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1、专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印1第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题 1下面函数与为同一函数的是（ yx ） 2. A yx2.B yxln.xC ye.lnxD ye解：，且定义域lnlnxyexexQ， 选 D, 2已知是的反函数，则的反函f2fx数是（ ） 1.2A yx .2B yx1.22C yx.22D yx解:令反解出：2,yfxx互换，位置得反函数 1,2xyxy，选 A 1 2yx3设在有定义，则下列函 f x, 数为奇函数的是（ ） . A yf xfx .B yx f xfx 32.C yx f x .D yfxf x解：的定义
2、域且 32yx f xQ, 3232yxxf xx f xy x 选 C4下列函数在内无界的是（ , ）21.1A yx.arctanB yx.sincosC yxx.sinD yxx解: 排除法：A 有界，B21 122xxxx有界，C arctan2xsincos2xx故选 D5数列有界是存在的（ ） nxlimnnx A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件解：收敛时，数列有界（即Q nxnxnx） ，反之不成立， （如有界，M 11n但不收敛，选 A6当时，与为等价无穷n 21sinn1kn 小，则= （ ）kA B 1 C 2 D -21 2解：， 选Q2 211s
3、in limlim111nnkknnnn2k C 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印27设，则的定义域 1 1f xx ff x为 解： ff x 11 1111f x x11 2xx x 定义域为 ff x(, 2)( 2, 1)( 1,) 8设2(2)1,f xx则 (1)f x解：（1）令 22,45xt f ttt 245f xxx（2）221(1)4(1) 5610f xxxxx 9函数的反函数是 44loglog 2yx解：（1），反解出：4log (2)yxx214yx（2）互换位置，得反函数, x y214xy10
4、 lim12 nnnn 解：原式 33lim 212nnnn 有理化11若105lim 1,knnen 则 k 解：左式= 故5lim()510nknkneee 2k 12= 2352limsin53nn nn 解：当时， 原Qn2sinn2 n式= 2532lim53nn nn6 5三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13求函数的定义域21arcsin7 1xy x 解： 2111347111 0xx xxx Q或函数的定义域为3, 1)1,414设 求sin1 cos2xfx f x解： 22sin2cos2 1 sin222xxxfQ专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材
5、严禁翻印3 22 1f故 22 1f xx15设，的反函数 f xln x g x，求 121 1xgxx f g x解: （1） 求 反22( ):1xg xyxQ解出：x22xyyx2 2xy y 互换位置得, x y( )2 2g xx x (2) lnln2 2fg xg xx x 16判别的奇偶性。 f x2ln1xx解法（1）：的定义域，关 f x, 于原点对称 2ln1xxxf Q2ln1 1xx 122ln1ln()1xxxx f x 为奇函数 2ln(1)f xxx解法（2）： f xfxQ 22ln(1)ln1xxxx 22ln (1)1ln10xxxx故为奇函数 fxf
6、x f x17已知为偶函数，为奇函数， f x g x且，求及 1 1f xg xx f x g x解： 已知 ( )( )f xg x 1 1x 即有1()()1fxgxx Q1( )( )1f xg xx 2得 2 11211f xxx故 21( )1f xx得 2 11211g xxx故2( )1xg xx18设，求的值。32lim8nnna naa解： 3 323limlim 1n nnnnaa nanaQlim,nna an aee8ae故ln83ln2a 19求111lim1 22 31nnn n解：（1）拆项，11 (1)(1)kk k kkk 111,2,1knkk专业精神 诚
7、信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印4111 1 22 31n n1111112231nn11 1n （2）原式=lim11111limnnn n neen 20设 0,1 ,xf xaaa求 21limln12 nfff nn解： 原式=12 2ln1limn naaan2ln2lnln1limnaanan2ln12limnan n2(1)ln2limnnnanln0,11 2a aa四、综合题（每小题 10 分，共 20 分）21设=，求= f x 21xx 3fx并讨论的奇偶性与有 fff x 3fx界性。解：（1）求 3fx 22221112f xxxf xfx xfxx Q
8、2 3222 211 3fxxfxffx fxx（2）讨论的奇偶性 3fx 3321 3xfxfx x Q为奇函数 3fx（3）讨论的有界性 3fx 321 331 3xxfxxx Q有界 3fx22从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇 形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏 斗（如图） ，试将漏斗的容积 V 表示成中心 角的函数。解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为，h底半径为，依题意：漏斗容积 V=r21 3r h22,2hRrrRQ22 22 2244RRrhR故2224 324RVR 3 2 3424R （2）函数的定义域专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印5222
9、240,2 Q0 故3 2 24024RV 五、证明题（每小题 9 分，共 18 分）23设为定义在的任意函数， f x, 证明可表示为一个偶函数与一个奇函 f x数之和。证：(1) 2f xfxf x 2f xfx(2)令 2f xfxg xx 2fxf xgxg xQ为偶函数 g x(3)令 2f xfxxx 2fxf xxx Q为奇函数 x（4）综上所述：偶函数+ f x g x奇函数 x24 设满足函数方程 2+ f x f x1fx=，证明为奇函数。1 x f x证：（1） 1121f xfxxQ令 函数与自变量 11,2tff ttxt Q的记号无关 122ff xxx （2）消去
10、，求出1fx f x 2221 :4f xf xxx 22223,3xxf xf xxx（3）的定义域 f xQ ,00,又 22 3xfxf xx Q为奇函数 f x选做题1 已知，222(1)(21)126n nnn求22233312lim12nn nnnn解: 222312n nn Q2222233311211nnnnnn且222312lim nn nn 专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印6 31 (21)1lim36nn nnnn222312lim1nn n 3(1)(21)1lim6(1)3nn nn n由夹逼定理知，原式 1 32 若对于任意的，函数满足：, x y，证明为奇 f xyf xfy fy函数。解 (1)求：令 0f 0,0,02000xyfff(2)令 :0xy ffyf yfyf y为奇函数 fy第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1 下列极限正确的（ ）A B 不存sinlim1 xx xsinlimsinxxx xx
