数形结合思想在高中数学中的应用

《数形结合思想在高中数学中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数形结合思想在高中数学中的应用（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 数学专业毕业设计数学专业毕业设计题题 目：目：数形结合思想在高中数学中的应用数形结合思想在高中数学中的应用 专专 业：业： 数学与应用数学数学与应用数学 姓姓 名：名： XXXXXX 指导教师：指导教师： XXXXXX 职职 称：称： 副副 教教 授授 答辩日期：答辩日期： X X 年年 X X 月月 X X 日日 1数形结合思想在高中数学中的应用数形结合思想在高中数学中的应用摘 要：数形结合思想是高中数学中最重要也是最基本的思想方法之一.在高中数学解题中,能够巧妙地应用数形结合的思想可达到事半功倍的效果.从数到形,利用形的直观性开拓解题思路.由形到数,揭示形中数的本质.本文将从六个方面来谈

2、论数形结合思想在高中数学中的应用.关键词：数形结合思想；中学数学教学；应用Application of the Figure and Shape Combinationin high school MathematicsAbstract:The idea of combination of numeral and figure is one of the most important and basic way of thinking in high school. It will attain the result with half effort to aplicate the Figur

3、e and Shape Combination ingeniously in Solving Maths problem of Senior Middle School.Transform the number into shape, we can use the visual ability of shape to develop thought From shape to number, it indicates the nature of number. Therefore we will talk about application of the figure and shape co

4、mbination in high school mathematics.Key words:The idea of combination of numeral and figure; high school Mathematics; Application2引言1数形结合思想早在数学萌芽时期就已经有了,华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔裂分家万事非”.将数的语言转化为形的语言,使数量关系和空间形式巧妙地结合起来,一方面使得复杂的问题变得简单,另一方面使得抽象的问题变得更具体.数形结合既是一个重要的数学思想，也是一种常用的数学方法,要根据问题的条件和结论之

5、间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，并充分利用这种数形结合,寻找解题思路,使问题得以解决.本文主要探讨数形结合思想在高中数学解题中的应用. 一、数形结合思想在集合中的应用图示法是集合中普遍运用的一种方法,运用数形结合的思想解题.往往能够化抽象为具体,化复杂为简单,将集合的交、并、补的关系直观、形象的显示,从而灵活、简捷、准确的获解.数形结合在集合解题中的应用例例 1 1 若为全集,、,且,则（ ）.UABUABBA、 B、 C、 D、BCACUUUAC BUUC AC BUAC B解解 数形结合,画出、的关系图如下：UAB图 1 图 2 则由图 1 知：.故选,用图的形式表示更直

6、观.UUC AC BA例例 2 2 对高一某班的调查显示,爱好篮球的有 23 人,爱好足球的有 28人,两种运动都喜欢的有 8 人,都不喜欢的有 6 人,问：该班共有学生多少人?解解 令爱好篮球的人组成集合,爱好足球的人组成集合,全班同学组成的集合AB为,两者都不喜欢的人数组成的集合为.则如图 2 所示: .UC()UABC又因为=23+28-8=43,故: =43+6=49,该班有学生 49 人.()ABABABU3数形结合思想在集合中的应用首先将抽象的数字语言转化为符号语言,进而转化成图像语言,得出结果后,再由图形语言转化成数字语言.二、数形结合思想在不等式中的应用解不等式或不等式组一般通

7、过“等价简化”变为有理不等式,再加以解决.处理不等式时,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形找到解题思路.但有些不等式（如无理不等式）,用常规方法解显得极其复杂,且极易出错,这时不妨利用数形结合法来解决,即根据要解不等式两端代数表达式的特征,构造两个函数,画出其图像,利用图像的位置特征解不等式.1、解不等式例例 1 (2003 年全国高考题)设函数,若，则的取值1 2210 ( )0xx f x xx 0()f x 0x范围是（ ）.A 、 B、 ( 1,1)( 1,) C、 D、 (, 2)(0,) (, 1)(1,) 解解 的图像如图 3 所示,即直线的上部,而

