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1、数论妙趣数学女王的盛情款待第四章 亲如手足(节选)两个正整数,如果一个数的所有真因数之和,正好等于另一个数,这两个数就叫做一对“亲和数” 。1184 与 1210 就是一对亲和数。1184 所有真因数之和是1248163237741482965921210;1210 所有真因数之和是125101122551101212426051184。这对亲和数是 1866 年,由一位年仅 16 岁的少年巴格尼尼发现的,堪称英雄出少年。此前,1750 年,数学大师欧拉,曾一举列出了 60 对亲和数,其中唯独漏掉了这对从小到大排在第二的亲和数。最小的一对亲和数是 220 与 284。220 所有真因数之和是
2、12451011224455110284;284 所有真因数之和是 12471142220。有好多种方法可以产生亲和数。下面是阿拉伯数学家塔别特本考拉提供的一种方法:取 2 的任意次幂 2x,此处 x1,并形成下列各数:32x1,b32x11,c922x11,如果它们都是质数,那么,2xb 与 2xc 便是一对亲和数。比如,当 x2 时,322134111,b32113215,c923198171。11,5,71 都是质数,2xb4115220,2xc471284。220 与 284 就是上面提到的那对亲和数。但是,当 x3 时,323138123,b322134111,c9251932128
3、7。虽然 23,11 是质数,而 287741,是合数,所以得不到亲和数。再如,当 x4 时,3241316147,b323138123,c9271912811151。47,23,1151 都是质数,2xb24472316472317296,2xc24115116115118416。17296 与 18416 便是一对亲和数。排在第三的一对亲和数是 2620 与 2924。2620 所有真因数之和是1245102013126252465513102924;2924 所有真因数之和是124173443688617273114622620。下面这几对数也是亲和数:5020 与 5564,6232
4、与 6368,10744 与 10856,9363584 与9437056,111448537712 与 118853793424。从完全数、亲和数都与数的真因数之和有关,使人们想到一个问题:如果把一个数的所有真因数之和相加,得到一个结果,再把作为其结果的数的真因数相加,又得到一个结果,如此反复进行,将会出现什么情况呢?实验得到三种情况:第一种情况:最终得到 1。这种情况属于大多数;如,20 的真因数之和是 12451022,22 的真因数之和是121114,14 的真因数之和是 12710,10 的真因数之和是1257,7 的真因数只有 1。第二种情况:真因数之和越来越大,无限递增;第三种情
5、况:出现循环,即在这个过程中,某次真因数之和又回复到以前出现过的情况。显然,如果真因数一次相加,即返回到原数,就得到一个完全数;如果真因数两次相加,又返回到原数,就得到一对亲和数。如果真因数多次相加,又回复到原数,就得到一组“高阶亲和数”又称“社交数” 。例如:12496 的真因数相加得到 14288,14288 的真因数相加得到 15472,15472的真因数相加得到 14536,14536 的真因数相加得到 14264,14264 的真因数相加又得到 12496。这个循环共经过 5 次相加,所以,12496、14288、15472、14536、14264 就是一组“5 阶亲和数” ,或者叫“有 5个成员的社交数” 。真正令人惊讶的数是 14316,经过 28 次真因数相加,又返回到它自己,于是得到一组“28 阶亲和数” ,这个社交圈子有 28 个成员。其循环过程是:14316191163170447616833281777922954886290725897862948963583364189043665562749242754442437603767363810282857781529901224109794648976459462297622744199161771614316(原数)