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1、 单自由度系统的雾阻尼受迫振动 工程中的自由振动,都会由于阻尼的存在而逐渐衰减,最后完全停止。但实际上又存在 有大量的持续振动,这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗,一般都承受外加的激振 力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。受迫振动。例如,交流电通过电磁铁产生交变的电磁 力引起振动系统的振动,如图 4-16 所示;弹性梁上的电动机由于转子偏心,在转动时引起 的振动,如图 4-17 所示,等等。工程中常见的激振力多是周期变化的。一般回转机械,往复式机械,交流电磁铁等多 会引起周期激振力。简谐激振力激振力是一种典型的周期变化的激振力,简谐力 F 随时间变化的 关系可以写成其中 H 称为激振
2、力的力幅,即激振力的最大值;w 是激振力的角频率;W 是激振力的初 相角,它们都是定值。1.振动微分方程图 4-16 所示的振动系统,其中物块的质量为 m。物块所受到的力有恢复力 Fe 和激振力 F,如图 4-18 所示。取物块的平衡位置为坐标原点,坐标轴铅直向下,则恢复力 Fe 在坐标 轴上的投影为其中 k 为弹簧刚度系数。设 F 为简谐激振力,F 在坐标轴上的投影可以写成式(4-33)的形式。指点的运动微分 方程为将上式两端除以 m,并设则得该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式,是二阶常系数非齐次线性微分方程,它的解 由两部分组成,即其中 x1 对应于方程(4-35)的齐次通解,x2 为
3、其特解。由¥4-1 知,齐次方程的通解为设方程(4-35)的特解有如下形式:其中 b 为待定常数,将 x2 代入方程(4-35) ,得解得于是得方程(4-35)的全解为2.受迫振动的振幅由式(4-36)和(4-37)知,在简谐激振的条件下,系统的受迫振动为谐振动,其振动 频率等于激振力频率,振幅的大小与运动出示条件无关,而与振动系统的固有频率 w0,激 振力的力幅 H,激振力的频率 w 有关。下面桃林受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系。(1)若 w0,此种激振力的周期趋近于无穷大,即激振力为一恒力,此时并不振动, 所谓的振幅 b0 实为静力 H 作用下的静变形。由式(4-37)得(2)若 0
4、ww0,则由式(4-37)知,w 值越大,振幅 b 越大,即 b 随着频率 w 单调 上升,当 w 接近 w0 时,振幅 b 将趋近于无穷大。(3)若 ww0,按式(4-37) ,b 为负值。但习惯上把振幅都取为正值,因而此时 b 取 其绝对值,而视受迫振动 x2 与激振力反向,即式(4-36)的相位角应加(或减)180。这 时,随着激振力频率 w 增大,振幅 b 减小。当 w 趋于无穷大时,振幅 b 趋于零。上述振幅 b 与激振力频率 w 之间的关系可用图 4-19a 中的曲线表示。该曲线称为振幅频 率曲线,又称为共振曲线。为了使曲线具有更普遍的意义,我们将纵轴取为 b=bb,横轴取 为 r
5、=ww,b 和 r 都是量纲一的量,振动频率曲线如图 4-19b 所示。3.共振现象在上述分析中,当 w=w0 时,即激振力频率等于系统的固有频率时,振幅 b 在理论上应 趋向无穷大,这种现象称为共振。事实上,当 w=w0 时,式(4-37)没有意义,微分方程式(4-35)的特解应具有下面的 形式:将此式代入式(4-35)中,得故共振时受迫振动的运动规律为它的幅值为由此可见,当 w=w0 时,系统共振,受迫振动的振幅随时间无限地增大,其运动图线如 图 4-20 所示。实际上,由于系统存在有阻尼,共振时振幅不可能达到无限大。但一般来说,共振时的 振幅都是相当大的,往往使机器产生过大的变形,甚至造成破坏。因此如何避免发生共振 室工程中一个非常重要的课题。