《北大电磁学讲义之2.4 磁高斯定理 磁矢势》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北大电磁学讲义之2.4 磁高斯定理 磁矢势（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、磁场的“高斯定理” 磁矢势磁场的“高斯定理” 磁矢势?磁通量磁通量 任意磁场任意磁场磁通量定义为磁通量定义为?任意磁场任意磁场，磁通量定义为磁通量定义为=SdB=SBSdB?磁感应线的特点磁感应线的特点：?磁感应线的特点磁感应线的特点：?环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远0= SBSdB磁高斯定理磁高斯定理 无源场无源场2005.3北京大学物理学院王稼军编S磁高斯定理磁高斯定理?通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等 于零于零于零于零?证明：证明：?单个电流元单个电流元Idl的磁感应线：以的磁感应线：以dl方向为轴
2、线的一 系列同心圆，圆周上方向为轴线的一 系列同心圆，圆周上B 处处相等；处处相等；0sinIdl20sin 4rIdldB =2005.3北京大学物理学院王稼军编?考察任一磁感应管(正截面为)，考察任一磁感应管(正截面为)， 取任意闭合曲面取任意闭合曲面S S磁感应管磁感应管取任意闭合曲面取任意闭合曲面S S，磁感应管磁感应管 穿入S一次，穿出一次穿入S一次，穿出一次。dSdSdS=2211coscosdSIdldSIdlSdBddB20 112011sincossin=rrB211211441dSIdldSIdlSdBdd0022sincossin=dSrdSrSdBddB2222224c
3、os42=0=+=ddd0 21=+=BBBddd?结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零2005.3北京大学物理学院王稼军编推广到任意载流回路的磁场推广到任意载流回路的磁场?一个电流元一个电流元产生的磁场可看成由许多磁产生的磁场可看成由许多磁 感应管组成感应管组成感应管组成感应管组成?有的穿入又穿出，有上述结论有的穿入又穿出，有上述结论 有的没穿过有的没穿过磁通量为零磁通量为零?有的没穿过有的没穿过S，S，磁通量为零磁通量为零?任意载流回路任意载流回路由许多电流元串联而由许多电流元串联而 成，由叠加原理得成，由叠加原理得?结论结论：通过磁场中任通
4、过磁场中任一一闭合曲面闭合曲面S S的总的总?结论结论：通过磁场中任闭合曲面通过磁场中任闭合曲面S S的总的总 磁通量恒等于零。磁通量恒等于零。2005.3北京大学物理学院王稼军编磁高斯定理的微分形式磁高斯定理的微分形式?利用数学的高斯定理利用数学的高斯定理0= SBSdBS0=dVB0 B0= VdVB0= B说明恒磁场的散度为零说明恒磁场的散度为零无源场无源场?说明恒磁场的散度为零说明恒磁场的散度为零无源场无源场2005.3北京大学物理学院王稼军编磁矢势磁矢势0= SSdB无源场无源场非保守场非保守场一一般般0= B S =IldB0有旋场有旋场非保守场般非保守场般 不引入标势不引入标势j
5、B?然而磁场的主要特征然而磁场的主要特征无源无源（无散无散） LL内0有旋场有旋场jB =?然而磁场的主要特征然而磁场的主要特征：无源无源（无散无散） 磁高斯定理磁高斯定理?其其更根本更根本的意义：使我们可能引入磁矢势的意义：使我们可能引入磁矢势2005.3北京大学物理学院王稼军编?磁高斯定理表明：对任意闭合面磁高斯定理表明：对任意闭合面0= SSSSdBSdBSdB21SSS =SdBSdB21SS 磁通量仅由 的共同边界线所决定磁通量仅由 的共同边界线所决定可能找到一个矢量可能找到一个矢量A，它沿，它沿L 作线积分等于通过作线积分等于通过S的通量的通量)(addLS=SBlALS?数学上可
6、以证明，这样的矢量数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，的确存在， 对于磁感应强度对于磁感应强度B，A叫做叫做磁矢势磁矢势，A在空间 的分布也构成矢量场，简称在空间 的分布也构成矢量场，简称矢势矢势2005.3北京大学物理学院王稼军编根据矢量分析根据矢量分析根据矢量分析根据矢量分析?对任意矢量A有对任意矢量A有0)(=AAB=?矢势的特点矢势的特点其实标势也不唯其实标势也不唯 零点可选零点可选不唯一的满足不唯一的满足AAB=一，一，零点可选零点可选如如对于任意标量场对于任意标量场 的梯度的梯度 有有0?如如：对于任意标量场对于任意标量场 的梯度的梯度 ，有有0=BAAA= = = = + +
7、= =+ + )()(描述同一个磁感应强度描述同一个磁感应强度B+= AA：规范变换规范变换?类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取 通常选库仑规范通常选库仑规范 A 02005.3北京大学物理学院王稼军编?通常选库仑规范通常选库仑规范: : A=0找电流产生的磁场中找电流产生的磁场中找电流产生的磁场中找电流产生的磁场中 磁矢势的表达式磁矢势的表达式得出得出利用对称性由利用对称性由ddSBlA?两种办法两种办法普通物理普通物理得出得出利用对称性由利用对称性由=LSddSBlA的表达式的表达式由由AAAB0和的方法的方法?电流元的磁矢势电流元的磁矢势p1
