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1、第九讲数列答案第九讲数列答案例例 1 1：（）设数列an的公比为 q，由得所以。2 3269aa a32 349aa21 9q 由条件可知 c0，故。由得，所以。1 3q 12231aa12231aa q11 3a 故数列an的通项式为 an=。1 3n（ ）31323nloglog.lognbaaa故(12.)(1) 2nn n 12112()(1)1nbn nnn 12111111112.2(1)().()22311nn bbbnnn 所以数列的前 n 项和为1nb2 1n n【变式训练变式训练 1】1】（I）由题设 即是公差为 1 的等差数列。1111,11nnaa11na又 所以111
2、1,.11nnaa故11.nan （II）由（I）得，11,1 1 11 1n nabnnn nnnn 11111()11.11nnnk kkSbkkn 例例 2 2： （I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得na110,21210,adad 解得故数列的通项公式为 11,1.ad na2.nan（II）设数列，即，12n nnanS的前项和为2 111,122n nnaaSaSL故所以，当时，12.2242nn nSaaaL1n 121 11112222 11121()2422 121(1)22nnnn nnnnnnSaaaaaann LL所以综上，数列 .2nn1.2nnnS11.22n
3、 nnnannS的前项和【变数训练变数训练 2 2 】解: （1）当nkN时，21 2nSnkn 取最大值，即22211822kkk ，故4k ，从而19(2)2nnnaSSn n，又117 2aS，所以9 2nan（2）因为192 22n nnnanb，1222123112222nnnnnnTbbb LL所以21211111222 144222222nnnnnnnnnnnTTT L例例 3 3：（1）12 112221,221nn nnnnSaSa 相减得：1 2132nnnaa 12213212323,34613Saaaaaa123,5,a aa成等差数列13212(5)1aaaa（2）1
4、21,5aa得132nnnaa对*nN 均成立1 113223(2 )nnn nnnnaaaa 得：1221 12123(2)3 (2)3(2)32nnnnnn nnnnaaaaa L（3）当1n 时，11312a 当2n 时，23311( )( )232 22222nnnn nn naa23 1211111111311222222nn naaa LL由上式得：对一切正整数n，有121113 2naaaL【变式训练变式训练 3】3】（I）解：由题意，由 S2是等比中项知2 2212 22 221122,2,Sa aSSSa Sa a 得由解得220.2.SS 因此23332SaSa S2 3
5、222.1213SaS （II）证法一：由题设条件有11,nnnnSaaS故从而对有1 11 11,1,11nn nnnn nnSaSaaSSa 且3k 1 12 11211 2 111211 1 11.11111k k kkkkk k kkkkkk k kaaSaSaaaaSaSaaaa 因，由得222 1111131()0024kkkkaaaa 且0ka 要证，由只要证4 3ka 2 1 2 114,31kkka aa即证此式明显成立.因此222 111134(1),(2)0.kkkkaaaa即4(3).3kak最后证若不然1.kkaa212,1k kk kkaaaaa又因矛盾.因此2 2
6、0,1,(1)0.1k kk kkaaaaa故即1(3).kkaak证法二：由题设知，111nnnnnSSaaS故方程.因此判别式2 1110nnnnxSxSSa 有根和2 1140.nnSS 又由2 2122121 21.1n nnnnnnn naSSaaSaSa 得且因此，解得2 222 222 2240,3401(1)nn nn nnaaaaaa 即240.3na因此由，得40(3).3kak110(3)1k k kSakS11 12 11122111(1)(1)11110.131()24kkk kkkkk kkkkkkkkkkSSSaaaaaSa SS Saa SSS 因此1(3).k
7、kaak巩固练习巩固练习1、解：（1）由，令，则，又，所以.22nnbS ，1n 1122bS11Sb12 3b ，则.21222()bbb22 9b 当时，由，可得. 即. 2n22nnbS ，nnnnnbSSbb2)(211 11 3nnb b，所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. nb12 3b 31nnb312（2）数列为等差数列，公差,可得. na751()3 2daa，13 nan6 从而分nnnnnbac31) 13(2,31) 13(318315312 232nnnTL31) 13(31)43(315312 231132nnnnnTL. 10 分31) 13(31 3133
8、13313313 232132nnnnTL从而. 12 分27 331 27 271nnnnT2、 （） 证明：由条件，得，112234(1)4(2)nnnnnnanaanaana则21112(1)44(1)nnnnnnanaanaana即，所以，111244.1,0nnnbbbbb又1122(2)nnnnbbbb21220bb 所以是首项为2，公比为 2 的等比数列 12 nnbb，所以2122bb 1 12122(2 )2nn nnbbbb 两边同除以，可12n得于是为以1 11 222nn nnbb 2n nb首项，为公差的等差数列1 21 2所以8（11(1),2 (1)2222nn
9、nnbbnnb得），令，则11 1122(2)nnn nnnanann a 2nnnca1nncnc而 12111 (1)2 1(1)2 1nccn ncn n LL，(1)2 12nnan n L 分，(1)2 12(1)!2nn nnan nnnnnn L14 分2(2! 1!)(3! 2!)(1)! (1 2222 )n nSnnnLL令Tn，则 2Tn 21 2222nnL2311 222(1)22nnnnL，得Tn，Tn212222nnnL1(1)22nn16 分1(1)! (1)21nnSnn3、 【答案答案】解：（1）nn nabb11，1 1222=1nnn nnnnnabba
10、 abb a 。2 111nnnnbb aa。 22222 1111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa。数列2nnb a是以 1 为公差的等差数列。（2）00nna b ，2 222 2nn nnnnabab知0q，下面用反证法证明=1q若1,q则2 12=2aaa时，112n naa q ，与（）矛盾。若01,a q，当 11logqna时，111n naa q a，于是123b b b。又由 221nnnn nbabaa 即1 122 1nnaba ab ，得22 111 2 12=1naaaba。123bbb，中至少有两项相同，与123b b b矛盾。1= 2a。 2222222 = 2 21nb。 12= 2ab。思维拓展思维拓展解：（1） 011 Sa0,1, 01naSqqn时当当6 分01)1 (,11qqaSqnn时), 0()0 , 1(Uq（2），)23(2qqabnnnnSqqT)23(2) 123(2qqSSTnnnnnSTqq,2211时或nnSTqq,0221时且nnSTqq,221时或
