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1、02010201微积分（上）微积分（上）20112011 年年 6 6 月期末考试指导月期末考试指导一、考试说明考试题型包括： 选择题（10 道题，每题 2 分）。 填空题（5 道题， 每题 2 分）。 计算题（一般 6-7 道题，平均每题 8 分）。 证明题（一般 2 道题，平均每题 10 分）。 考试时间：90 分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1考试内容 集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数， 复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初
2、 等函数。 2考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 1考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与 无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两 个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。 2考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(
3、含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在 的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高 阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合 函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、 最小值定理，零点定理)。 2考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 (2)掌握连续函数的四则运算
4、法则。 (3)了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。 (4)了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。 第二章、一元函数微分学第二章、一元函数微分学 (一)导数与微分 1考试内容 导数与微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义，函数的可导性、可微性与连 续性的关系，导数与微分的四则运算，导数与微分的基本公式，复合函数的求导法，隐函 数的求导法，高阶导数。 2考试要求 (1)理解导数的概念及其几何意义。了解左导数与右导数的概念。 (2)了解函数可导性、可微性与连续性的关系。 (3)会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程。 (4)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函
5、数的求导方法。 (5)会求隐函数的一阶导数。 (6)了解高阶导数的概念。会求函数的二阶导数。 (7)了解微分的概念。会求函数的微分。 (二)微分中值定理及导数的应用 1考试内容 微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理)，洛必达法则，函数单调性的判别，函 数的极值，函数的最大、最小值，函数图形的凹凸性与拐点。 2考试要求 (1)了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。 (2)熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 (3)掌握利用导数判断函数单调性的方法。 (4)理解函数极值的概念。掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的 应用问题。 (5)会判断平面曲线的凹凸性。会求平面曲线的拐点。 第
6、三章、一元函数积分学第三章、一元函数积分学 (一)不定积分 1考试内容 原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分的基本公式，不定积分的 换元积分法与分部积分法。 2考试要求 (1)理解原函数与不定积分的概念。掌握不定积分的基本性质。 (2)熟练掌握不定积分的基本公式。 (3)熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握不定积分的第二类换元法(仅限于三角代 换与简单的根式代换)。 (4)熟练掌握不定积分的分部积分法。 (二)定积分 1考试内容 定积分的概念与基本性质，定积分的几何意义，变上限积分定义的函数及其导数，牛 顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用(平面图形的面积
7、、旋转 体的体积)。2考试要求 (1)理解定积分的概念。了解定积分的几何意义。掌握定积分的基本性质。 (2)理解变上限积分作为其上限的函数的含义，会求这类函数的导数。 (3)掌握牛顿-莱布尼茨公式。 (4)熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。 (5)会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。 (三)广义积分 1考试内容 广义积分的概念与基本性质，广义积分的计算，广义积分的应用。 2考试要求 (1)理解广义积分的概念。 (2)了解广义积分的实际背景和意义。 (3)掌握广义积分的基本性质。 (4)熟练掌握广义积分的计算。三、练习题一、单选题一、单选题1. 极限（ ）lim 1bx dxa xA
8、、B、C、D、ebeabeab de2. 设，则函数在处（ ） 0lim xxf xA f x0xA、 无定义B、有定义C、有定义且 D、可有定义， 0f xA也可无定义3. 在的导数为（ ） 2f xx2x A、 1B、0C、D、不存在14. 设，则为（ ） 2ln 12,00,0xxf xx x 0fA、0B、 1C、2D、 不存在5. 设函数，则在（ ） 21,0,02- , 1xxf xxxxx 12 f xA、处都间断 B、处都连续0,1xx0,1xxC、处间断，处连续 D、处连续，处间断0x 1x 0x 1x 6. 设，则在处（ ） 1,0 1 0,0xxx f xe x f x0
9、x A、左导数不存在B、右导数不存在C、D、不可导 00f7. 当时，下列变量中不是无穷小量的是（ ）1x A、B、 C、D、21x 21x x2321xx2421xx8. 下列关系正确的是（ ）A、B、 df x dxf x fx dxf xC、D、 df x dxf xdx df x dxf xCdx9. =（ ）2 30sincossincosxxdxxxA、 0B、C、D、 33 23 210、函数的定义域是（ ）2116lnxyxxA、B、0,1 0,11,4UC、D、0,4 0,11,4U11. 设函数在可导，且，则=（ ） f x2x 4)2( fhfhfx)2()32(lim
10、2A、B、12C、-12D、43412. 在内零点的个数是（）个1ln)(2xxxf), 0( A、0B、1C、2D、313. 设为连续函数，则=（ ） f x /xaf t dtA、B、C、D、 f x f tf a f t f xf a二、填空题二、填空题1.设，则2123f xxx _.f x 2. 曲线的拐点坐标是_.3yx3. 333003011 lim_. sinxxxttdttdt 4. 10lim 12_.x xx 5. 设，则1ln1xxeye_.y 6. 在上的最大值为_.3272yxx1,27. _.1dxx8. 设在点有：，则是的_值. f x0x 000,0fxfx
11、0f x f x9、2_.1lndxxx10、设是由方程确定的隐函数，则 yy x22arctanlnyxyx_.y 11、 20 30sin lim_.xxtdtx三、计算题三、计算题1. 求 222111lim. 12nnnnn2. 设由方程确定的隐函数，求 yy x22010yyxt dt.dy3. 计算2cos.xxdx4. 讨论函数在处的可导性. ln 1,101101xxf x xxx 0x 5. 求由曲线及直线所围图形面积.1xy ,2yx y6. 求定积分13201.xx dx7、求函数的极值，并说明是极大值还是极小值. 201 1xtf xdtt8、设，求2sinyfx.dy
12、9、求30sinsin.xxdx四、证明题四、证明题1. 证明：在内有唯一实根.304101xdtxt 0,12、 证明：当时，0x 211.2cosxx 3、证明： 00sinsin.2xfx dxfx dx四、习题解答提示一、单选题一、单选题CDDCC DDCA D BC A 二、填空题二、填空题1. 22x 2. 0,03. 1 34. 2e5. 21xxe e6. 247. 2ln 1xxC8. 极大9、arctanln xC10、xyyxy11、1 3三、计算题三、计算题1. 提示：1.2. 提示：方程两边关于求导，得，22010yyxt dtx22210y xxyy y222. 1
13、xyy yx 3. 提示：2212cos111cossin2cos2.2448xxxdxxdxxxxxC4. 提示： 01.f5、提示：2113ln2.2Sydyy6、提示：132021.15xx dx7、提示：为极大值. 22221211101,0, 10,1ln224211xxxfxxfxffxx 8、提示：利用微分定义得22 sincos2.dyfxxxdx9、提示：先提取因式再化简求解：32 00024sinsinsincossincossincos.3xxdxxx dxxxdxxxdx四、证明题四、证明题1.提示： 令， 30411xdtxxt （1），由连续函数零点定理知存在 130010,133 1201dt t 使10,1 10. （2）用反证法. 若在内还有实根，不妨设，则由 Rolle 定理知存在内点0,1212使得，但不在内，矛盾. 所以原方程12, 0 33 3433041xxxx 0,1在内有唯一实根.0,12、提示：利用函数导数与增减性关系求解：令（当时） ，所以单增. 而，所 21cos1, sin02xxxxxx 0x x 00以当时，即0x 0x211.2cosxx 3、提示：只要做变量代换便可计算出xt 00sinsin.2xfx dxfx dx说明：本考试指导只适用于说明：本考试指导只适用于 201103
