大一高数笔记

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1、导数与极限导数与极限 （一）极限（一）极限 1. 概念概念 （1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（定义）Axf ax )(lim0，0，当|0ax时，有|)(|Axf。 （2）单侧极限左极限： )0(afAxf ax )(lim0，0，当xa0时，有|)(|Axf。右极限： )0(afAxf ax )(lim0，0，当ax0时，有|)(|Axf。（3）自变量趋向于无穷大的函数极限定义 1：0, 0X，当Xx ，成立 Axf，则称常数A为函数 xf在x趋于无穷时的极限，记为 Axf x lim。 Ay 为曲线 xfy 的水平渐近线。定义 2：00X，当Xx 时，成立 Axf，则有 Axf x

2、lim。定义 3：00X，当Xx时，成立 Axf，则有 Axf x lim。 运算法则：1)1) 若 Axflim， xglim，则 xgxflim。2)2) 若 但可为, 0limAxf， xglim，则 xgxflim。3)3) 若 xflim，则 01limxf。 注：上述记号lim是指同一变化过程。 （4）无穷小的定义0，0，当|0ax时，有 | )(|xf，则称函数)(xf在ax 时的无穷小（量） ，即 0)(lim xf ax。 （5）无穷大的定义0M，0，当|0ax时，有Mxf | )(|，则称函数)(xf在ax 时的无穷大（量），记为 )(limxf ax。直线ax 为曲线 x

3、fy 的垂直渐近线。2无穷小的性质无穷小的性质 定理 1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。 定理 2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小。 无穷小与无穷大的关系若 )(limxf ax，且)(xf不取零值，则)(1 xf是ax 时的无穷小。 3极限存在的判别法极限存在的判别法（1）Axf ax )(limAafaf)0()0(。Axf x )(limAxfxf xx )(lim)(lim。（2）Axf ax )(lim Axf)(，其中是ax 时的无穷小。（3）夹逼准则：设在点a的某个去心邻域),(aN内有 )()()

4、(xhxfxg，且已知Axg ax )(lim和 Axh ax )(lim，则必有 Axf ax )(lim。 4极限的性质极限的性质（1）极限的唯一性 若Axf ax )(lim且Bxf ax )(lim，则BA 。（2）局部有界性 若Axf ax )(lim，则0M，在点a的某个去心邻域),(aN内有Mxf | )(|。 （3）局部保号性（I）若Axf ax )(lim，且0A（或0A） ，则必存在a的某个去心邻域),(aN，当),(aNx时，有0)(xf（或0)(xf） 。（II）若在点a的某个去心邻域),(aN内有0)(xf（或0)(xf） ，且Axf ax )(lim，则0A（或 0

5、A） 。5极限的四则运算与复合运算极限的四则运算与复合运算设c是常数，BxgAxf axax )(lim)(lim则（1）；BAxgxf ax )()(lim（2）；BAxgxf ax )()(lim（3）；Acxfc ax )(lim（4）；，0)()(lim BBA xgxfax（5），有，且，若00)()0(),()(lim)(lim0uxgaUxAufuxg uuax则Aufxgf uuax )(lim)(lim0.6两个重要极限两个重要极限（1）1sinlim 0 xxx； （2）exxx 10)1 (lim或 exxx )11 (lim 。7无穷小的阶的比较无穷小的阶的比较若和都是

6、在同一自变量变化中的无穷小量，且0，则（1）若0lim，则称关于是高阶无穷小量，记作)(o；（2）若1lim，则称和是等价无穷小量，记作；（3）若)0(limcc，则称和是同阶无穷小量，记作)(O；一般情况下，若存在常数0A，0B，使成立 BA|，就称和是同阶无穷小量。（4）若以x作为0x时的基本无穷小量，则当)(kxO（k为某一正数）时，称是k阶无穷 小量。定理 1 )(o。定理 2 设，且 lim 存在，则 limlim 。 常用的等价无穷小0x时，1)1ln(arctanarcsintansinxexxxxxx，2 21cos1xx 。 （二）函数的连续性（二）函数的连续性 1定义定义若

7、函数)(xfy 在点a的某个邻域内有定义，则)(xf在点a处连续 )()(limafxf ax 0lim 0 y x。 2连续函数的运算连续函数的运算连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数； 连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数； 一切初等函数在定义区间内都是连续函数。 3间断点间断点 （1）间断点的概念不连续的点即为间断点。（2）间断点的条件若点0x满足下述三个条件之一，则0x为间断点：（a）)(xf在0x没有定义；（b）)(lim0xf xx不存在；（c）)(xf在0x有定义，)(lim0xf xx也存在，但)()(lim0 0xfxf xx 。 （3）间断点的分类：（i）第

