概率随机变量

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1、1第 4 章 概率随机试验：对随机现象的客观观测。随机试验具有（1）可重复性；（2）可观测性； （3）随机性。 样本空间：随机试验的所有结果的集合称作样本空间。 概率的统计定义：在不变的一组条件下，重复进行 n 次试验。当 n 充分大时，若事件 A 发生的频率稳定地在某个常数 p 附近摆动，且一般来说，n 越大，摆动幅度越小，则称 常数 p 为事件 A 的概率，记为 P(A) = p。 （如，投硬币，求正面朝上的概率。 ）0200400600800100000.20.40.60.81模拟投硬币 1000 次，正面朝上次数占总次数比率随时间变化的序列图概率的古典定义：若 A1, A2, , An

2、构成一个等可能完备事件组，而事件 B 是由其中 m 个基本事件构成，则事件 B 的概率用下式表示。P(B) = m / n （投色子中求某个点的概率。 ） 客观概率：由可重复试验定义的概率为客观概率。 （如投硬币时，正面朝上的概率，某 次火车晚点的概率，某校学生每年通过英语 4 级的概率，某段公路上车辆发生交通事故的 概率等。 ）概率的统计定义和古典定义都指的是客观概率。 主观概率：是对概率的主观解释。常用于不可重复试验的事件。 （某学生来年能考上大 学的概率，某市某天下雨的概率。 ） 相互独立：若两个事件积的概率等于这两个事件概率的积，即P(A B) = P(A) P(B) 则称事件 A，B

3、 相互独立。 （例 A、B 表示两粒麦种各自发芽的概率。显然 A、B 相互独立， 且相容。 ） 互不相容：若事件 A，B 不能同时发生则称事件 A，B 为互不相容事件。 （投色子中“1 点”和“2 点”是互不相容事件。但“1 点” 和“奇数点”是相容事件。 ） 注意：“相互独立” 和“互不相容”是两个不同的概念，不要混淆。互不相容事件一 般不是相互独立事件。 因为对于两个相互独立事件 A，B，有 P(A) 0，P(B) 0。则 P(A B) = P(A) P(B) 0。 当 A，B 为互不相容事件时，必有 P(A B) = 0，不能满足相互独立的条件。 见 61 页例 1。 条件概率：在事件

4、A 已经发生的条件下，事件 B 发生的概率称作事件 B 在给定事件 A 下的条件概率。表示为 P(B|A)。2利用概率的古典定义求概率时，完备事件组内的基本事件必须是等概的。下面介绍一 种基本事件不一定是等概的求概率问题。 贝努里试验过程 若一个随机试验只含有两种相互对立的可能结果，则称作贝努里（Bernoulli）试验。 如一个篮球运动员投篮命中率为 0.7，非命中率为 0.3，投篮一次，结果可能是“投中”也 可能是“未投中” 。这就是一次贝努里试验。观察一个灯泡使用寿命低于还是高于 100 小时 也是一次贝努里试验。实际中，常常不是只考察一次贝努里试验，而是连续考察多次。把 这样的序列称作

5、贝努里试验序列。 贝努里试验过程：在 n 次贝努里试验中，假设每次试验结果与其他各次试验结果无关， 且每次试验中该试验结果出现的概率都是 p,（0 0.5 时，为左偏分布；p 0，则称 x 服从正态分布。记作 x N(, 2 )。, 分别是 x 的数学期 望和标准差。可以证明E(x) = x f (x) dx =xexp(-) dx = 21222)(xVar (x) = (x - )2 f (x) dx = (x - )2exp(-) dx = 221222)(x= )(xVar三种不同参数的正态分布曲线见图 1。概率密度函数 f (x)呈钟形。最大值点在 x = 处。 曲线以 x = 对称

6、。在 x = 处密度函数曲线有拐点。当 x 时，f (x) 以 x 轴为 渐近线。当 较大时，f (x) 曲线较平缓；当 较小时，f (x) 曲线较陡峭。已知 和 的 值，就可以完全确定正态分布密度函数。 对某产品的物理量测量常服从于正态分布。 标准正态分布定义：对于正态分布密度函数 f (x)，当 = 0， = 1 时，即f0 (x) =exp(-) 21 22x称连续型随机变量 x 服从标准正态分布。记作 x N(0, 1 )。对于标准正态分布 E(x) = 0，Var(x) = =1。)(xVar标准正态分布曲线见图 2。标准正态分布密度函数 f0(x)有如下性质：（1） f0(x) 以

7、纵轴对称；（2）x = 0 时，f0(x) 的极大值是 1/= 0.3989；（3）f0(x) 在 x = 1 处有两个27拐点；（4）f0 (x) = 0。 Tplim1234560.20.40.60.8-4-2240.10.20.30.4图 1 正态分布曲线 图 2 标准正态分布曲线正态分布随机变量的标准化。若 x N(, 2 )，a, b 为任意实数，且 a 30，t 分布就很近似于标准正态分布。 t 分布的均值和方差分别为 E(t(n) ) = 0 Var(t(n) ) = n / (n -2), n 2-4-2240.10.20.30.42468100.10.20.30.4图 4 t

8、 分布密度曲线 图 5 2分布密度曲线注意：（1）当 n 2 时，方差无定义。 （2）当 n 时，Var(t(n) ) = 1，与标准正态分 布的方差相同。t 分布的百分位数可以通过 t 分布表（附录 2）查到。2(2)2(3)2(5)t(5)N(0,1)9练习查 t 分布表 (p.427)。 t0.95(30) = 1.706.2.3 2分布 如果随机变量 x 有如下密度函数，f (x) = n, x 02/ )2( nx2/xe0, x 0其中常量 n只与 n 有关（而与 x 关）n = 1, 2, , 则称连续型随机变量 x 服从自由度为 n 的 2分布。 2（读作“开方” ， 是希腊字

