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1、第 1 页 * 共 8 页第第 4 4 章章 连通性连通性本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间4.14.1 连通空间连通空间本节重点本节重点: :掌握连通与不连通的定义；掌握连通与不连通的定义；掌握如何证明一个集合的连通与否；掌握如何证明一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性我们先通过直观的方式考察一个例子在实数空间 R 中的两个区间（0，l）和1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）l，2）（0，2）却是一个
2、“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）（1，2）是明显的两个“部分”产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点 1 在1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形定义 4.1.1 设 A 和 B 是拓扑空间 X 中的两个子集如果则称子集 A 和 B 是隔离的第 2 页 * 共 8 页明显地，定义中的条件等价于和 同时成立，也就是说，A 与 B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点应用这一术语我们就可以说，在实数空间 R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，
3、而子集（0，l）和1，2)不是隔离的又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的定义 4.1.2 设 X 是一个拓扑空间如果 X 中有两个非空的隔离子集 A 和B 使得 X=AB，则称 X 是一个不连通空间；否则，则称 X 是一个连通空间显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间定理定理 4.1.14.1.1 设设 X X 是一个拓扑空间则下列条件等价：是一个拓扑空间则下列条件等价：（l l）X X 是一个不连通空间；是一个不连通空间；（2 2）X X 中存在着两个非空的闭子集中存在着两个非空的闭子集 A A 和
4、和 B B 使得使得 AB=AB=和和 ABABX X 成立；成立；（3 3）X X 中存在着两个非空的开子集中存在着两个非空的开子集 A A 和和 B B 使得使得 AB=AB=和和 ABABX X 成立；成立；（4 4）X X 中存在着一个既开又闭的非空真子集中存在着一个既开又闭的非空真子集证明 条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立令 A 和 B 是 X 中的两个非空的隔离子集使得 ABX，显然 AB=，并且这时我们有因此 B 是 X 中的一个闭子集；同理 A 也是一个 X 中的一个闭子集这证明了集合 A 和 B 满足条件（2）中的要求第 3 页 * 共 8 页条件（2）蕴涵（3）如果 X
5、的子集 A 和 B 满足条件（2）中的要求，所以A、B 为闭集，则由于这时有 A和 B=，因此 A、B 也是开集，所以 A 和 B也满足条件（3）中的要求条件（3）蕴涵（4）如果 X 的子集 A 和 B 满足条件（3）中的要求，所以A、B 是开集，则由 A和 B=易见 A 和 B 都是 X 中的闭集，因此 A、B 是 X中既开又闭的真（A、B，AB=X，A、BX）子集，所以条件（4）成立条件（4）蕴涵（l）设 X 中有一个既开又闭的非空真子集 A令B=则 A 和 B 都是 X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得 AB=X易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）因此（l）成
6、立例 4.1.1 有理数集 Q 作为实数空间 R 的子空间是一个不连通空间这是因为对于任何一个无理数 rR-Q，集合（-，r）Q（，rQ 是子空间 Q 中的一个既开又闭的非空真子集定理定理 4.1.24.1.2 实数空间实数空间 R R 是一个连通空间是一个连通空间证明 我们用反证法来证明这个定理假设实数空间 R 是不连通空间则根据定理 4.1.1，在 R 中有两个非空闭集 A 和 B 使得 AB=和 ABR 成立任意选取 aA 和 bB，不失一般性可设 ab令=Aa,b，和=Ba,b于是和是 R 中的两个非空闭集分别包含 a 和 b，并且使得=和=a，b成立集合有上界 b，故有上确界，设为由
7、于是一个闭集，所以，并且因此可见b，因为b 将导致 b，而这与=矛盾因此（，b由于是一个闭集，所以这又导致，也与=矛盾第 4 页 * 共 8 页定义 4.1.3 设 Y 是拓扑空间 X 的一个子集如果 Y 作为 X 的子空间是一个连通空间，则称 Y 是 X 的一个连通子集；否则，称 Y 是 X 的一个不连通子集拓扑空间 X 的子集 Y 是否是连通的，按照定义只与子空间 Y 的拓扑有关(即 Y 的连通与否与 X 的连通与否没有关系)因此，如果，则 Y是 X 的连通子集当且仅当 Y 是 Z 的连通子集这一点后面要经常用到定理定理 4.1.34.1.3 设设 Y Y 是拓扑空间是拓扑空间 X X 的
