《2015解步步高大一轮讲义(理)9.6》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015解步步高大一轮讲义(理)9.6（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.6 双曲线双曲线1.双曲线的概念平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数 2a (2a0，c0：(1)当 ac 时，P 点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 x2a2y2b2(a0，b0)1 y2a2x2b2(a0，b0)图形范围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y xbay xab离心率e ，e(1，)，其中 ccaa2b2性质实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，
2、它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a、b、c 的关c2a2b2 (ca0，cb0)系1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( )(2)方程1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( )x2my2n(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即 0.( )x2m2y2n2x2m2y2n2xmyn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )2(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是 e1，e2，则x2a2y2b2
3、x2b2y2a21e2 11(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).( 1e2 2 )2.若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心x2a2y2b2率为( )A.B.5C.D.252答案 A解析 焦点(c,0)到渐近线 y x 的距离为2a，解得 b2a，又babca2b2a2b2c2，5a2c2，离心率 e .ca53.(2013福建)双曲线y21 的顶点到其渐近线的距离等于( )x24A.B.C.D.25452 554 55答案 C解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线 y x 的距离 d.12252 554.(2012天津)已知双曲线 C1：1(a0，b0)与
4、双曲线 C2：1 有相同的渐近x2a2y2b2x24y216线，且 C1的右焦点为 F(，0)，则 a_，b_.5答案 1 2解析 与双曲线1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为，即1.x24y216x24y216x24y216由题意知 c，则 4165 ，则 a21，b24.514又 a0，b0，故 a1，b2.5.(2012辽宁)已知双曲线 x2y21，点 F1，F2为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_.答案 23解析 设 P 在双曲线的右支上，|PF2|x(x0)，|PF1|2x，因为 PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以 x1，
5、x21， 33所以|PF2|PF1|2.3题型一 双曲线的定义及标准方程例 1 (1)已知双曲线1 (a0，b0)和椭圆1 有相同的焦点，且双曲线的离x2a2y2b2x216y29心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_.(2)与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)的双曲线方程为_.(3)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_.思维启迪 设双曲线方程为1，求双曲线方程，即求 a、b，为此需要关于 a、b 的两x2a2y2b2个方程，由题意易得关于 a、b 的两个方程；也可根据双
6、曲线的定义直接确定 a、b、c；根据双曲线的定义求轨迹方程.(注意条件)答案 (1)1 (2)1x24y23y22x24(3)x21(x1)y28解析 (1)椭圆1 的焦点坐标为 F1(，0)，F2(，0)，离心率为 e.由于双曲线x216y2977741 与椭圆1 有相同的焦点，因此 a2b27.x2a2y2b2x216y29又双曲线的离心率 e，所以，a2b2a7a7a2 74所以 a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.x24y23(2)设与双曲线y21 有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得 kx22x22(2)22.222双曲线的标准方程为1.y22x24(3)如图
7、所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点 M 到两定点 C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离小)，其中 a1，c3，则 b28.故点 M 的轨迹方程为 x21(x1).y28思维升华 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的
8、形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出 的值即可.利用定义时，要特别x2a2y2b2注意条件“差的绝对值” ，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支.(1)(2012湖南)已知双曲线 C：1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近x2a2y2b2线上，则 C 的方程为( )A.1B.1x220y25x25y220C.1D.1x280y220x220y280(2)设椭圆 C1的离心率为，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 C2上的点到椭圆 C
9、1的513两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为( )A.1B.1x242y232x2132y252C.1D.1x232y242x2132y2122答案 (1)A (2)A解析 (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.1 的焦距为 10，c5.x2a2y2b2a2b2又双曲线渐近线方程为 y x，且 P(2,1)在渐近线上，ba1，即 a2b.2ba由解得 a2，b，则 C 的方程为1，故应选 A.55x220y25(2)由题意知椭圆 C1的焦点坐标为 F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线 C2上的一点 P，则|PF1|PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故
10、曲线 C2的标准方程为1.x242y232题型二 双曲线的几何性质例 2 (1)(2013浙江)如图，F1，F2是椭圆 C1：y21 与双曲线x24C2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边 形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是( )A.B.C.D.233262(2)若点 O 和点 F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支x2a2上的任意一点，则的取值范围为( )OPFPA.32，)B.32，)33C. ，)D. ，)7474思维启迪 (1)求圆锥曲线的离心率 e，可以求出 a，c 的关系式，进而求出 e.(2)在圆锥曲线中
11、求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的 x，y 的取值范围.答案 (1)D (2)B解析 (1)|F1F2|2.设双曲线的方程为1.3x2a2y2b2|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a，|AF2|2a，|AF1|2a.在 RtF1AF2中，F1AF290，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，即(2a)2(2a)2(2)2，3a，e .故选 D.2ca3262(2)由条件知 a21224，a23，双曲线方程为y21，x23设 P 点坐标为(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，OPFPy21，x23x22xy2x22x1OPFPx23 x22x1 (x )2 .4343347
12、4又x(P 为右支上任意一点)，332.故选 B.OPFP3思维升华 在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于 e 是一个比值，故只需根据条件得到ca关于 a、b、c 的一个关系式，利用 b2c2a2消去 b，然后变形求 e，并且需注意 e1.同时注意双曲线方程中 x，y 的范围问题.(1)(2013课标全国)已知双曲线 C：1(a0，b0)的离心率为，x2a2y2b252则 C 的渐近线方程为( )A.y xB.y x1413C.y xD.yx12(2)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为
13、点 A，与另x2a2y2b2一条渐近线交于点 B，若2，则此双曲线的离心率为( )FBFAA.B.C.2D.235答案 (1)C (2)C解析 (1)由 e 知，a2k，ck(kR)，ca525由 b2c2a2k2知 bk.所以 .ba12即渐近线方程为 y x.故选 C.12(2)如图，2，FBFAA 为线段 BF 的中点，23.又12，260， tan 60，ba3e21( )24，e2.ba题型三 直线与双曲线的位置关系例 3 已知双曲线 C：x2y21 及直线 l：ykx1.(1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；(2)若 l 与 C 交于 A，B 两点，O 是
14、坐标原点，且AOB 的面积为，求实数 k 的值.2思维启迪 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，解题关键是联立方程用根与系数的关系求解.解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点，则方程组Error!Error!有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20.Error!Error!解得|x2|时，SOABSOADSOBD (|x1|x2|) |x1x2|；1212当 A，B 在双曲线的两支上且 x1x2时，SOABSODASOBD (|x1|x2|) |x1x2|.1212SOAB |x1x2|，122(x1x2)2(2)2，2即()28，解得 k0 或 k.2k1k281k262又0，b0).x2a2y2b2由已知得：a，c2，再由 a2b2c2，得 b21，3双曲线 C 的方程为y21.x23(2)设 A(xA，yA)、B(xB，yB)，将 ykx代入y21，2x23得，(13k2)x26kx90.2由题意知Error!Error!解得0，b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为t (t0).x2a2y2b2x2a2y2b22.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标