9、母）分布是连续型的概率分布，并具有一个参数 n。n 是2分布的自由度。n 可以取所有正整数，从而构成一个2分布族。n 的不同值对应着2 分布族中不同的具体的2分布曲线。服从自由度为 n 的2分布的随机变量用2 (n) 表示。2 (n) 的取值范围是（0, ） 。 2 (2) , 2 (3) , 2 (5) 的分布密度曲线见图 5。2分布密度曲线是单峰的，右偏倚的。随着 自由度 n 的加大，偏倚程度变小。当 n 增大时，2分布的形状趋近于正态分布。 可以证明（略） ，2分布的均值和方差分别为E(2 (n) ) = n Var(2 (n) ) = 2 n, n 2由上两式知，当 n 增大时，2分布

10、的均值和方差也分别增大。 注意：2分布的百分位数可以在2分布表（附表 3）中查到。练习查2分布表 (p.426)。例：已知 P2 2（10） = 0.05，求2。20.95（10） = 18.31例：P2 2（18） = 0.01，求2。20.99（18） = 34.81例：P2 2（18） = 0.95，求2。20.05（18） = 9.396.2.4 F 分布 如果随机变量 x 有如下密度函数，f (x) = (n1, n2) , x 02/ )( 212/ )2(211nnnnxnx0, x 0其中常量 (n1, n2) 只与 n1和 n2有关（而与 x 无关）n = 1, 2, , 则

11、称连续型随机变量 x 服从 第 1 自由度为 n1，第 2 自由度为 n2的 F 分布。100.511.522.530.511.52图 6 F 分布密度曲线F 分布是连续型的概率分布，并具有两个参数 n1和 n2 。n1和 n2是 F 分布的两个自由 度。n1称作第 1 自由度（或分子自由度） ，n2称作第 2 自由度（或分母自由度） 。n1和 n2可 以取所有正整数，从而构成一个 F 分布族。每个（n1, n2）对应着 F 分布族中一个不同的具 体的分布曲线。服从自由度为 n1和 n2的 F 分布的随机变量用 F(n1, n2) 表示。F(n1, n2) 的取值 范围是（0, ） 。 服从

12、F 分布的密度曲线见图 6。F 分布密度曲线是单峰的，右偏倚的。随着自由度 n1 和 n2的加大，F 分布的众数趋近于 1。 F 分布的分布密度曲线随二个自由度的不同而不同。F 分布表给出了左侧概率 = 0.9， = 0.95 时，对应 F（临界值）的值，即 P（F 2注意：（1）当 n2 2 时，均值无定义。 （2）当 n2增大时，E(F(n1, n2) 趋近于 1。 F 分布的方差为Var(F(n1, n2) = , n2 4 )4()2()2(222 21212 2 nnnnnn注意：（1）当 n2 4 时，方差无定义。 （2）当 n1, n2增大时，Var(F(n1, n2) 趋近于零

13、。 因为 F 分布有两个自由度，所以 F 分布是以不同的百分位数分别编表的。附表 c-4 给 出 F 分布第 95，99 百分位数表（相对于 = 0.95 和 = 0.99） 。已知 F 分布第 95，99 百分位数，可利用下式求其第 5，1 百分位数。F1- (n1, n2) = 1 / (F (n2, n1)注意：在上式的分母中 n1, n2对调了位置。练习查 F 分布表 (p.428)。 例：已知 P（F F0.95（4，6）= 0.95，求 F0.95（4，6）= ?。 查 F 分布表，F0.95（4，6）= 4.5例：P ( F F0.05（6.4）) = 0.05 时，求 F 0.

14、05（6.4）) = ?。F0.05 (6，4) = = = 0.22 )6 , 4(95. 01 F53. 41例：已知 P（F F0.99（8，25）= 0.99，求 F0.99（8，25）= ?。F(2,8)F(10,10)F(100,100)11查 F 分布表 (p.430)，F0.99（8，25）= 3.32注意：t 分布、2分布、F 分布是统计推断中常用到的三个统计量。 6.3 随机变量 Z、t、2与 F 的关系 1Z 2 = F(1, ) 2t( n) 2 = F(1, n)3. 2( n) / n = F(n, )第 7 章 中心极限定理第 4 章介绍过随机事件发生的频率具有稳

15、定性，例如投硬币。在实践中人们还认识到 大量观测值的算术平均数也具有稳定性。无论个别随机现象的结果如何，大量随机现象的 平均结果实际上与每一个个别随机现象的特征无关。这种平均结果几乎不再是随机的了。7.1 大数定律 设随机变量 x1, x2, , xn 相互独立，服从同一分布，且分别具有相同的期望和方差 （有限值） ，E(xi) = , Var(xi) = 2 (i = 1, 2, , n)，则对于任意正数 有- = 1 (7.1)PLim nx其中=。- 是一个随机事件。定律表明当 n 时，这个事件的概率x niixn11x趋近于 1。随着 n 的增加，依概率收敛于。x7.2 中心极限定理 设随机变量 x1, x2, , xn相互独立，服从同一分布，且有相同的期望与方差（有限值） ， E(xi) = , Var (xi) = 2，( i = 1, 2, , n)，则对于一切实