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1、 单自由度系统的雾阻尼受迫振动 工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在 有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振 力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。受迫振动。例如，交流电通过电磁铁产生交变的电磁 力引起振动系统的振动，如图 4-16 所示；弹性梁上的电动机由于转子偏心，在转动时引起 的振动，如图 4-17 所示，等等。工程中常见的激振力多是周期变化的。一般回转机械，往复式机械，交流电磁铁等多 会引起周期激振力。简谐激振力激振力是一种典型的周期变化的激振力，简谐力 F 随时间变化的 关系可以写成其中 H 称为激振
2、力的力幅，即激振力的最大值；w 是激振力的角频率；W 是激振力的初 相角，它们都是定值。1.振动微分方程图 4-16 所示的振动系统，其中物块的质量为 m。物块所受到的力有恢复力 Fe 和激振力 F，如图 4-18 所示。取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下，则恢复力 Fe 在坐标 轴上的投影为其中 k 为弹簧刚度系数。设 F 为简谐激振力，F 在坐标轴上的投影可以写成式（4-33）的形式。指点的运动微分 方程为将上式两端除以 m，并设则得该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的解 由两部分组成，即其中 x1 对应于方程（4-35）的齐次通解，x2 为
3、其特解。由￥4-1 知，齐次方程的通解为设方程（4-35）的特解有如下形式：其中 b 为待定常数，将 x2 代入方程（4-35） ，得解得于是得方程（4-35）的全解为2.受迫振动的振幅由式（4-36）和（4-37）知，在简谐激振的条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动 频率等于激振力频率，振幅的大小与运动出示条件无关，而与振动系统的固有频率 w0，激 振力的力幅 H，激振力的频率 w 有关。下面桃林受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系。（1）若 w0，此种激振力的周期趋近于无穷大，即激振力为一恒力，此时并不振动， 所谓的振幅 b0 实为静力 H 作用下的静变形。由式（4-37）得（2）若 0
4、ww0，则由式（4-37）知，w 值越大，振幅 b 越大，即 b 随着频率 w 单调 上升，当 w 接近 w0 时，振幅 b 将趋近于无穷大。（3）若 ww0，按式（4-37） ，b 为负值。但习惯上把振幅都取为正值，因而此时 b 取 其绝对值，而视受迫振动 x2 与激振力反向，即式（4-36）的相位角应加（或减）180。这 时，随着激振力频率 w 增大，振幅 b 减小。当 w 趋于无穷大时，振幅 b 趋于零。上述振幅 b 与激振力频率 w 之间的关系可用图 4-19a 中的曲线表示。该曲线称为振幅频 率曲线，又称为共振曲线。为了使曲线具有更普遍的意义，我们将纵轴取为 b=bb，横轴取 为 r
5、=ww，b 和 r 都是量纲一的量，振动频率曲线如图 4-19b 所示。3.共振现象在上述分析中，当 w=w0 时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅 b 在理论上应 趋向无穷大，这种现象称为共振。事实上，当 w=w0 时，式（4-37）没有意义，微分方程式（4-35）的特解应具有下面的 形式：将此式代入式（4-35）中，得故共振时受迫振动的运动规律为它的幅值为由此可见，当 w=w0 时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限地增大，其运动图线如 图 4-20 所示。实际上，由于系统存在有阻尼，共振时振幅不可能达到无限大。但一般来说，共振时的 振幅都是相当大的，往往使机器产生过大的变形，甚至造成破坏。因此如何避免发生共振 室工程中一个非常重要的课题。
