高等数学论文

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1、邵阳学院 高等数学论文题目：论高等数学 系别 电气工程系 专业 电气工程及其自动化 姓名 陈云 学号 1341201095 二零一四年七月二零一四年七月引言引言大学数学一般院校都要学高等数学、线性代数、概率论与数理统计，在其中高等数学是 其他两门课程的基础，一开始进入大学，无论是学长、学姐，还是老师，他们都会强调高 等数学的重要性。高等数学是所有工科专业知识的基础。高等数学与初等数学的最大区别在于初等数学研究的是静态知识，而高等数学研究的是 动态知识，比如抛物线，在初等数学中的只研究它的图形是怎样而来的，而高等数学则是 研究其面积以及旋转曲线方程。高等数学主要内容是用极限思想看问题，用微积分解

2、决问题。微积分的发明与其说是数 学史上，不如说是人类科学史上的一件大事。它是由牛顿和莱布尼茨各自独立地创立的。 恩格斯指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分学的发明那样 被看作人类精神的最高胜利了。 ” 如何学好该课程，这是学习者首先要面对的问题。数学具有很强的抽象性，正是这一点 往往成为一些学习者从小学到大学的心理障碍。有人因为高中数学学得不是很好，因此在面 对高等数学时，学习起来缺乏自信，不相信自己有能力看懂、学通这门课程。尽管数学是一 门深奥的课程，但它又是一门有兴趣的课程。如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它。 你会很容易接受这门课，你也会发觉其 实这门课程并不

3、难，这对于学好数学是一个非常必要 的条件。 对于每位刚踏入大学的同学来说，要从简单、基础的数学思维转到对高度抽象、复杂的高 等数学的学习中确实有一定的难度，但似乎越难的学科越具有其独特的魅力，使你不断地掏 出心思去学它、懂它、理解它、体会它，从而真正感到它内在的美。 内容简介 高等数学第一章主要讲的是极限，极限是微积分的思想的基础。极限可分为函数、数 列、一般数组， 其核心内容都是在一定条件下其数值收敛于一常数，求极限的方法有分子 有理化、分母有理化、两个重要极限、无穷小量以及 最重要的洛必达法则。研究题目所给 的类型然后再运用合理的方法去解答题目是最基本的思维模式。第二章主要讲导数基本定 义

4、，学习到了导数的表达方式、几何意义、以及导数的简单运用和求导导法则，在求导法 则中复合函数的求导尤为重要，其方法是链导法。第三章和第四章主要讲第一重积分，积 分的几何意义是面积，在引出积分概念来的时候，运用了分割、微分、近似求和、取极限 等基本方法，积分由积分表达式、积分变量、积分符号、积分上下限四部分组成，积分分 为不定积分和定积分，其区别在于积分区域的确定与否，在积分计算中的常用方法有四种， 第一中种是用牛顿莱布尼茨公式，即求出函数的原函数 ；第二种是分部积分法，即凑微分； 第三种是观其函数形式，运用三角函数换元再由常用三角函数得到结论；第四种是第二类 分部积分，用于两个函数的乘积的积分，

5、其主要内容是用两个函数其中一个函数作为积分 变量，再由公式f(x)g(x)dx=m(x)df(x)=m(x)f(x)-f(x)dm(x);在求积分时特别重要 的是要记住那些常用的积分。第五章讲定积分用于求面积、三种坐标下求弧长以及面积、 简单旋转旋转体的体积。这些相应的公式尤为重要。第六章内容是级数，级数是指有无穷 多项的多项式，在研究级数时首先研究的是正项级数，其有四个性质，以及四个用于判断 级数是否收敛的定理，然后研究的是一般级数，一般级数包括交错级数和幂级数，其相应 有牛顿莱布尼茨法和阿贝尔法，幂级数分为绝对收敛和条件收敛；泰勒级数是高等数学中最重要的级数之一，在这一章还会学习到三角级数

6、和犹利克雷定理。第六章介绍了空间坐 边系以及空间直线对称式方程、参数方程；空间曲面的方程。同时又把初等数学的向量引 进进一步提出向量的差乘，与以前学的向量点乘截然不同，充分利用向量的差乘会让许多 问题变得简单，在空间曲面方程有椭圆抛物线、双曲抛物面、椭圆方程、双曲线方程。同 时也为以后的积分做了准备，提出投影曲线。第八章主要内容是偏导数的求法，主要说明 了含两个未知数函数的简单求法，复合函数的链导法，隐函数的公式法或用雅克比公式求 出，在本章内容当中连续与偏导与可微与一阶偏导连续与二阶偏导连续与混合偏导数相等 的关系特别重要，可以利用图解法表示他们之间的关系。第九章讲了空间曲线的切线方程 与法

7、平面方程；空间曲面的切面方程与法线方程。两者相似，但区分他们是比较容易的。 第九章第二节讲了方向导数，其应用广泛；凸显重要。第十章与第十一章的内容是二重积 分、三重积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分六 大积分，二重积分的几何意义是物体的体积，主要计算方法有换元法；三重积分的几何意 义是物体质量，主要方法有柱面换元法和球面换元法，其两者区别在于积分元素的不同， 第一类曲面、曲线积分只要记住公式就行了，第二类曲面积分要懂得运用高斯公式、斯托 克斯公式，几何意义为流体；第二类曲线积分要懂得运用格林公式解题以及要掌握什么时 候积分与路径无关，几何意义为做功。第十二章主

