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1、第 52 讲 位置关系的向量解法（B）（第课时）位置关系的向量解法 ）定定理，线面垂直（线面垂直判）线线垂直（垂直）定定理，线面平行（线面平行判）理，线线平行（共线向量定平行定理）本定理推论，共面向量共面问题（空间向量基）共线问题（babababababababababa00/重点重点：1证明共线共面问题；2证明线线、线面的平行和垂直。 难点难点：建立坐标系，把空间线面位置关系转化为空间向量问题。1掌握空间向量的基本运算，能证明几何体中的共线共面问题；2掌握空间向量的坐标 运算能证明几何体中的平行、垂直问题。1共线共面问题，一般以小题形式出现；2平行或垂直问题，一般以大题形式出现。1共线共面问
2、题共线共面问题 证明共线问题需要用到共线向量定理：对于空间任意两个向量 a a、b b(b b0),a,ab b 的充要条 件是存在实数，使 a a=b b 。 证明共面问题可以利用空间向量基本定理的推论：、是空间不共面的四点，OABC则对空间任一点，都存在惟一的有序实数组、 ，使 =+ PxyzOPxOAyOBzOC，特别地，若 +=1 ，则必有、四点共面。xyzPABC 证明共面问题也可以利用共面向量（平行于同一平面的向量叫做共面向量）定理：两个向 量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对、，使 p = a +b xyxy 。 共面向量定理的推论：空间一点
3、位于平面内的充要条件是存在实数对、，使 PMABxy，或对空间任一定点，有 ，此式叫作平面MByMAxMPOMByMAxOMOP 的向量表达式。MAB 例例 （三点共线问题，前面已作介绍） 例例 （利用空间向量基本定理的推论来证明四点共面，前面已作介绍） 例例点 A（1，0 ，1） ，B（4，4，6） ，C（2，2，3） ，D（10，14，17）这四个点是否共面？神经网络神经网络准确记忆！重点难点重点难点好好把握！考纲要求考纲要求注意紧扣！命题预测命题预测仅供参考！考点热点考点热点一定掌握！解：AB（3，4，） ，AC（1，2，2） ，AD（9，14，16） ，设ADxAByAC ，即（9，1
4、4，16）（3xy，4x2y，x2y） ， ， A，B，C，D 四点共面。 32yx点评：本题利用共面向量定理。2证线线垂直证线线垂直 证明线线垂直需要用到 ab ab=0 。 例例如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且 C1CB=C1CD=BCD=60，求证：C1CBD 。证明： ，、中两两所成夹角为CBCD CDCB1CC， ，CBCDDBCDBD CBCCCDCCCBCDCCBDCC1111)(0coscos11CBCCCDCC， C1CBD 。3证线面垂直证线面垂直 证明线面垂直需要用到线面垂直的判定定理以及 ab ab =0 。332211bababa
5、例例棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，在棱 DD1上是否存在点 P 使 B1D面 PAC？ 解：以 D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点 P（0，0，z）使 B1D面 PAC ，则 AP =（a，0，z） ，AC=（a，a，0） ，1DB=（a，a，a） B1D面 PAC ， 1DBAP=0，1DBAC=0 a2+az=0， z=a，即点 P 与 D1重合， 点 P 与 D1重合时，DB1面 PAC 。4证线线平行证线线平行 证明线线平行需要用到共线向量定理：对于空间任 意两个向量 a a、b b(b b0),a,ab b 的充要条件是存在实数，使 a a=b b 。 例例
6、证明平行于同一直线的两直线平行。 已知： ， 。ll /1ll /2 求证： 。21/ll证明：在 、上分别取非零向量 m、a、b ，l1l2l ，即 a / m ， a = m ，ll /1x又 ，即 b / m ， m = b ，ll /2y 代入得 a =（）m ， a / b ，即 。xy21/ll5证线面平行证线面平行 证明线面平行需要用到线面平行的判定定理以及共线向量定理。 判定定理：若平面外的一条直线和这平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平 行。两平行平面之一内的直线平行于另一个平面。 共线向量定理：对于空间任意两个向量 a a、b b(b b0),a,ab b 的充要条
7、件是存在实数，使 a a= b b 。 例例已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，且 E、F、G、H 四点共面，证明：BD平面 EFGH。 证明： ，BDABADABADAEAHEH21)(21 21 21 EHBD，又 EH面 EFGH，BD 面 EFGH ， BD平面 EFGH 。LJLJ03030707位置关系的向量解法位置关系的向量解法1 12 23 34 45 56 67 78 8 共线问题 共面问题 证线线垂直 证线面垂直 证线线平行 证线面平行2 2在四面体 OABC 中，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA，N 为 BC 中点
8、，若，则使 G 与 M，N 共线的 x 的一个值为 （ OCxOBxOAOG4431）A1 ； B2 ； C ； D 。32 34答案：。D 3 3 （2000 年高考二省一市理科题）如图，直棱柱 ABCA1B1C1，底面ABC 中， CACB1，BCA90，棱 AA12，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点。（1）求BN的长； （2）求的值；11,cosCBBA （3）求证 A1BC1 。 解： （1）依题意得 B（0，1，0） ，N（1，0 ，1） ，能力测试能力测试认真完成！参考答案参考答案仔细核对！HGFEDCBA ；3)01 () 10()01 (222BN（2）A1（1，0 ，
9、2） ，B（0，1，0） ，C（0，0 ，0） ，B1（0，1，2） ， ， ， ， ， ，)2,1,1 (1BA)2,1,0(1CB311CBBA61BA51CB ；1030,cos1111 11 CBBACBBACBBA（3）证明：C1（0，0 ，2） ， ， ， ，)2,21,21(M)2,1,1(1AB)0,21,21(1MC ， A1BC1M 。011MCAB 4如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且C1CB=C1CD=BCD，C1CBD。当的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD？请给出证1CCCD明。 解：若使 A1C平面 C1BD ，只须证
10、A1CBD ，A1CDC1 ，=(a+b+c)(ac)()(1111CCCDAACADCCA=|a|2+abbc|c|2 =|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0 当 |a|=|c| 时，A1CDC1 ， 同理可证当 |a|=|c| 时，A1CBD ，=1 时，A1C平面 C1BD 。1CCCD5 5已知是正方形所在平面外一点，、分别是、上的点，且 PABCDMNPABD，求证：直线平面。 （分析题目时请用左图，写解答时8:5:NDBNMAPMMNPBC 请用右图。 ）证明: 如图， ，135 135 135BDPBPABNPBPMBNPBMPMN)85(138 138 135 135 135)(135)(BPBCBPBCBCBPBPBCBAPBBPBA，在上取点，使 ，于是 ，BCEBCBE85PEBPBCMN138)(138 ， 平面。MNPEMNPBCMNDCBAPEMNDCBAP
