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1、第十二讲 空间中的角与距离、平行与垂直（一）考点整合： 一、三视图：正视图、侧视图、俯视图 二、空间中线线平行、线线垂直的判定与性质；线面平行、线面垂直的判定与性质；面面平行、面面 垂直的判定与性质。 三、空间中的距离：点点、点线、点面、线线、线面、面面及球面距离共七种形式。线面距离、面面 距离一般要化成点面距离来求。点面距离的三种求法：1、直接法：作面的垂线段；2、等体积法3|cos,|PAAPPA nPhPAPA nPA eenuu u r ruu u ruu u r ruu u r rrr、设是平面的斜线（为斜足，为平面外一点），向量为平面的法向量，则点到平面的距离（其中为单位法向量）异
2、面直线间距离的求法：1、定义法：找出两异面直线的公垂线段，求其长度。2、化为线面距离12123,nl lAl BlPA ndPA enruu u r ruu u r rr、向量法：设向量是异面直线公垂线上的方向向量，, 则异面直线的距离 四、空间中的角的向量求法112233123, , (0), (0), (0),cos22,sin, cosa ba bu v abaa ba uu va ba uu v r rr u rr rr rr rr rr rr r设异面直线上的方向向量分别为, , 平面, 的法向量分别为与所成的角为与所成的角为与所成的角为则例 1. (2010(2010 年全国高考宁
3、夏卷年全国高考宁夏卷 1414）正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种）例例 2 （20102010 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 7 7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 31A 32B 1C 2D21主视图左视图2俯视图例例 3 （20102010 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 6 6）如图 1， ABC 为正三角形，/ / , 平面AABBCCCCABC 且 3= =AB,则多面体ABC -的正视图（也称主视图）是AA3 2BBCCA B C 作业 1 （20102010 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 1212）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图
4、所示,则其表面积 等于 .AB例 4 （20102010 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 3 3）在空间，下列命题正确的是（ ） （A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行 （C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行例例 5 （ 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 7 7）正方体 ABCD-中，B与平面 AC所成角1111ABC D1B1D的余弦值为（ ）A B C D2 33 32 36 3例 6 （ 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 1212）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、
5、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 2 3 34 3 32 38 3 3例 7 （20102010 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 6 6）如图,若是长方体被平面截去几何体1111ABCD-A B C DEFGH后得到的几何体,其中 E 为线段上异于的点，F 为线段上异于的点，且11EFGHBC11A B1B1BB1B，则下列结论中不正确的是（ ）EH11ADA. B.四边形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台EHFGEFGH例例 8. (2010(2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1010）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有
6、棱长都为，顶点都在一个球a 面上，则该球的表面积为(A) (B) (C) (D) 2a27 3a211 3a25 a例 9 （20102010 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 1010）过正方体的顶点 A 作直线，使 与棱1111ABCDABC DllAB，AD，所成的角都相等，这样的直线 可以作1AAlA1 条 B2 条 C3 条 D4 条例 10 （20102010 年高考浙江卷年高考浙江卷 6 6）设 m,l 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是作业：1(2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 11）与正方体的三条棱、所在直1111ABCDABC DAB1CC1
7、1AD线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个2. ( (20102010 年高考数学湖北卷理科年高考数学湖北卷理科 1313）圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水， 若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上 面的球（如图所示)，则球的半径是 cm3. (2010(2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 10)10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其 中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （A） 直线（B） 椭圆（C） 抛物线（D） 双曲线4 （20102010 年高考四川卷理科年高考
8、四川卷理科 1515）如图，二面角的大小是 60，线段.，l ABBl与 所成的角为 30.则与平面所成的角的正弦值是 . ABlAB5(2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 16）已知球的半径为 4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆OMNAB 与圆的公共弦，若，则两圆圆心的距离 MN4AB 3OMONMN1A1B1C1DADCB第十三讲 空间中的角与距离、平行与垂直（二）例 1 （20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 1818）w_w w. k#s5_u.c o*m已知正方体 ABCDABCD的棱长为 1，点 M 是棱 AA的 中点，点 O 是对角线 BD的中点.（）求
9、证：OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线； （）求二面角 MBCB的大小；（）求三棱锥 MOBC 的体积.例 2 （20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 1616）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。（1）求证：PCBC； （2）求点 A 到平面 PBC 的距离。 例 3. (2010(2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1818）如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,ACBD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ，E 为 AD 中点 （1）证明：PEBCP（1）若APB=AD
10、B=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值例 4(2010(2010 年高考北京市理科年高考北京市理科 16)16)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1. 2（）求证：AF平面BDE； （）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。例 5 （20102010 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 1919）已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. （）证明：CMSN； （）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.作业
11、1(2010 年高考全国年高考全国 2 卷理数卷理数 19）如图，直三棱柱中，为的中点，111ABCABCACBC1AAABD1BB为上的一点， （）证明：为异面直线E1AB13AEEBDE与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为 45，1ABCD1ABCD求二面角的大小111AACB2. (2010(2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 19)19) 如题(19)图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，PAAB，点 E 是棱 PB6的中点 () 求直线 AD 与平面 PBC 的距离； () 若AD，求二面角 AECD 的平面角的余弦值3DABCDMOABCA
12、DPEBC 题(19)图第十二讲 空间中的角与距离、平行与垂直（一）考点整合： 四、三视图：正视图、侧视图、俯视图 五、空间中线线平行、线线垂直的判定与性质；线面平行、线面垂直的判定与性质；面面平行、面面 垂直的判定与性质。 六、空间中的距离：点点、点线、点面、线线、线面、面面及球面距离共七种形式。线面距离、面面 距离一般要化成点面距离来求。点面距离的三种求法：1、直接法：作面的垂线段；2、等体积法3|cos,|PAAPPA nPhPAPA nPA eenuu u r ruu u ruu u r ruu u r rrr、设是平面的斜线（为斜足，为平面外一点），向量为平面的法向量，则点到平面的距
13、离（其中为单位法向量）异面直线间距离的求法：1、定义法：找出两异面直线的公垂线段，求其长度。2、化为线面距离12123,nl lAl BlPA ndPA enruu u r ruu u r rr、向量法：设向量是异面直线公垂线上的方向向量，, 则异面直线的距离 四、空间中的角的向量求法112233123, , (0), (0), (0),cos22,sin, cosa ba bu v abaa ba uu va ba uu v r rr u rr rr rr rr rr rr r设异面直线上的方向向量分别为, , 平面, 的法向量分别为与所成的角为与所成的角为与所成的角为则类型一：三视图的应用
14、（2010 年课改区的高考卷几乎都出了三视图的内容）5. (2010(2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1414）正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种） 【解析解析】三棱锥、三棱柱、圆锥等9 （20102010 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 7 7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 【 】 31A 32B 1C 2D21主视图左视图2俯视图（第 7 小题图）【答案】C【解析】由所给三视图知，对应的几何体为一倒放的直三棱柱（如下图所示） ，其高CBAABC 为，底面满足：.2ABC1,2,ACABACAB故该几何体的体积为.故选.121221 AASVABCCAC ABCBABCDA1B1C1D1O6 （20102010 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 6 6）如图 1， ABC 为正三角形，/ / , 平面AABBCCCCABC 且 3= =AB,则多面体ABC -的正视图（也称主视图）是AA3 2BBCCA B C 【答案】D 1 （20102010 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 1212）若一个底面是
