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1、中国高考数学母中国高考数学母题题一千一千题题(第第 0001 号号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699) 双曲双曲线渐线渐近近线线合成方程的解合成方程的解题题功能功能两直两直线线 y=kx 合成二次曲合成二次曲线线 k2x2-y2=0 的解的解题题功能功能双曲线 C:-=1(a0,b0)的两条渐近线:y=x,可以合成二次曲线:(x)2-y2=0,即 b2x2-a2y2=0,一般地,由直22ax 22byab ab线 l1:y=kx 与直线 l2:y=-kx,可以合成二次曲线 k2x2-y2=0,由此可避免求与直线 l1、l2的交点,从而可简便地解决与直线l1、l2
2、相关的一类高考试题.母母题结题结构构:()己知直线 l 与双曲线 C:-=1(a0,b0)有且仅有一个交点,且分别交两渐22ax 22by近线于 M,N,0 为坐标原点,则:=a2-b2;OMN 的面积 S=ab;OMON()过双曲线 C1:-=1(ab0)上一点 P 向椭圆 C2:+=1 作两条切线 PA、PB,切点分别22ax 22by 22ax 22by为A、B,直线 AB 分别交双曲线 C1的两渐近线于 M、N,0 为坐标原点,则:=a2-b2;OMN 的面积 S=ab;OMON()己知直线 l 与椭圆 C:+=1(ab0)有且仅有一个交点,且分别交直线 l1:bx-ay=0,l2:b
3、x+ay=0 于 M,N,0 为坐标22ax 22by原点,则:OMN 的面积 S 的最小值为 ab; 母母题题解析解析:()设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l:x=ty+m,代入双曲线 C 的方程得:(b2t2-a2)y2+2b2tmy+b2m2-a2b2=0;由直线l 与双曲线 C 有且仅有一个交点(2b2tm)2-4(b2t2-a2)(b2m2-a2b2)=0b2t2+m2=a2;将 x=ty+m 代入双曲线 C 的渐近线方程 b2x2-a2y2=0 得:(b2t2-a2)y2+2b2tmy+b2m2=0my2-2b2ty-b2m=0y1+y2=,y1y2=-b2;由 x1
4、x2=(ty1+m)(ty2+m)mtb22=t2y1y2+tm(y1+y2)+m2=b2t2+m2=a2=x1x2+y1y2=a2-b2;由|y1-y2|=,且直线 l 与 x 轴交于点 T(m,0)OMON|2222mmtbb |2 mabOMN 的面积 S=|OT|y3-y4|=|m|=ab;21|mab()设 P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),则 b2x02-a2y02=a2b2;由椭圆 C2在点 A 处的切线PA:b2x1x+a2y1y=a2b2b2x0x1+a2y0y1=a2b2点 A 在直线 l:b2x0x+a2y0y=a2
5、b2上;同理可得:点 B 也在直线 l 上直线 AB,即直线l:b2x0x+a2y0y=a2b2,代入双曲线 C 的渐近线方程 b2x2-a2y2=0 得:(a2y02-b2x02)x2+2a2b2x0x-a4b2=0x2-2x0x+a2=0x3+x4=2x0,x3x4=a2y3y4=(a2-x0x3)(a2-x0x4)=a4-a2x0(x3+x4)+x02x3x4=(a2-x02)=-b2=x1x2+y1y2=a2-b2;由|x3-x4|=22 044yab2 044yab 2 024yabOMON=22 0ax |y0|,又直线 l 与 y 轴交于点 T(0,)OMN 的面积 S=|OT|
6、x3-x4|=|y0|=ab;ba202yb21 ba02yb()当直线 l 平行 x 轴时,直线 l:y=bM(a,b),N(a,b)OMN 的面积 S=ab;当直线 l 不平行 x 轴时,设直m线 l:x=ty+m,代入椭圆 C 的方程得:(b2t2+a2)y2+2b2tmy+b2m2-a2b2=0;由直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个交点(2b2tm)2-4(b2t2+a2)(b2m2-a2b2)=0b2t2+a2=m2;将 x=ty+m 代入由直线 l1与 l2合成的曲线:b2x2-a2y2=0 得:(b2t2-a2)y2+2b2mty+b2m2=0y1+y2=,y1y2=-|y1-y
7、2|=,又直线 l 与 x 轴交于点 T(m,0)OMN 的面积 S=|OT|y3-y4|=22222tbatmb22222tbamb |2222tbamab21| 2222tbamab=ab(当且仅当 t=0 时,等号成立).综上,OMN 的面积 S 的最小值为 ab. |)( 222222tbatbaab1.应应用范用范围围子子题类题类型型:(2012 年浙江高考试题)如图,F1,F2分别是双曲线 C:-=1(a,b0)22ax 22by的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M,若|MF2|=|F
8、1F2|,则 C 的离心率是( )(A) (B) (C) (D)332 2623解析解析:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由直线 F1B:-+=1,代入渐近线:-=0 得:b2x2-2a2cx-cx by 22ax 22bya2c2=0x1+x2=y1+y2222bca=(x1+x2+2c)=PQ 的中点(,)线段 PQ 的垂直平分线:y-=-(x-)M(+c,0)|F2M|=;又cb bc2222bca bc2bc2 bc 22bca22bca22bca由|MF2|=|F1F2|=2ce=.故选(B).22bca26点点评评:凡某直线 l 同时与直线 l1:y=kx、l2:y=-kx
