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1、1数值分析数值分析计算实习作业二1. 第二题第二题 题目题目试用带双步位移的 QR 分解法求矩阵的全部特征值，并对其中的每一个1010ijaA实特征值求相应的特征向量。已知jijijijiaij)2.1cos(5.1)2.05.0sin(说明：1.求矩阵特征值时，要求迭代的精度水平为1210 2.打印内容 a)算法的设计方案 b)全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）c)矩阵经过拟上三角化后所得的矩阵A)1( nAd)对矩阵进行 QR 分解方法结束后所得的矩阵 Q、R 以及乘积矩阵 RQ)1( nAe)矩阵的全部特征值，其中A)10，2，1( ）,（iLiIRii，如果是实数，则令)I
2、m(),Re(iiiiIRi0iI f)的相应于实特征值的特征向量A 3.采用 e 型输出数据，并且至少显示 12 位有效数字22. 解答解答2.12.1 算法算法的设计方案的设计方案对矩阵 A 进行拟上三角化运算，得到一个拟上三角矩阵，再使用带双步位移的 QR 分解法就可以求出全部的特征值。对矩阵直接进行 QR 分解法，就可以得到矩阵 Q、R)1( nA 及 RQ 的乘积。 需要特别说明的是求矩阵实特征值对应的的特征向量需要特别说明的是求矩阵实特征值对应的的特征向量：因为矩阵无重复特征值（观察 前面的结果可知） 。求某一特征值对应的特征向量时，的秩为 n-1，对其进行“选)(IA 主元的 G
3、auss 分解法”，当某一列选不出主元时（即 k,k+1,n 元素均为 0） ，例如下图所示， 记下列号，跳过此列，继续 Gauss 进行消元。消元完毕后，按从后向前的顺序求解解向量， 当求解到上述记下的列号对应的解时，将其值赋值为 1，直到计算完毕，再归一化就能得 到实特征值对应的特征向量。5554454435342524232215141312110000000000aaaaaaaaaaaaaaa2.22.2 源程序（见附录源程序（见附录 A A）2.32.3 输出结果输出结果矩阵经过拟上三角化后所得的矩阵：A)1( nA -8.82751675883e-001 -9.9331364918
4、3e-002 -1.10334928599e+000 -7.60044358564e-001 1.54910107991e-001 -1.94659186287e+000 -8.78243638293e-002 -9.25588938718e-001 6.03259944053e-001 1.51886095647e-001-2.34787836242e+000 2.37237010494e+000 1.81929082221e+000 3.23780410155e-001 2.20579844032e-001 2.10269266255e+000 1.81613808610e-001 1.2
5、7883908999e+000 -6.38057812440e-001 -4.15407560380e-001-1.05568548241e-016 1.72827459997e+000 -1.17146764279e+000 -1.24383926270e+000 -6.39975834174e-001 -2.00283307904e+000 2.92494720612e-001 -6.41283006839e-001 9.78399762128e-002 2.55776357416e-001-5.39338381277e-017 0.00000000000e+000 -1.29166953
6、413e+000 -1.11160351340e+000 1.17134682410e+000 -1.30735603002e+000 1.80369917775e-001 -4.24638535837e-001 7.98895523930e-002 1.60881992807e-0011.53346499662e-017 0.00000000000e+000 8.29733316381e-017 1.56012629853e+000 8.12504939752e-001 4.42175683292e-001 -3.58861612814e-002 4.69174231367e-001 -2.
7、73659505009e-001 -7.35933465775e-0021.30056273723e-016 0.00000000000e+000 -9.51733763689e-017 -1.79893452016e-017 -7.70777375519e-001 -1.58305142574e+0003-3.04284317680e-001 2.52871244603e-001 -6.70992540145e-001 2.54461992908e-0011.61021672477e-016 0.00000000000e+000 1.57658260703e-017 8.8740090424
8、0e-017 -6.45235846333e-017 -7.46345345694e-001 -2.70836515702e-002 -9.48652189368e-001 1.19587108150e-001 1.92926561795e-0021.36855018620e-016 0.00000000000e+000 1.12848923378e-016 -1.05729133787e-017 2.46927074256e-017 0.00000000000e+000 -7.70180137436e-001 -4.69762399062e-001 4.98825946801e-001 1.
9、13769160378e-001-2.78085130072e-017 0.00000000000e+000 -8.54810208228e-017 -4.33818392824e-017 9.60328530894e-018 0.00000000000e+000 0.00000000000e+000 7.01316709211e-001 1.58218068848e-001 3.86259461423e-001-2.12460444005e-017 0.00000000000e+000 2.72921948474e-017 2.33520544800e-016 -1.16926600276e
10、-016 0.00000000000e+000 0.00000000000e+000 0.00000000000e+000 4.84380760278e-001 3.99277799518e-001对矩阵进行 QR 分解方法结束后所得的矩阵 Q、R 以及乘积矩阵 RQ)1( nA 矩阵矩阵 Q: -3.51926257953e-001 4.42759198224e-001 -6.95598251361e-001 6.48620075365e-002 3.70971886190e-001 1.85584714361e-001 -1.62894231963e-002 -1.18105316965e
11、-001 -5.25537538372e-002 -5.48658294357e-002-9.36027728736e-001 -1.66467918654e-001 2.61529954856e-001 -2.43867172893e-002 -1.39477436089e-001 -6.97758539124e-002 6.12447214296e-003 4.44050544314e-002 1.97590790973e-002 2.06283697053e-002-4.20869709511e-017 -8.81052055469e-001 -3.98976279696e-001 3.
12、72030872848e-002 2.12779406409e-001 1.06446355722e-001 -9.34317107976e-003 -6.77420046453e-002 -3.01434069867e-002 -3.14695508044e-002-2.15017816991e-017 2.39575977129e-017 -5.37180680644e-001 -1.23494585420e-001 -7.06315160872e-001 -3.53345636850e-001 3.10143894826e-002 2.24867649160e-001 1.0006017
13、8353e-001 1.04462274870e-0016.11345877564e-018 -6.81170463132e-018 3.85313956281e-017 9.89223546862e-001 -1.23941173121e-001 -6.20035858983e-002 5.44227283946e-003 3.94588163723e-002 1.75581335001e-002 1.83305946291e-0025.18494826859e-017 -5.77714472780e-017 -5.44927201024e-018 2.15028147418e-017 5.
14、32361069026e-001 -6.73390034490e-001 5.91058120587e-002 4.28542532387e-001 1.90690134319e-001 1.99079449530e-00146.41944458360e-017 -7.15263846627e-017 4.88146744014e-017 3.68833948323e-017 5.57266709004e-018 -6.05976150575e-001 -9.16578303282e-002 -6.64558650897e-001 -2.95711087758e-001 -3.08720746256e-0015.45599355978e-017 -6.07914733108e-017 8.28474669876e-017 -6.79371484923e-017 -1.06190192156e-016 -2.47873538515e-016 9.93339662512e-001 -9.69044031194e-002 -4.31199058447e-002 -4.50169441118e-002-1.10864087707e-017 1.23526378012e-017 -4.28478929479e-017 1.
