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1、定积分典型例题例 1 求333223 21lim(2) nnnnnL分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较0, 1n来找出被积函数与积分上下限 解 将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子0, 1n1ixn211 1 nn n乘入和式中各项于是将所求极限转化为求定积分即1 n=333223 21lim(2) nnnnnL333112lim() nn nnnnL1303 4xdx 例 2 =_2202xx dx解法 1 由定积分的几何意义知，等于上半圆周 ()2202xx dx22(1
2、)1xy0y 与轴所围成的图形的面积故= =x2202xx dx2解法 2 本题也可直接用换元法求解令=（） ，则1x sint22t =2202xx dx2221sincosttdt22 021sincosttdt 22 02cos tdt 2例 3 比较，12xe dx212xe dx12(1) x dx分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小解法 1 在上，有而令，则当时，1,22xxee( )(1)xf xex( )1xfxe0x ，在上单调递增，从而，可知在上，( )0fx( )
3、f x(0,)( )(0)f xf1,2有又1xex ，从而有1221( )( )f x dxf x dx 2111222(1)xxx dxe dxe dx解法 2 在上，有由泰勒中值定理得注意到1,22xxee212!xeexx 1xex 因此1221( )( )f x dxf x dx 2111222(1)xxx dxe dxe dx例 4 估计定积分的值202xxedx分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值解 设 , 因为 , 令，求得驻点, 而 2( )xxf xe2( )(21)xxfxex( )0fx1 2x , , ,0(0)1fe2(2)fe
4、1 41( )2fe故 ,1 24( ),0,2ef xex从而,21224 022xxeedxe所以 .21024 222xxeedxe 例 5 设，在上连续，且，求( )f x( )g x , a b( )0g x ( )0f x lim( )( )bn ang xf x dx 解 由于在上连续，则在上有最大值和最小值由( )f x , a b( )f x , a bMm知，又，则( )0f x 0M 0m ( )0g x ( )bnamg x dx( )( )bn ag xf x dx( )bnaMg x dx由于，故limlim1nnnnmM =lim( )( )bn ang xf x
5、 dx ( )bag x dx例 6 求, 为自然数sinlimnpnnxdx x, p n分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则 解法 1 利用积分中值定理设 , 显然在上连续, 由积分中值定理得sin( )xf xx( )f x ,n np, ,sinsinnpnxx ,n np当时, , 而, 故n sin1sinsinlimlim0npnnxx 解法 2 利用积分不等式因为 ,sinsin1lnnpnpnpnnnxxnpdxdxdxxxxn而,所以 limln0 nnp nsinlim0npnnxdx x例 7 求10lim
6、1nnxdxx解法 1 由积分中值定理 可知( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx=，101nxdxx101 1nx dx01又且，101limlim01nnnx dxn11121故10lim01nnxdxx解法 2 因为，故有01x01n nxxx 于是可得110001n nxdxx dxx又由于1010()1nx dxnn 因此=10lim1nnxdxx0例 8 设函数在上连续，在内可导，且证明在( )f x0,1(0,1)3 414( )(0)f x dxf内存在一点，使(0,1)c( )0fc分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件即可( )
7、(0)ff证明 由题设在上连续，由积分中值定理，可得( )f x0,1，3 413(0)4( )4 ( )(1)( )4ff x dxff其中于是由罗尔定理，存在，使得证毕3 ,10,14(0, )(0,1)c( )0fc例 9 （1）若，则=_；（2）若，求22( )xtxf xedt( )fx 0( )( )xf xxf t dt=_( )fx分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )v xu xdf t dtf v x v xf u x u xdx解 （1）=；( )fx422xxxee（2） 由于在被积函数中不是积分变量，故可提
8、到积分号外即，则x 0( )( )xf xxf t dt可得 =( )fx 0( )( )xf t dtxf x例 10 设连续，且，则=_( )f x310( )xf t dtx(26)f解 对等式两边关于求导得310( )xf t dtxx，32(1) 31f xx故，令得，所以3 21(1)3f xx3126x 3x 1(26)27f例 11 函数的单调递减开区间为_ 11( )(3)(0)xF xdt xt解 ，令得，解之得，即为所求1( )3F xx( )0F x13x109x1(0, )9例 12 求的极值点 0( )(1)arctanxf xttdt解 由题意先求驻点于是=令=，
9、得，列( )fx(1)arctanxx( )fx01x 0x 表如下：故为的极大值点，1x ( )f x为极小值点0x 例 13 已知两曲线与在点处的切线相同，其中( )yf x( )yg x(0,0)，2arcsin0( )xtg xedt 1,1x 试求该切线的方程并求极限3lim( ) nnfn分析 两曲线与在点处的切线相同，隐含条件，( )yf x( )yg x(0,0)(0)(0)fg(0)(0)fg解 由已知条件得，200(0)(0)0tfgedt且由两曲线在处切线斜率相同知(0,0)x(,0)0(0,1)1(1,) ( )fx-002(arcsin )20(0)(0)1 1xxe
10、fg x 故所求切线方程为而yx3( )(0)3lim( )lim33(0)330nnffnnffn n 例 14 求 ； 2 20 00sin lim (sin )xxxtdtt tt dt 分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则0 0解 =2 20 00sin lim (sin )xxxtdtt tt dt 2202 (sin)lim( 1)(sin )xxx xxx220()( 2) limsinxx xx304( 2) lim1cosxx x=2012( 2) limsinxx x0注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则例 15 试求正数与，使等式成立ab20201lim1s
11、inxxtdtxbxat分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则0 0解 =20201limsinxxtdtxbxat220lim1cosxxax bx 22001limlim1cosxxx bxax，201lim11cosxx bxa由此可知必有，得又由 0lim(1cos )0 xbx 1b ，2012lim11cosxx xaa得即，为所求4a 4a 1b 例 16 设，则当时，是的（ ） sin20( )sinxf xt dt34( )g xxx0x ( )f x( )g xA等价无穷小 B同阶但非等价的无穷小 C高阶无穷小 D低阶无穷小解法 1 由于 22300( )sin(s
12、in) coslimlim( )34xxf xxx g xxx2200cossin(sin)limlim34xxxx xx22011lim33xx x故是同阶但非等价的无穷小选 B( )f x( )g x解法 2 将展成 的幂级数，再逐项积分，得到2sintt，sin223370111( )( )sinsin3!342xf xttdtxxLL则344340001111sin(sin)sin( )1342342limlimlim( )13xxxxxxf x g xxxx LL例 17 证明：若函数在区间上连续且单调增加，则有( )f x , a b( )baxf x dx( )2baabf x
13、dx证法 1 令=，当时，则( )F x( )( )2xxaaaxtf t dtf t dt , ta x( )( )f tf x=( )F x1( )( )( )22xaaxxf xf t dtf x1( )( )22xaxaf xf t dt=1( )( )22xaxaf xf x dt( )( )22xaxaf xf x0故单调增加即 ，又，所以，其中( )F x( )( )F xF a( )0F a ( )0F x , xa b从而=证毕( )F b( )( )2bbaaabxf x dxf x dx0证法 2 由于单调增加，有，从而( )f x() ( )()22ababxf xf0() ( )()22baababxf xfdx0即 =() ( )2baabxf x dx() ()22baababxfdx()()22baababfxdx0故 ( )baxf x dx( )2baabf x dx例 18 计算21|x dx 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分解 21|x dx 0210() x dxxdx 22 02 1022xx5 2 注 在使用牛顿莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件如，则是错误的错误的原因则是由