9、 相交的问题,都可先把这两直线 l1、l2的方程合成二次曲线 k2x2-y2=0,然后,把直线 l 的方程代入,由此,解决问题.2.面面积积定定值值子子题类题类型型:(2010 年重庆高考理科试题)已知以原点 O 为中心,F(,0)为右焦点的双曲线5C 的离心率 e=.25()求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程;()如图,已知过点 M(x1,y1)的直线 l1:x1x+4y1y=4 与过点 N(x2,y2)(其中 x2x1)的直线l2:x2x+4y2y=4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与两条渐近线分别交与 G、H 两点,求 OGH 的面积.解析解析:()设双曲线 C:-=1(
10、a,b0),由 a2+b2=5,e=a=2,b=1双曲线 C:22ax 22by 22 1 ab25-y2=1渐近线方程:-y2=0,即 y=x;42x42x21()设 G(x3,y3),H(x4,y4),E(x0,y0),则 x02-4y02=4,且 x0x1+4y0y1=4点 M(x1,y1)在直线 l:x0x+4y0y=4 上,同理可得点 N也在直线 l 上直线 MN,即直线 l:x0x+4y0y=4,代入 x2-4y2=0 得:(4y02-x02)y2-8y0y+4=0y2+2y0y-1=0y3+y4=-2y0,y3y4=-1|y3-y4|=2=|x0|;又直线 MN 与 x 轴交于点
11、 T(,0)OGH 的面积=|OT|y3-y4|=|x0|=2.12 0y 04 x21 |20x点点评评:直线方程合成二次曲线方法的应用典例是解决某条直线与双曲线的两条渐近线分别相交的问题,由该方法易得母题中的两种情况下的二个定值,本题是第二种情况面积定值的特例.3.面面积积最最值值子子题类题类型型:(2015 年湖北高考理科试题)一种作图工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动一周(
12、D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为 C.以O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系.()求曲线 C 的方程;()设动直线 l 与两定直线 l1:x-2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点,试探究:OPQ 的面积是否存在最小值？若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解析解析:()设 D(t,0)(|t|2),N(x0,y0),M(x,y),由=2,且|=|=1MDDNDNONt-x=2(x0-t),-y=2y0,且(x0-t)2+y02=1,x02+y02=1t-x=2(x0-t
13、),-y=2y0,且 t(t-2x0)=0t-x=2(x0-t),-y=2y0,且 t=2x0x0=,y0=-,代入 x02+y02=1 得曲线4x 2yC:+=1;162x 42y()设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 l:x=ty+m,代入 x2+4y2=16 得:(t2+4)y2+2tmy+m2-16=0;因为直线 l 总与 C 有且只有一个公共点(2tm)2-4(t2+4)(m2-16)=04t2+16=m2;将 x=ty+m 代入由直线 l1:x-2y=0 和 l2:x+2y=0 合成的曲线:x2-4y2=0 得:(t2-4)y2+2tmy+m2=0y1+y2=-,y1y2
14、=|y1-y2|=OPQ 的面积 S=|m|y1-y2|=; 42 2ttm422tm |4|4 2tm21|4|2 22tm|4|)4(8 22tt当|t|2 时,S=8(1+)8;当|t|t2-4-4S8(当 t=0 时,等号成立)Smin=8. 48 2t48 2t点点评评:本题是类比双曲线渐近线的面积定值而得,也是 2010 年重庆高考试题的变式,由此可知本题的来源和背景,当然,本题也是母题()的特例.4.子子题题系列系列:1.(2014 年浙江高考试题)设直线 x-3y+m=0(m0)与双曲线-=1(ab0)两条渐近线分别交于点 A,B,若点 P(m,0)满22ax 22by足|PA
15、|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .2.(2008 年全国高考试题)双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2,经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1,l2于 A,B 两点.已知|、|、|成等差数列,且与同向.OAABOBBFFA()求双曲线的离心率;()设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.3.(2014 年福建高考试题)已知双曲线 E:-=1(a,b0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x.22ax 22by()求双曲线 E 的离心率;()如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2于 A,B 两点(A,B 分别在第一、第四象限),且OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.4.(2010 年重庆高考文科试题)已知以原点 O 为中心,F(,0)为右焦点的双曲线 C 的离心率 e=.525()求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程;()如图,已知过点 M(x1,y1)的直线 l1:x1x+4y1y=4 与过点 N(x2,y2)(其中 x2x1)的直线l2:x2x+4y2y=4的交点 E 在双曲线
