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1、86第四章 养老保险问题非线性方程求根的数值解法4.14.1 养老保险问题养老保险问题4.1.1 问题问题的引入的引入养老保险是保险中的一种重要险种,保险公司将提供不同的保险方案以供 选择,分析保险品种的实际投资价值。也就是说,如果已知所交保费和保险收 入,则按年或按月计算实际的利率是多少?或者说,保险公司需要用你的保费 至少获得多少利润才能保证兑现你的保险收益?4.1.2 模型分析模型分析假设每月交费 200 元至 60 岁开始领取养老金。某男子 25 岁起投保,届时 养老金每月 2282 元;如果其 35 岁起保,届时月养老金 1056 元。试求出保险公 司为了兑现保险责任,每月至少应有多
2、少投资收益率?这也就是投保人的实际 收益率。4.1.3 模型假模型假设设这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整 个过程可以按月进行划分,因为交费是按月进行的。假设投保人到第月为止,k所交保费及收益的累计总额为,每月收益率为 ,用表示 60 岁之前每kFrqp、月所交的费用和 60 岁之后每月所领取的费用,N 表示停交保险费的月份,M 表 示停领养老金的月份。4.1.4 模型建立模型建立在整个过程中,离散变量的变化规律满足:kF(4.1.1)11(1),0,1,.,1(1),.,1kkkkFFrp kNFFrq kNM 在公式(4.1.1)中实际上表示从保险人开始交纳保
3、险费以后,保险人账户kF上的资金数值。我们关心的是,在第月时,能否为非负数?如果为正,MMF则表明保险公司获得收益;若为负,则表明保险公司出现亏损;当为零时,表 明保险公司最后一无所有,所有的收益全归保险人,把它作为保险人的实际收益。从这个分析结果来看,引入变量,很好地刻画了整个过程中资金的变化kF关系。特别是引入收益率 ,虽然它不是我们所求的保险人的收益率,但从问r 题的系统环境中来看,必然要考虑引入另一对象保险公司的经营效益,以 此作为整个过程中各量变化的表现基础。874.1.5 模型求解模型求解在(4.1.1)中两式,取初始值,我们可以得到:00FMNkrrqrFFNkrrprFFNkN
4、k Nkkk k,.,1,1)1()1(,.,2 , 1 , 0,1)1()1 (0再分别取,和,并利用可以求出:,Nk Mk 0MF0)1)(1 ()1 ( pqrpqrNMM它是一个非线性方程。因此求解该模型,就转换为一个求非线性方程的问题。 众所周知,代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16世纪就找到 了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明了次的一般代数方程5n 是不能用代数公式求解的,因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数 方程的近似解。 在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程的问题。正因为非 线性方程求根问题是如此重要的基础,因此它的求根问题很早就引起
5、了人们的 兴趣,并得到了许多成熟的求解方法。下面我们介绍非线性方程的基本概念与 重要解法。4.24.2 非线性方程求根的数值方法非线性方程求根的数值方法4.2.1 根的搜索相关定根的搜索相关定义义定义定义 4.2.1 设有一个非线性方程,其中为实变量的非线性函数。 0f x ( )f xx(1)如果有使,则称为方程的根,或为的零点。x()0f xx f x(2)当为多项式,即 f x1 10( ),0nn nnnf xa xaxaxaa L则称为次代数方程。当包含指数函数或者三角函数等特殊函数( )0f x n( )f x时,则称为特殊方程。( )0f x (3)如果,其中。为正整数,则称为(
6、 )()( )mf xxxg x()0g xmx的重根。当时,称为的单根。( )0f x m1m x( )0f x 88定理定理 4.2.1 设为具有复系数的次代数方程,则在复数域上恰( )0f x n( )0f x 有 个根( 重根计算 个) 。如果为实系数方程,则复数根成对出现,nrr( )0f x 即当:为的复根,则亦是的复根。0i ( )0f x i( )0f x 定理定理 4.2.2 设在连续,且,则存在,使得( )f x, a b( )( )0f af b,xa b,即在内存在零点。()0f x f x( , )a b4.2.2 逐步搜索法逐步搜索法对于方程,为明确起见,设,从 0
7、f x ,xa b 0f a ( )0f b 区间左端点出发按某个预定步长(如取,为正整数) ,一步0xahbahNN一步地向右跨,每跨一步进行一次根的搜索。即检查节点上的函数值kxakh的符号,若,则即为方程解;若,则方程根在区间 kf x 0kf xkx 0kf x中,其宽度为。1,kkxxh例例 4.2.1 考察方程 310f xxx 由于 则在内至少有一个根,设从 010,250ff f x0,2出发,以为步长向右进行根的搜索。列表记录各节点函数值的符号, 0x 0.5h 如表 4.2.1 所示。可见方程在内必有一根。1.0,1.5表 4.2.1的符号 f xx00.51.01.5的符