8、与( )f x0()1f x1y 1y 和的图像的交点分别是故满足的的取值( )21xf x1 2( )f xx( 1,1),(1,1)0()1f x0x范围为. (, 1)(1,) y y21xy1 1 2yx-1 o 1 x o 2 4 x 图 3 图 4例例 2 (2003 年全国高考题) 不等式的解集是 24xxx解解 在同一坐标系中作出和的图像，由图 4 知：.24yxxyx24x4例例 3 (2000 年全国高考题) 设函数，其中,解不等式2( )1f xxax 0a .( )1f x 分析分析 即为解不等式,令 ,如图 5：21 1xax 21 1yx yaxCyBO xA(0,

9、-1) 图 5其中的图像为双曲线，的上支,为它的一条渐近21 1yx 22(1)1yxAB线,，的图像为过原点的直线，为直线的斜率.1ABkyaxa当时,原不等式的解集为；1a 0,)当时,解，得，,此时不等式的解集为01a22(1)1axx10x 222 1axa220,1a a以上几个例子相同点都是将问题的已知条件化解成左右两边都是能够做出的函数图像形式,画出函数图象,观察图像得出的范围.所不同的是,直角坐标系下画出的x函数图像.2、借助数轴解不等式组3,4例例 4 解不等式组246 2435xxx xx由不等式（1）解得或.由不等式（2）解得.3x 2x 1x 在数轴上表示如图 6 所示

10、5-1 2 3 图 6所以不等式组的解集为：.( 1,2)(3,)3、含参数的不等式例例 当时,关于的不等式恒成立,求实数的取11x x22(1)340xaxa a值范围.分析分析 对于此题,一般解法即求函数在上的最小2( )2(1)34f xxaxa ( 1,1)值,求得的最小值是含的代数式，即使得该式大于 0,求的范围.此解法需讨论对称aa轴与区间的关系,解起来较麻烦,运用数形结合的思想,可将原式变形为：( 1,1)，在时恒成立.2232 (2)xxa x11x 作在的图像与过定点的直线如图 7,当直线过223yxx( 1,1)( 2,0)2 (2)ya x时,，直线绕点顺时针旋转时也满足

11、条件,所以.( 1,2)1 3a ( 2,0)1 3a 对于含不等式和集合的综合题型,仍可应用数形结合的方法求解.y223yxx2 (2)ya xO x图 7三、数形结合思想在复数中的应用实数可以用数轴上的点来表示,类比实数的性质,可以找到表示复数的几何模型.1、复平面的概念数与形的结合5（1）在直角坐标系下, 轴叫做实轴, 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数（除xy6原点）.虚轴上的点都表示虚数,对任意的复数,在复平面上对应点,Zabi( , )a b（如图 8）.y y Zb Z1 Z2 Zabi( , )Z a bO xO a x 图 8 图 9（2）复数的加减运算的几何意义：分析分析 任

12、意复数对应一个向量,复数的加减运算可转化成向量的加减运算. 2、常见的用数形结合法解决复数综合题型例例 1 已知: ,则取最小值时的复数=.| 2ZiZi |1|Zi Z分析分析 满足条件的复数在复平面上对应的点到复数分别对应的点、ZP, i iA的距离的和为 2,又,所以点在线段上.如图 10，要求的最小B| 1AB PAB|1|Zi 值，即求：到的距离最短的点的坐标,显然到（-1,-1）的距离最短,故：1 i PAC.Zi yB 10 P xC -1 A图 10从几何角度考虑问题,用数形结合的思想前提须是复数表示的关系的几何意义较为明显才行.例例 2 已知复数在复平面内所对应的点位于第三象

13、限,求实22(2 )(3)Zmmmi7数允许的取值范围.m分析分析 复数可对应到复平面上,实部：,虚部：.复数的点所在的象22mm23m 限问题（几何问题）,复数的实部和虚部所满足的不等式的问题（代数问题）相转化.3、模与距离的关系（1）表示 Z 所对应的点的轨迹是以 Z0所对应点为圆心,以 a 为半径0|ZZa的圆；（2）表示所对应点到所对应点间的距离.0|ZZZ0Z例例 （2001 年全国高考题）已知复数满足,求的最值.Z| 2Z |Zi解解 由知,复数所对应复平面上点轨迹是以原点为圆心,以 2 为半径的圆,| 2Z Z而是求所对应点到点间的距离.如图：|ZiZ(0,1)P显然有: ，1minPAiZ。