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1、1求数列通项公式方法专题求数列通项公式方法专题（1） 公式法（定义法）经过简单的处理后，得出形式可以利用上1 1n nn ncccdqc 或等差数列、等比数列的定义求通项。1.已知数列满足，求数列的通项公式；na) 1( 1, 211naaannna2.数列满足=8， （） ，求数列 na1a022124nnnaaaa，且 Nn的通项公式； na3. 已知数列满足，求数列的通项公式；na211, 211nnaaa na4.设数列满足且，求的通项公式na01a111 111nnaana5. 已知数列满足，求数列的通项公式。na112,12n n naaaana6.已知数列满足 （） ，求数列na
2、2 122142nnnaaaaa且， Nn的通项公式； na7.已知数列满足且（） ，求数列的通项公na，21a1 152(5 )nn nnaa Nn na式；8.数列已知数列满足则数列的通项公式= na111,41(1).2nnaaan na9已知数列满足，求数列的通项公式。na123 2nnnaa 12a na解：两边除以，得，则，故数列123 2nnnaa 12n1 13 222nn nnaa 1 13 222nn nnaa 是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2n na122 2a1123，所以数列的通项公式为。31 (1)22n nan na31()222n na
3、n（2）累加法（适用于： ）1( )nnaaf n2例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。na141,21211naaannna2. 已知数列满足，求数列的通项公式。na11211nnaana，na3.已知数列满足，求数列的通项公式。na112 313n nnaaa ，na4.设数列满足，求数列的通项公式na21a12 123 n nnaana（3）累乘法 适用于：适用于： 1( )nnaf n a例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。na112(1)53n nnanaa，na2.已知数列满足，求。 na321annanna11na3.已知， ，求。31annanna23131) 1(
4、nna4）待定系数法 适用于1( )nnaqaf n解题基本步骤：1、确定 2、设等比数列，公比为 3、列出关系式( )f n1( )naf n4、比较系数求， 5、解得数列)() 1(1211nfanfann12的通项公式 6、解得数列的通项公式1( )naf n na例：1. 已知数列中，求数列的通项公式。na111,21(2)nnaaan na2.（2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分）已知数列满足 na求数列的通项公式；* 111,21().nnaaanN na3.已知数列满足，求数列的通项公式。na1123 56n nnaaa ， na解：设1 152(5 )nn nna
5、xax 4. 已知数列满足，求数列的通项公式。na1135 241n nnaaa ，na3解：设1 123(2)nn nnaxyaxy 5.已知数列中，,，求 na651a1 1)21(31 n nnaana6. 已知数列满足，求数列的通项公式。na2 1123451nnaanna，na解：设 22 1(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz7. 已知数列满足，求数列的通项公式。na1 1124 31n nnaaa ， na递推公式为（其中 p，q 均为常数） 。nnnqapaa12先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s，t 满足 qstpts9. 已知数列满足
6、，求数列的通项公式。na211256,1,2nnnaaa aa na10.已知数列满足 na* 12211,3,32().nnnaaaaa nN（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；1nnaa na11.已知数列中，,，求 na11a22annnaaa31 3212na（5）递推公式中既有nS分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采11,1,2n nnS naSSn nanS用相应的方法求解。1.（北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求11 3nnaSa2，a3，a4的值及数列an的通项公式 42.（山东卷）已知数列的首项前项和为，且， na
7、15,a nnS* 15()nnSSnnN证明数列是等比数列1na 3已知数列中，前和 na，31an1) 1)(1(21nnanS求证：数列是等差数列 na求数列的通项公式 na4. 已知数列的各项均为正数，且前 n 项和满足，且nanS1(1)(2)6nnnSaa成等比数列，求数列的通项公式。249,a a ana（6）根据条件找与项关系1nn例 1.已知数列中，若，求数列nannaCaa1, 11121,25 nnabC的通项公式nb2.（2009 全国卷理）在数列na中，11111,(1)2nnnnaaan（I）设n nabn ，求数列 nb的通项公式（7）倒数变换法 适用于分式关系的