8、12p112式式（2.55)2.55)的表达式的表达式由由AAAB=0和电动力学的做法电动力学的做法?电流元的磁矢势电流元的磁矢势p112p112式式（2.55)2.55)?任意闭合回路的磁矢势式（2.56)任意闭合回路的磁矢势式（2.56)?例题例题9 9?例题例题9 9 ?例题10例题10 例题例题11112005.3北京大学物理学院王稼军编?例题例题1111取闭合环路取闭合环路L电流元的磁矢势电流元的磁矢势?设磁矢势设磁矢势a与电流元平行与电流元平行 （因为对矢势变换规范可因为对矢势变换规范可（因为对矢势变换规范可因为对矢势变换规范可 以任选，选库仑规范以任选，选库仑规范A=0 的结果的
9、结果）a只有只有z分量分量以电流元为轴,取柱坐以电流元为轴,取柱坐 标标（ 、 、z ) )的结果的结果）a只有只有z分量分量标标（ 、 、z ) )dlpdddddd)(zalalalalalala=+=bdCbaLLLLLLz dcaLLLa,a,只有这一段只有这一段 积分有贡献积分有贡献dca,积分有贡献积分有贡献=ddlpdlBalaz)(？2005.3北京大学物理学院王稼军编SL？计算通过计算通过L L的通量的通量000z、：P点坐标P点坐标处的处的计算通过计算通过 的通量的通量?场点P和回路L在0场点P和回路L在00zzd处的处的的平面内的平面内?通过通过L L的磁感应通量为的磁感
10、应通量为：?通过通过L L的磁感应通量为的磁感应通量为： = =210sin 4ddlIdldB210sin 4rIdldB = 024rB2 000cos/,tan,cos/dzdzzr= =4r000cos/,a,cos/dd10 0102/10 4cos4sin4dlIdldlIdlddlIdldB= = = = 00 004440rzzB dlpdd)(zalalB=消去消去dl10)(Idlpa= =2005.3北京大学物理学院王稼军编pLS)(z消去消去dl04)(rpa= =z同向同向1ladp 与)(10)(Idpla= =同向同向1p 与)(04)(rpa?上式为电流元所产生
11、的磁场中矢势的上式为电流元所产生的磁场中矢势的上式为电流元所产生的磁场中矢势的上式为电流元所产生的磁场中矢势的 一个表达式一个表达式 矢势表达式不唯一矢势表达式不唯一 任意闭合载流回路任意闭合载流回路L L 在空间某点的矢势在空间某点的矢势?任意闭合载流回路任意闭合载流回路L L1 1在空间某点的矢势在空间某点的矢势 = =10)(dIplA电流在导电流在导 线截面上线截面上电流回路电流回路 = =)(14)(LrpA线截面上线截面上 均匀分布均匀分布电流回路电流回路假如电流在载流截面上不均匀分布假如电流在载流截面上不均匀分布?假如电流在载流截面上不均匀分布假如电流在载流截面上不均匀分布dVr
12、jA)()(0=VrpjA)( 4)(0 2005.3北京大学物理学院王稼军编矢势公式的应用举例矢势公式的应用举例矢势公式的应用举例矢势公式的应用举例?例题例题9：一对平行无限长直导线，载：一对平行无限长直导线，载 有等量反向电流I有等量反向电流I?先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）先求一根无限长直导线的磁矢势（如图） 设矢势A只有z分量设矢势A只有z分量 无限长无限长A Az z与z无关与z无关 轴对称轴对称A A 与与 无关无关取回路取回路 轴对称轴对称A Az z与与 无关无关 A Az z只是的函数： A只是的函数： Az z A Az z( )ddddddd LLLLLLLdddd
13、ddddbdCba+=+=lAlAlAlAlAlAlAPQIldIlBdllQPQPQP ln22)()(00=zzAA求磁通量求磁通量2005.3北京大学物理学院王稼军编求磁通量求磁通量一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差PQIQPln2)()(0=zzAAP ?两根无限长载流直导线的磁矢势两根无限长载流直导线的磁矢势?矢量叠加矢量叠加（如图如图）矢量叠加矢量叠加（如图如图） =+ +QIQPln2)()(0AAz取取Q 零点零点+QPIQ2)()(0zz叠加得叠加得P 点总矢势点总矢势=PQIQPln2)()(0zAAz点总矢势点总矢势 + =
14、= ln2ln2lnln2)()(000IIIQPPQQ zzAA2005.3北京大学物理学院王稼军编+222 PPP?例题例题10：无限长圆柱型导体，半径为：无限长圆柱型导体，半径为R，载有在，载有在 界面上均匀分布的电流界面上均匀分布的电流I，求磁矢势，求磁矢势?rR：导线外部同例题：导线外部同例题9，取，取Q点在导体表面，外点在导体表面，外RrRrr+=,21ln24ln2)()(000zzAA2005.3北京大学物理学院王稼军编RR2242zz)(ddSBlA求矢势小结求矢势小结)(addLS=SBlA?依据公式依据公式(a)求矢势的基本步骤求矢势的基本步骤?根据对称性根据对称性假设一个矢势的方向假设一个矢势的方向?根据对称性根据对称性，假设一个矢势的方向假设一个矢势的方向?取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出 积分号积分号，或积分好算或积分好算）积分号积分号，或积分好算或积分好算）?算出通过回路的磁通量算出通过回路的磁通量?得出得出A 一个表达式一个表达式?以上几个例子（例题以上几个例子（例题11自己看）都属于强对称性 场，实际上是已知自己看）都属于
