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1、第五节 度量空间的完备化 ；第六节 压缩映射原理及其应用 （2 学时） 一教学要求 1 了解完备化定理，能够证明度量空间的完备性； 2 掌握压缩映射原理，并了解它在分析和方程研究中的应用。 二教学重点 掌握压缩映射原理及其应用。 三教学过程1 度量空间的完备化 我们知道直线上有理数集 Q 作为 R 的子空间不是完备的，当在 Q 中加上“无理数” ，它 就成为完备的度量空间 R，并且 Q 在 R 中稠密。 下面我们要考虑：是否每一个不完备的度量空间都可以“扩大” ，使其成为一个完备的度 量空间的稠密子空间呢？ 首先介绍几个概念：定义：设是两个度量空间，如果存在到上的保距映射),(),(dXdXX
2、X，则称和等距同构，此时成为到上的等距同),(),(:yxdTyTxdT),(dX),(dXTXX构映射。 在泛函分析中，往往把两个等距同构的度量空间视为同一的。 定理（度量空间的完备化定理）设是度量空间，那么一定存在一完备度量空间，使与的某),(dXX ),(dXX XX个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即：若也是一完备的WX),(dX度量空间，且与的某个稠密子空间等距同构，则与等距同构。XX),(dX),(dX 如果把两个等距同构的度量空间视为同一，的上述定理可以阐述为：定理：设是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间，使得为的稠),(dX),(dXX XX密子空间。（事实
3、上，做 到自身的恒等映射，即为一等距同构）Xdd例：证明与的一个子空间等距同构。l 1 , 0(C证明：是有界数列的全体，令，是定义在上连续函数全体lln,.),.,(1 1 , 0(C 1 , 0(对于，有：l,.)(,.),(11ii id sup),(对于，有： 1 , 0()(),(Ctytx)()(sup),(1 , 0(tytxyxd t 取子空间：如下：)(tx；其余为折线（线性函数） 。nnx)1(则。 1 , 0()(Ctx做映射：)(,.)(1txf则有：),(sup)()(sup),(1 , 0(dtytxyxdii it 则得证。 第六节 压缩映射原理及其应用定义：设是
4、到中的映射，如果存在一个数，使得对所有的TdXX),(XX10 , ，成立：Xyx,（1）),(),(yxdTyTxd 则称是压缩映射。T 压缩映射的几何意义是：原象两点经过映射后，他们象的距离缩短了。 定理（压缩映射定理） 设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（即：方程XTXT 有且只有一个解） 。xTx 例如：定义在之间的连续压缩映射，如图：) 1 , 0( 1 , 0f1 0 1 证明：设是中任意一点。令。0xX,.,.,002 1201xTxxTTxxTxxn n我们证明点列是中的柯西点列。nxX事实上， （2）),(.),(),(),(),(0121111 xx
5、dTxTxdxxdTxTxdxxdmmmmmmmmm 由三点不等式，当时，mn ),(11),().(),(.),(),(),(1010111211xxdxxdxxdxxdxxdxxdmn mnmmnnmmmmnm 因为，所以，于是得到：1011mn（3）),(1),(10xxdxxdmnm 所以当时，。即为柯西点列。nm,0),(nmxxdnx由的完备性，则存在，使，又由三点式和条件（1） ，有：XXxxxm),(),(),(),(),(1xxdxxdTxxdxxdTxxdmmmm则当时，上式趋于 0，所以，即。m0),(TxxdTxx 下证唯一性。 如果有，使，则由条件（1） ，有：Xx
6、xxT),(),(),(xxdxTTxdxxd因为，所以只有。10),(xxd 下面介绍定理的应用： 定理：设函数在带状域：),(yxfybxa,中处处连续，且处处有关于的偏导数。如果还存在常数和，满足y),(yxfymMMmMyxfmy,),(0则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：0),(yxf,ba)(xy, 0)(,(baxxxf证明：见书，略。 定理：设是矩形：),( xtf,),(00bxxattxtD上的二元连续函数，设，又在上关于满足DxtMxtf),( ,),(),( xtfDx条件，即存在常数，使对任意的，有LipschitzKDvtxt),(),(，vxKvtfxtf),(),(那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的),( xtfdtdx,00ttJ00)(xtx连续函数解，其中 。1,minKMba证明：略。 例：设 为完备度量空间，是到中映射，记XAXX),(),(supxxdxAxAdnnxxn 若，则映射有唯一不动点。1nnA证明：因为，所以存在，使。nn1n所以),(),(yxdyAxAdnnn由压缩映射原理，存在，使，且是唯一的。Xx 000xxAn0x又 )()(000AxAAxxAAnn由唯一性知，且是唯一的。00xAx
