点，有MPxMAyMBuuu ruuu ruuu rOOPOMxMAyMBuuu ruuuu ruuu ruuu r上面式叫做平面的向量表达式MAB （三）例题分析：例 1已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，, ,A B C122 555OPOAOBO
11、Cuuu ruu u ruuu ruuu r试判断：点与是否一定共面？P, ,A B C解：由题意：，522OPOAOBOCuuu ruu u ruuu ruuu r，()2()2()OPOAOBOPOCOPuuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu r，即，22APPBPCuuu ruu u ruuu r22PAPBPC uu u ruu u ruuu r所以，点与共面P, ,A B C说明：说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的 充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式O,
12、,A B C（其中）的四点是否共面？OPxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r1xyz, , ,P A B C解：，(1)OPzy OAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r，()()OPOAy OBOAz OCOAuuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruu u r，点与点共面APyABzACuuu ruuu ruuu rP, ,A B C例 2已知，从平面外一点引向量ABCDYACO，,OEkOA OFKOB OGkOC OHkODuuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu u ruuu ral PB AOO
13、ABCDHFGEarar第 4 页 共 8 页（1）求证：四点共面；,E F G H（2）平面平面AC/EG解：（1）四边形是平行四边形，ABCDACABADuuu ruuu ruuu r，EGOGOEuuu ruuu ruuu r()()()k OCk OAk OCOAkACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEHuuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu u ruuu ruuu ruuu r共面；,E F G H（2），又，()EFOFOEk OBOAk ABuuu ruu
14、u ruuu ruuu ruu u ruuu rEGk ACuuu ruuu r/,/EFAB EGAC所以，平面平面/ACEG四、练习：课本第 96 页练习第 1、2、3 题 五、小结：1共线向量定理和共面向量定理及其推论； 2空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式 七、补充练习：1已知两个非零向量不共线，如果，21,e eu r u u r21ABeeuuu ru ru u r，2128ACeeuuu ru ru u r2133ADeeuuu ru ru u r求证：共面, ,A B C D2已知，若，求实数的值。324 ,(1)82amnp bxmnyprrrrrrrr0a rr
15、/abrr, x y3如图，分别为正方体的棱的中点，,E F G H1AC11111111,AB AD BC DC求证：（1）四点共面；（2）平面平面,E F D BAEF/BDHG4已知分别是空间四边形边的中点，,E F G HABCD,AB BC CD DA（1）用向量法证明：四点共面；,E F G H（2）用向量法证明：平面/BDEFGHD1C1B1A1HGF EDCBAABCDFEGH第 5 页 共 8 页3.1.33.1.3空间向量的数量积（空间向量的数量积（1 1）学习学目标：学习学目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体 几何中的一些简单问题。 学习重、难点学习重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 学习过程学习过程 （