8、号( )f x-+易见,此方法应用关键在步长的选择上。很明显,只要步长取得足够hh 小,利用此法就可以得到任意精度的根,但缩小,搜索步数增多,从而使计h 算量增大,用此方法对高精度要求不简便。4.2.3 二分法二分法对非线性方程: 0 f x 4.2.189其中在上连续且设,不妨设在内仅有一个 f x, a b 0f af b f x, a b零点。求方程()的实根的二分法的过程,就是将逐步分半,检查函数4.2.1x, a b值符号的变化,以便确定包含根的充分小区间。二分法的步骤如下:记,1aa1bb第 1 步:分半计算,即将分半。计算中点及。若1k 11 a , b 11 12abx 1f
9、x,则根必在内,否则必在内(若11()()0f af x1122, ,a xa b1122 , ,x ba b,则) ,于是得到长度一半的区间含根,即1()0f x1xx22,a b,且。22() ()0f af b22111()2baba第步:(*分半计算)重复上述过程。k 设已完成第 1 步第步,分半计算得到含根区间L1k ,且满足,即,1122,kka ba ba bL() ()0kkf af b,kkxa b,则第步的分半计算:,且有:11()2kkkbabak2kk kabx122kk kkbaxxba 4.2.2确定新的含根区间,即如果,则根必在11,kkab() ()0kkf a
10、f x内,否则必在内,且有:11, ,kkkkaxab11, ,kkkkx bab。总之,由上述二分法得到序列,由(4.2.2)有:111()2kkkbaba kx。limkkxx 可用二分法求方程的实根的近似值到任意指定的精度,这是因( )0f x x为:设为给定精度要求,则由,可得分半计算次数应满02kkbaxxk足:lnlnln2bak 4.2.3二分法的优点是方法简单,且只要求连续即可。可用二分法求出( )f x90在内的全部实根,但二分法不能求复根及偶数重根,且收敛较慢,( )0f x , a b函数值计算次数较多。例例 4.2.2 用二分法求在内一个实根,且要求精确到小数点后6(
11、)1f xxx 12,第三位。 (即)*31102kxx解解 :由代入式(4.2.3),其中,可确定所需分半次数为30.5 101,2)ab(,计算结果部分如表 4.2.2 所示(显然) 。11k (1)10,(2)0ff 表 4.2.2 部分计算结果 kkakbkx()kf x81.1328131.1406251.1367190.02061991.1328131.1367191.1347660.4268415101.1328131.1347661.13378900959799. 0111.1337891.1347661.1342770045915. 04.2.4 迭代法迭代法迭代法是一种逐次
12、逼近法。它是求解代数方程、超越方程及方程组的一种 基本方法,但存在是否收敛及收敛快慢的问题。用迭代法求解的近似根,首先需将此方程化为等价的方程: ( )0f x ( ) xg x (4.2.4)然而将化为等价方程的方法是很多的。( )0f x (4.2.4)例例 4.2.3 对方程( )sin0.50f xxx可用不同的方法将其化为等价方程:(1) (2)1sin0.5( )xxg x1 2sin0.5( )xxgx定义定义 4.2.2 (迭代法)设方程为( )xg x(1)取方程根的一个初始近似,且按下述逐次代入法,构造一个近似解序列:0x 10211, kkxg xxg xxg xL (4
13、.2.5)这种方法称为迭代法(或称为单点迭代法) ,称为迭代函数。( )g x(2)若由迭代法产生序列有极限存在,即,称为收敛或迭 kx*limkkxx kx代过程收敛,否则称迭代法不收敛。若连续,且,则 (4.2.5)( )g x*limkkxx 91,即为方程的解(称为函1limlim ()lim()kkkkkkxxg xgxg x x (4.2.4)x数的不动点) ,显然在由方程转化为等价方程时,选择不 g x( )0f x ( )xg x同的迭代函数,就会产生不同的序列(即使初值选择一样)且这些( )g x kx0x序列的收敛情况也不一定相同。 例例 4.2.4 对例 4.2.1 中方
14、程考查用迭代法求根 11 1sin0.5,0,1,2,sin0.5 ,0,1,2,kkkkaxxkbxxk LL由计算可以看出,我们选取的两个函数,分别构造序列收 12,gxgx kx敛情形不一样(初值都取为 1) ,在中收敛且,在中计( )a kx1.497300x( )b算出无定义。部分计算结果如下表 4.2.3:11 4sin0.5sin1.987761x表 4.2.3 部分计算结果 k( )kax( ) kbx ()kafx01.01.011.3414710.52359921.4738200.02360131.049530-0.49655541.497152-1.48776151.49728961.49730071.49730073.610因此对用迭代法求方程的近似根,需要研究下述问题:( )0f x (1) 如何选取迭代函数使迭代过程收敛。( )g x 1kkxg x(2) 若收敛较慢时,怎样加速收敛。 kx kx迭代法的几何意义:求方程根的问题,是求曲线与直线( )xg x( )yg x交点的横坐标,当迭代函数的导数函数在根处满足下述几yxx( )g x xgx种条件时,从几何上来看迭代过程的收敛情况如图 4.2.1。 1kkxg x从曲线上一点出发,沿着平行于轴方向前进交( )yg x 000,px g xx于一点再从点沿平行