8、一类间断点：在间断点0x处左右极限存在。它又可分为下述两类：可去间断点：在间断点0x处左右极限存在且相等；跳跃间断点：在间断点0x处左右极限存在但不相等；（ii）第二类间断点：在间断点0x处的左右极限至少有一个不存在。 4闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 （1）概念若函数)(xf在区间),(ba上每一点都连续，在a点右连续，在b点左连续，则称)(xf在区间 ,ba上连续。 （2）几个定理最值定理：如果函数)(xf在闭区间,ba上连续，则)(xf在此区间上必有最大和最小值。有界性定理：如果函数)(xf在闭区间,ba上连续，则)(xf在此区间上必有界。介值定理：如果函数)(xf在闭区间

9、,ba上连续，则对介于)(af和)(bf之间的任一值c，必有,bax ，使得cxf )(。零点定理：设函数)(xf在闭区间,ba上连续，若0)()(bfaf，则必有),(bax ，使得0)( xf。（三）导数（三）导数 1导数的概念导数的概念（1）定义 设函数)(xfy 在点a的某个邻域内有定义，当自变量在点a处取得改变量)0(x时，函数)(xf取得相应的改变量 )()(afxafy，若极限xafxaf xyxx)()(limlim 00存在，则称此极限值为函数)(xfy 在点a处的导数（或微商） ，记作axaxaxxxf xyyafd)(d dd)(或， 。 导数定义的等价形式有axafxf

10、af ax )()(lim)( 。 （2）左、右导数左导数 axafxfaf ax )()(lim)(右导数 axafxfaf ax )()(lim)()(af 存在 )()(afaf。2导数的几何意义导数的几何意义函数)(xfy 在点a处的导数)(af 在几何上表示曲线)(xfy 在点)(,(afaM处的切线的斜率，即)(afk，从而曲线)(xfy 在点)(,(afaM处的切线方程为 )()(axafafy法线方程为 )()(1)(axafafy3函数的可导性与连续性之间的关系函数的可导性与连续性之间的关系函数)(xfy 在点a处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在

11、该点可 导的必要条件，但不是充分条件。因此，若函数)(xf点a处不连续，则)(xf点a处必不可导。 4求导法则与求导公式求导法则与求导公式 （1）四则运算 若wvu、均为可导函数，则 vuvu )(， vuvuuv )(， wuvwvuvwuuvw )(， uccu )(（其中0c为常数） ，2)(vvuvu vu ， 2)1(vv v （0v） 。（2）复合函数求导设)(ufy ，)(xgu ，且)(uf和)(xg都可导，则复合函数)(xgfy 的导数为xu uy xy dd dd dd 。 （3）反函数的导数若)(yx是)(xfy 的反函数，则 )(1)(yxf 。 （4）隐函数的导数由一

12、个方程0),(yxF所确定的隐函数)(xfy 的求导法，就是先将方程两边分别对x求导，再求出xy dd即可。 （5）对数求导法 先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。 对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。 （6）参数方程的导数若参数方程 )()( tytx 确定了一个函数 )(xfy ，且、均可导，则有)()( dd tt xy 。 （7）基本初等函数的导数公式0)(c1)(xxxxcos)(sinxxsin)(cosxx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secxxxcotcsc)(cscaaaxxln)(（0a，1a） xxee )(axxaln1)(log

13、（0a，1a） xx1)(ln211)(arcsin xx 211)(arccos xx 211)(arctanxx211)arccot(xx5高阶导数高阶导数 （1）高阶导数的概念：函数)(xf的一阶导数)( xf的导数称为)(xf的二阶导数，)(xf的二阶导数的导数称为)(xf的三阶导数， ，)(xf的1n阶导数的导数称为)(xf的n阶导数，分别记为)()4(,nyyyyyLL ，或nnxyxyxyxydd,dd,dd,dd443322 LL 。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。 （2）常用的n阶导数公式!)()(nxnn， xnxee)()(，)2sin()(sin)(nxxn ， )2cos()(cos)(nxxn ，nn n xnx)1 ()!1() 1()1ln(1 )( 。 （3）莱布尼茨公式设)(xu和)(xv都是n次可微函数，则有 )()(0)()(kknnknvuknuv 。复习指导复习指导重点：重点：求函数的极限、连续、导数。 难点：难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。 1求极限的方法：（1）利用定义（语言）证明。 （2）利用极限的四则运算法则和复合函数求极限的方法求初等函数的极限。（3）初等函数)(xf在定义区间上求极限：)()(lim0 0xfxf xx 。例：3103020 132lim2