8、递推公式，分子只有一项例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。na112,12n n naaaana（8）对无穷递推数列对无穷递推数列消项得到第与项的关系1nn例：1. （全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列满足na，求的通项公式。11231123(1)(2)nnaaaaananL，na52.设数列 na满足21 1233333n nnaaaa，a*N求数列 na的通项；（9） 、迭代法、迭代法例：例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。na3(1)2 115nn nnaaa ，na解：因为，所以3(1)2 1nn nnaa 1212(2) (1)32(2) (1)3(3) (2)
9、 (1)11 2(3) (323(1) 2323 (1)2 1223(2) 23 (1)2 33 (2)(1)2 332 3(2) (1)2 1nnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnnnn nnnn nnnnaaaaaaa L LL LL2) (1)(1) 123!2 1nn n nna 又，所以数列的通项公式为。15a na(1) 123!25n n nn na （10） 、变性转化法、变性转化法1、对数变换法、对数变换法 适用于指数关系的递推公式适用于指数关系的递推公式例：例： 已知数列满足，求数列的通项公式。na5 12 3nnnaa17a na解：因为，所以。5 112 37
10、n nnaaa，100nnaa，两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan2、换元法、换元法 适用于含根式的递推关系适用于含根式的递推关系例：例： 已知数列满足，求数列的通项公式。na111(14124)116nnnaaaa，na解：令，则124nnba21(1)24nnab练习：1已知数列an的前 n 项和 Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n16（）写出求数列an的前 3 项 a1,a2,a3；（）求数列an的通项公式；（）证明：对任意的整数 m4，有451117 8maaaL.解：当 n=1 时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当 n=2 时,有：S2=a1+a2
11、=2a2+(-1)2a2=0；当 n=3 时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知 a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：1 112( 1)2( 1)nn nnnnnaSSaa 化简得：1 122( 1)nnnaa 上式可化为：1 122( 1)2( 1)33nn nnaa 故数列是以为首项, 公比为 2 的等比数列.2( 1)3n na 1 12( 1)3a 故 121( 1)233nn na121222( 1)2( 1) 333nnnn na g数列的通项公式为：.na222( 1) 3nn na 由已知得：232 4511131112 21212( 1)mm
12、 maaa LL23 1111112 391533632( 1)mm L1111112351121L1111112351020L511(1)1 45212 312m 51 42212 355 2mg.51311131041057( )1552151201208mg故( m4).451117 8maaaL72.已知数列中，是其前项和，并且， nanSn1142(1,2,),1nnSanaL()设数列，求证：数列是等比数列；), 2 , 1(21LLnaabnnn nb()设数列，求证：数列是等差数列；), 2 , 1( ,2LLnacnn n nc（）求数列的通项公式及前项和 nan分析：由于b
13、 和c 中的项都和a 中的项有关，a 中又有 S=4a +2，可由nnnn1nn S-S作切入点探索解题的途径2n1n 解：(1)由 S=4a，S=4a+2，两式相减，得 S-S=4(a-a )，即 a=4a1n2n2n1n2n1n1nn2n -4a (根据 b 的构造，如何把该式表示成 b与 b 的关系是证明的关键，注意加强1nnn1nn 恒等变形能力的训练) a-2a=2(a-2a )，又 b =a-2a ，所以 b=2b 2n1n1nnn1nn1nn 已知 S =4a +2，a =1，a +a =4a +2，解得 a =5，b =a -2a =3 2111212121由和得，数列b 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，故 b =32nn1n当 n2 时，S =4a+2=2(3n-4)+2；当 n=1 时，S =a =1 也适合上式n1n1n 11综上可知，所求的求和公式为 S =2(3n-4)+2n1n3数列的前 n 项和记为，已知nanS).3 , 2 , 1(2, 111LnSnnaann证明：数列是等比数列nSn解,2,111nnnnnSnnaSSa 整理得 ),()2(1nnnSSnS
