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1、第 52 讲 位置关系的向量解法(B)(第课时)位置关系的向量解法 )定定理,线面垂直(线面垂直判)线线垂直(垂直)定定理,线面平行(线面平行判)理,线线平行(共线向量定平行定理)本定理推论,共面向量共面问题(空间向量基)共线问题(babababababababababa00/重点重点:1证明共线共面问题;2证明线线、线面的平行和垂直。 难点难点:建立坐标系,把空间线面位置关系转化为空间向量问题。1掌握空间向量的基本运算,能证明几何体中的共线共面问题;2掌握空间向量的坐标 运算能证明几何体中的平行、垂直问题。1共线共面问题,一般以小题形式出现;2平行或垂直问题,一般以大题形式出现。1共线共面问
2、题共线共面问题 证明共线问题需要用到共线向量定理:对于空间任意两个向量 a a、b b(b b0),a,ab b 的充要条 件是存在实数,使 a a=b b 。 证明共面问题可以利用空间向量基本定理的推论:、是空间不共面的四点,OABC则对空间任一点,都存在惟一的有序实数组、 ,使 =+ PxyzOPxOAyOBzOC,特别地,若 +=1 ,则必有、四点共面。xyzPABC 证明共面问题也可以利用共面向量(平行于同一平面的向量叫做共面向量)定理:两个向 量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对、,使 p = a +b xyxy 。 共面向量定理的推论:空间一点
3、位于平面内的充要条件是存在实数对、,使 PMABxy,或对空间任一定点,有 ,此式叫作平面MByMAxMPOMByMAxOMOP 的向量表达式。MAB 例例 (三点共线问题,前面已作介绍) 例例 (利用空间向量基本定理的推论来证明四点共面,前面已作介绍) 例例点 A(1,0 ,1) ,B(4,4,6) ,C(2,2,3) ,D(10,14,17)这四个点是否共面?神经网络神经网络准确记忆!重点难点重点难点好好把握!考纲要求考纲要求注意紧扣!命题预测命题预测仅供参考!考点热点考点热点一定掌握!解:AB(3,4,) ,AC(1,2,2) ,AD(9,14,16) ,设ADxAByAC ,即(9,1
4、4,16)(3xy,4x2y,x2y) , , A,B,C,D 四点共面。 32yx点评:本题利用共面向量定理。2证线线垂直证线线垂直 证明线线垂直需要用到 ab ab=0 。 例例如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 C1CB=C1CD=BCD=60,求证:C1CBD 。证明: ,、中两两所成夹角为CBCD CDCB1CC, ,CBCDDBCDBD CBCCCDCCCBCDCCBDCC1111)(0coscos11CBCCCDCC, C1CBD 。3证线面垂直证线面垂直 证明线面垂直需要用到线面垂直的判定定理以及 ab ab =0 。332211bababa
5、例例棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,在棱 DD1上是否存在点 P 使 B1D面 PAC? 解:以 D 为原点建立如图所示的坐标系,设存在点 P(0,0,z)使 B1D面 PAC ,则 AP =(a,0,z) ,AC=(a,a,0) ,1DB=(a,a,a) B1D面 PAC , 1DBAP=0,1DBAC=0 a2+az=0, z=a,即点 P 与 D1重合, 点 P 与 D1重合时,DB1面 PAC 。4证线线平行证线线平行 证明线线平行需要用到共线向量定理:对于空间任 意两个向量 a a、b b(b b0),a,ab b 的充要条件是存在实数,使 a a=b b 。 例例
6、证明平行于同一直线的两直线平行。 已知: , 。ll /1ll /2 求证: 。21/ll证明:在 、上分别取非零向量 m、a、b ,l1l2l ,即 a / m , a = m ,ll /1x又 ,即 b / m , m = b ,ll /2y 代入得 a =()m , a / b ,即 。xy21/ll5证线面平行证线面平行 证明线面平行需要用到线面平行的判定定理以及共线向量定理。 判定定理:若平面外的一条直线和这平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平 行。两平行平面之一内的直线平行于另一个平面。 共线向量定理:对于空间任意两个向量 a a、b b(b b0),a,ab b 的充要条
7、件是存在实数,使 a a= b b 。 例例已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点,且 E、F、G、H 四点共面,证明:BD平面 EFGH。 证明: ,BDABADABADAEAHEH21)(21 21 21 EHBD,又 EH面 EFGH,BD 面 EFGH , BD平面 EFGH 。LJLJ03030707位置关系的向量解法位置关系的向量解法1 12 23 34 45 56 67 78 8 共线问题 共面问题 证线线垂直 证线面垂直 证线线平行 证线面平行2 2在四面体 OABC 中,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点
8、,若,则使 G 与 M,N 共线的 x 的一个值为 ( OCxOBxOAOG4431)A1 ; B2 ; C ; D 。32 34答案:。D 3 3 (2000 年高考二省一市理科题)如图,直棱柱 ABCA1B1C1,底面ABC 中, CACB1,BCA90,棱 AA12,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点。(1)求BN的长; (2)求的值;11,cosCBBA (3)求证 A1BC1 。 解: (1)依题意得 B(0,1,0) ,N(1,0 ,1) ,能力测试能力测试认真完成!参考答案参考答案仔细核对!HGFEDCBA ;3)01 () 10()01 (222BN(2)A1(1,0 ,
9、2) ,B(0,1,0) ,C(0,0 ,0) ,B1(0,1,2) , , , , , ,)2,1,1 (1BA)2,1,0(1CB311CBBA61BA51CB ;1030,cos1111 11 CBBACBBACBBA(3)证明:C1(0,0 ,2) , , , ,)2,21,21(M)2,1,1(1AB)0,21,21(1MC , A1BC1M 。011MCAB 4如图,已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形,且C1CB=C1CD=BCD,C1CBD。当的值为多少时,能使 A1C平面 C1BD?请给出证1CCCD明。 解:若使 A1C平面 C1BD ,只须证
10、A1CBD ,A1CDC1 ,=(a+b+c)(ac)()(1111CCCDAACADCCA=|a|2+abbc|c|2 =|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0 当 |a|=|c| 时,A1CDC1 , 同理可证当 |a|=|c| 时,A1CBD ,=1 时,A1C平面 C1BD 。1CCCD5 5已知是正方形所在平面外一点,、分别是、上的点,且 PABCDMNPABD,求证:直线平面。 (分析题目时请用左图,写解答时8:5:NDBNMAPMMNPBC 请用右图。 )证明: 如图, ,135 135 135BDPBPABNPBPMBNPBMPMN)85(138 138 135 135 135)(135)(BPBCBPBCBCBPBPBCBAPBBPBA,在上取点,使 ,于是 ,BCEBCBE85PEBPBCMN138)(138 , 平面。MNPEMNPBCMNDCBAPEMNDCBAP