8、要介绍微分方程的解法，首先从简单入 手，开始讲常微分方程，由一阶到二阶，在学习过程中只要注意题目所属于哪种类型套用 公式即可解出方程，在这一章中说到了全微分，只有该函数积分与路径无关时才有全微分 方程，要求记住常用的微分方程即可。感想高等数学是一门所有工科学习的基础，学好了高等数学更有利于人的大脑思维的培养， 有利于我们用高等数学知识解决更多的专业知识。高等数学是有用的，思维的灵敏性、抽象在很多程度上依赖于高等数学的学习；高等数 学是容易的，高等数学并不像有些学长学姐们说的那么难，平时预习，上课听讲，回寝室 独立完成家庭作业，对于期末考试上八十分是非常容易的；高等数学是重要的，高等数学 的学分

9、是你大学四年里最高的，可以毫不夸张的说如果你高数的学分拿不到，你就拿学士 学位证不到。对于大一所有学科中，高等数学是最最重要的，时间最长，学习一年后，才知道其实我 学的知识只有高等数学最记忆犹新，最觉得亲切，最让我印象最深，在学习高等数学中， 我对其有着非常高的激情，以及对其兴趣甚佳， ”兴趣是最好的老师“这句名言又一次得到 证明。学习高等数学后，我尽力致力于把理论用于实践，可是我没有把它制作成实际产品， 而是把它用于理论以及和同学的调侃当中，其实这实际上优点虽有，但并不能体现出其最 大价值，麻省理工的校训是理论与实践并重，所以我觉得应该注重于实践与理论结合。对于学习完一年高等数学的我来说，掌

10、握一个正确的学习方法是至关重要的，我觉得最 重要的习题是课本原题，不光会独立能完成习题，而是要根据习题总结题目类型以及一些 关于计算的一些技巧，能够做到做会一小题掌握其核心知识点以及知识点的扩展点，大学并不想高中会去花费大量时间进行题海战术，所以我们应该更注重于方法总结，在总结方 法以后，要记住其方法以及试用范围，当看到题目类型相似时能够迅速反应出来，便于快 速解题。总之，作为一名大学生，我觉得应更注重于思维的锻炼以及知识点的推理过程。关于高等数学知识的相关见解 极限极限是高等数学初入门的基础，极限可分为函数、数列、任意常数项，三者只是针对对 象不同，共同点都是存在一个值，当自变量大于这个值时

11、，其项之书收敛于一常数。极限运用了在无穷的条件下收敛于一常数，针对极限我主要喜欢在无穷小量上的研究。 无穷小量顾名思义就是指接近零，但不等于零，这个概念在公元前 300 年阿基米德在机 械原理方法论中初次提出来，无穷小量能够用来求极限，利用等价无穷小可以用来进行 等效替换，简化计算难度，加快做题时间。研究一项物质首先必须知道其性质，无穷小量 有无穷小量乘以有界函数等于无穷小量、无穷小量加减无穷小量仍为无穷小量、无穷小量 的倒数等于无穷大量、无穷小量乘以常数仍为无穷小量等性质。两个无穷小量因为前提条 件的不同分为等价无穷小、同阶无穷小、高阶无穷小。在生活中，我们也许会把无穷小量 看为忽略不计的事

12、物，但在科研方面，无穷小量的应用大大促进了科研对相关问题的简便。 在非标准分析中，无穷小量也和实数一样被视为具体的“数” ，这些数比零大，但比任何正 实数都小。前面用序列来定义无穷小量的经典方法或多或少有些难于处理，而“非标准” 的无穷小量利用他们，罗宾逊和其他人轻松地证明了所有传统定理和部分新定理，而 世纪愚笨的方法永远无法处理这些定理。他们恢复了莱布尼兹的声誉，也纠正了我们 在思考运动变化的一点偏差。引文提到的罗宾逊（Abraham Robinson，一译鲁滨逊）是非 标准分析的开创者之一，无穷小量的新定义正是由他给出。直观地说，一个数称为无穷大 的，如果它比 1， 1+1， 1+1+1

13、等任何自然数都要大，而一个数称为是无穷小的， 如果它不等于零而且它的倒数是无穷大。但这种数的存在与否，甚至能不能合法地称作一 种“数”等，都是需要进一步考虑的本质问题。对于无穷小量，我的想法用于生活中，它能有哪些应用？作为一种特别细小在日常生活 中也许没什么大的用处，众所周知，在航天事业研究中是特别重要的，对于无穷小量，把 放在细小的平面上观察，产生的效果并不明显，但放于一个高速、长距离的平面看，其效 果明显而又令人不得不去注意到它。有由无穷小量引出其概念，适用于实践当中时，我们 不难发现在一件普通而又简单的事情中，我们只要找到那些无穷小量，把它稍微放大就可 以做到意想不到的效果，也许因为这些

14、无穷小量的因素使得是一件苦难变成幸运。而对于 其详细寻找哪些无穷小量的因素，这是件难事，但在难事中也有无穷小量的存在，所有只 要有善于发现无穷小量的因素，就可把实践做好。 微积分微积分是研究微分学和积分学的统称，英文名称是 Calculus，意为计算。这是因为早期 微积分主要用于天文、力学、几何学中的计算的问题。后来人们也将微积分称为分析学， 或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。极限是 整个微积分学的基础。微分学包括求导和微分的运算，是一套关于变化率的理论。它使得 函数、速度、加速度和曲线斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括不定积分 和定积分的概念

15、和应用，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。生于伽利略死 后的那一年（1643）的牛顿为了创建动力学，必要先发明一种描述运动和变化的数学 微积分。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多用初等数学无法解决的问题，运 用微积分，这些问题往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门学科的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后， 在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的，微积分也是这样。 不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候， 竟然引起了一场轩然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。

16、英国数学 在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数 学发展落后了整整一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较 特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早 10 年左右，但是正式公开发表微积分这一理论， 莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民 族偏见，关于发明优先权的争论竟从 1699 年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布 尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。 牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其 说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到 19 世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究， 建立了极限理论，后来又经过德国