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1、1轮换对称与考题轮换对称与考题安徽 李师如果 x1,x2是方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根，由根与系数的关系，不能求得x1+x2,x1.x2,x21+x22,x31+x32,x1-x2等代数式的值。上式两个字母互换位置后，原式保持不变，故称之为一元二次方程的根的轮换对称式。这些对称式，在中考中有着广泛的应用，下 面以考题为例，说明如下。例例 1（太原市中考题）设方程 x2+x-1=0 的两个实数根分别是 x1,x2,则的值是 xx2111（ ）(A)1 (B)1 (C) (D)555解解：x1+x21，x1.x21，1。故选(A)。xxxx xx21212111例例 2（青海省中考题）
2、设 x1,x2是方程 2x2-6x+3=0 的两个根，则 x21+x22的值为（ ）(A)3 (B)3 (C)6 (D)6解解：x1+x23，x1.x2，23x21+x22（x1+x2）22 x1.x26。故选(C)。例例 3（杭州市中考题）设 x1,x2是关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两个根，设 x11,x21 是 关于 x 的方程 x2+qx+p=0 的两个根，则 p、q 的值分别是 （ ）(A)1,-3 (B)1，3 (C)1，3 (D)1，3解解：x1+x2-p,x1.x2q, （x11）（x21）q, (x11)(x21)=p 由、解得 p=-1,q=-3.故选(C)。例例
3、 4（重庆市中考题）已知 x1,x2是关于 x 的方程(a-1)x2+x+a2-1=0 的两个实数根，且x1+x2，则 x1.x2。31解解：由题意，得，31 11aa=-2.x1.x21。112aa例例 5（山东荷泽市中考题）已知方程 x2+(2m+1)x+m2-2=0 的两个实数根的平方和等于 11，求 m 的值。解解：设方程两个实数根为 x1,x2。2由题意，得 x21+x22（x1+x2）22x1.x211，又 x1+x2（2m+1）, x1.x2m2-2,-(2m+1)2-2(m2-2)=11,整理，得 m2+2m-3=0,解得，m1=-3,m2=1.当 m1=-3 时，（5）241
4、720，舍去；故 m1。例例 6（江苏南通市中考题）设方程组 x2-x-y=0, x=x1 x=x2y=2x-1 的解是 y=y1 y=y2求和 y1.y2的值。xx2111解解：把 y=2x-1 代入 x2-x-y=0 中，得x2-3x+1=0.3。xxxx xx21212111y1=2x1-1，y2=2x2-1，y1.y2（2x1-1） （2x2-1）4x1.x22（x1x2）11。例例 7（淮安市中考题）已知关于 x 的一元二次方程 x2-mx+2m-1=0 的两个实数根的平方 和是 23，求 m 的值。某同学解答如下：解解：设 x1，x2是方程的根，由根与系数的关系，得x1+x2m,
5、x1.x22m-1，由题意，得 x21+x2223。又 x21+x22（x1+x2）22x1.x2；m2-2(2m-1)=23.解之，得 m1=7,m2=-3.所以，m 的之为 7 或3。上述解答中有错误，请你指出错误之处，并重新给出完整的解答。解解：（1）原解中 x1+x2m,应改为 x1+x2m,且取 m 值时未分析根的情况。（2）设 x1，x2是方程的两根，则 x1+x2m，x1.x22m-1。由题意，得 x21+x2223。解得，m1=7,m2=-3.当 m7 时，m2-4(2m-1)=-30,x20，x1+x2=3，x1+x23，2k-3=3,解得 k=3,这与 k矛盾，舍去。125
6、若 x10,（2k-3）2=9,解得 k=0。例例 11（北京市中考题）已知关于 x 的方程 x2-2mx+3m=0 的两个实数根是 x1，x2且 （x1x2）216。如果关于 x 的另一个方程 x2-2mx+6m-9=0 的两个实数根都在 x1与 x2之间， 求 m 的值。解解：x1，x2是方程 x2-2mx+3m=0的两个实数根，x1+x22m, x1x2=3m,（x1x2）216，（x1x2）24 x1x216，4m2-12m=16,解得，m1=-1,m2=4.（1）当 m1=-1 时，方程为 x2+2x-3=0,x1=-3,x2=1.方程 x2-2mx+6m-9=0 为 x2+2x-15=0,x1=-3,x2=1。5，3 不在3，1 之间，m=-1 不合题意，舍去。（2）当 m=4 时，方程为 x2-8x+12=0,x1=2,x2=6;方程为 x2-8x+15=0,x1=-3,x2=5。2356，即 x1x1 x2x2,方程的两根都在方程的两根之间。综上 m=4。安徽岳西县城关中学（246600）李庆社联系电话：05562173802
