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1、数论妙趣数学女王的盛情款待第四章 亲如手足（节选）两个正整数，如果一个数的所有真因数之和，正好等于另一个数，这两个数就叫做一对“亲和数” 。1184 与 1210 就是一对亲和数。1184 所有真因数之和是1248163237741482965921210；1210 所有真因数之和是125101122551101212426051184。这对亲和数是 1866 年，由一位年仅 16 岁的少年巴格尼尼发现的，堪称英雄出少年。此前，1750 年，数学大师欧拉，曾一举列出了 60 对亲和数，其中唯独漏掉了这对从小到大排在第二的亲和数。最小的一对亲和数是 220 与 284。220 所有真因数之和是
2、12451011224455110284；284 所有真因数之和是 12471142220。有好多种方法可以产生亲和数。下面是阿拉伯数学家塔别特本考拉提供的一种方法：取 2 的任意次幂 2x，此处 x1，并形成下列各数：32x1，b32x11，c922x11，如果它们都是质数，那么，2xb 与 2xc 便是一对亲和数。比如，当 x2 时，322134111，b32113215，c923198171。11，5，71 都是质数，2xb4115220，2xc471284。220 与 284 就是上面提到的那对亲和数。但是，当 x3 时，323138123，b322134111，c9251932128
3、7。虽然 23，11 是质数，而 287741，是合数，所以得不到亲和数。再如，当 x4 时，3241316147，b323138123，c9271912811151。47，23，1151 都是质数，2xb24472316472317296，2xc24115116115118416。17296 与 18416 便是一对亲和数。排在第三的一对亲和数是 2620 与 2924。2620 所有真因数之和是1245102013126252465513102924；2924 所有真因数之和是124173443688617273114622620。下面这几对数也是亲和数：5020 与 5564，6232
4、与 6368，10744 与 10856，9363584 与9437056，111448537712 与 118853793424。从完全数、亲和数都与数的真因数之和有关，使人们想到一个问题：如果把一个数的所有真因数之和相加，得到一个结果，再把作为其结果的数的真因数相加，又得到一个结果，如此反复进行，将会出现什么情况呢？实验得到三种情况：第一种情况：最终得到 1。这种情况属于大多数；如，20 的真因数之和是 12451022，22 的真因数之和是121114，14 的真因数之和是 12710，10 的真因数之和是1257，7 的真因数只有 1。第二种情况：真因数之和越来越大，无限递增；第三种情
5、况：出现循环，即在这个过程中，某次真因数之和又回复到以前出现过的情况。显然，如果真因数一次相加，即返回到原数，就得到一个完全数；如果真因数两次相加，又返回到原数，就得到一对亲和数。如果真因数多次相加，又回复到原数，就得到一组“高阶亲和数”又称“社交数” 。例如：12496 的真因数相加得到 14288,14288 的真因数相加得到 15472，15472的真因数相加得到 14536，14536 的真因数相加得到 14264，14264 的真因数相加又得到 12496。这个循环共经过 5 次相加，所以，12496、14288、15472、14536、14264 就是一组“5 阶亲和数” ，或者叫“有 5个成员的社交数” 。真正令人惊讶的数是 14316，经过 28 次真因数相加，又返回到它自己，于是得到一组“28 阶亲和数” ，这个社交圈子有 28 个成员。其循环过程是：14316191163170447616833281777922954886290725897862948963583364189043665562749242754442437603767363810282857781529901224109794648976459462297622744199161771614316(原数)