8、一个子集，的一个子集，A A，B BY Y则则 A A 和和 B B 是子空间是子空间Y Y 中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间 X X 中的隔离子集中的隔离子集因此，因此，Y Y 是是 X X 的一个不连通子集，当且仅当存在的一个不连通子集，当且仅当存在 Y Y 中的两个非空隔离子集中的两个非空隔离子集A A 和和 B B 使得使得 ABABY(Y(定义定义) )当且仅当存在当且仅当存在 X X 中的两个非空隔离子集中的两个非空隔离子集 A A 和和 B B 使得使得ABABY Y证明 用、分别表示A在 Y，X 中的闭包因为因此根据隔离子集的定义可见定理成立
9、定理定理 4.1.44.1.4 设设 Y Y 是拓扑空间是拓扑空间 X X 中的一个连通子集如果中的一个连通子集如果 X X 中有隔离子集中有隔离子集A A 和和 B B 使得使得 Y YAUBAUB，则或者，则或者 Y YA A，或者，或者 Y YB B证明 如果 A 和 B 是 X 中的隔离子集使得 Y AUB，则这说明 AY 和 BY 也是隔离子集然而（AY）（BY）（AB）YY第 5 页 * 共 8 页因此根据定理 4.1.3，集合 AY 和 BY 中必有一个是空集如果AY=，据上式立即可见 YB，如果 BY，同理可见 YA定理定理 4.1.54.1.5 设设 Y Y 是拓扑空间是拓扑
10、空间 X X 的一个连通子集，的一个连通子集，Z ZX X 满足条件满足条件则则 Z Z 也是也是 X X 的一个连通子集的一个连通子集证明 假设 Z 是 X 中的一个不连通子集根据定理 4.1.3，在 X 中有非空隔离子集 A 和 B 使得 Z=AB，因此 YAUB由于 Y 是连通的，根据定理4.1.4，或者 YA或者 YB,同理,这两种情形都与假设矛盾定理定理 4.1.64.1.6 设设是拓扑空间是拓扑空间 X X 的连通子集构成的一个子集族如果的连通子集构成的一个子集族如果，则，则是是 X X 的一个连通子集的一个连通子集证明 设 A 和 B 是 X 中的两个隔离子集，使得，AB任意选取
11、x，不失一般性，设 xA对于每一个 ，由于连通，根据定理 4.1.4，或者或者；由于 xA，所以根据定理 4.1.3，这就证明了是连通的定理定理 4.1.74.1.7 设设 Y Y 是拓扑空间是拓扑空间 X X 中的一个子集如果对于任意中的一个子集如果对于任意 x x，yYyY 存存在在 X X 中的一个连通子集中的一个连通子集 使得使得 x x，yyY Y，则，则 Y Y 是是 X X 中的一个连通子集中的一个连通子集证明 如果 Y=，显然 Y 是连通的下设 Y,任意选取 aY，容易验证 Y并且 a应用定理 4.1.6，可见 Y 是连通的第 6 页 * 共 8 页我们曾经说过，拓扑学的中心任
12、务便是研究拓扑不变性质（参见22）所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映
13、射下保持不变的性质必然是可商性质以下定理 4.1.8 指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质定理定理 4.1.84.1.8 设设 f:XYf:XY 是从连通空间是从连通空间 X X 到拓扑空间到拓扑空间 Y Y 的一个连续映射则的一个连续映射则f f（X X）是）是 Y Y 的一个连通子集的一个连通子集证明 如果 f（X）是 Y 的一个不连通子集，则存在 Y 的非空隔离子集 A 和B 使得 f（X）AB于是（A）和（B）是 X 的非空子集，并且所以（A）和（B）是 X 的非空隔离子集此外，（A）（B）（AB）=(f(X
14、)=X第 7 页 * 共 8 页这说明 X 不连通与定理假设矛盾拓扑空间的某种性质 P 称为有限可积性质，如果任意 n0 个拓扑空间 都具有性质 p，蕴涵着积空间也具有性质 p例如，容易直接证明，如果拓扑空间都是离散空间（平庸空间），则积空间也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质根据定理 329 以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质 p 是一个拓扑不变性质为了证明性质 p 是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个具有性质 p 的拓扑空间的积空间也是具有性质 p 的拓扑空间定理定理 4.1.94.1.9 设设 是是 n n 个连通空间则积
15、空间个连通空间则积空间也也是连通空间是连通空间证明根据前一段中的说明，我们只要对于 n=2 的情形加以证明首先我们指出：如果两个点有一个坐标相同，则有一个连通子集同时包含 x 和 y不失一般性，设定义映射 k：使得对于任何有由于是取常值的映射，为恒同映射，第 8 页 * 共 8 页它们都是连续映射，其中分别是到第 1 和第 2 个坐标空间的投射因此，k 是一个连续映射根据定理 4.1.8，k()是连通的此外易见，因此它同时包含 x 和 y现在来证明：中任何两个点同时属于的某一个连通子集这是因为这时若令，则根据前段结论，可见有的一个连通子集同时包含 x 和 z，也有的一个连通子集同时包含 y 和 z由于 z，因此根据定理 4.1.6，是连通的，它同时包含 x 和 y于是应用定理 4.1.7 可见是一个连通空间因为 n 维欧氏空间是 n 个实数空间 R 的笛卡儿积，而实数空间 R 又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n 维欧氏空间是一个连通空间作业作业: :P116 356814
