用函数的观点看数列

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1、1用用 函函 数数 的的 观观 点点 看看 数数 列列温州七中 刘若菡设计立意及思路：设计立意及思路：数列是函数概念的继续和延伸。它是定义在自然集或它的子集1，2，n上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数 n 的“一次函数” ，前 n 项和是自然数 n 的“二次函数” 。等比数列可看作自然数 n 的“指数函数” 。因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。高考考点回顾高考考点回顾1与二次函数有关的等差数列的问题（2004 年重庆卷）若an是等差数列，首项 a10,a2003+a

2、20040,a2003a20040,S13S5 (D) S6与 S7均为 Sn的最大值 2与函数的单调性有关的数列问题（2002 年上海卷）已知函数 f(x)=abx的图象过点 A（4，）和 B（5，1）41（1） 求函数 f(x)的解析式； （2） 记 an=log2f(n),n 是正整数，Sn是数列an的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn0； （3） （文）对于（2）中的 an与 Sn，整数 96 是否为数列anSn中的项？2若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。（理）对于（2）中的 an与 Sn，整数 104是否为数列anSn中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明

3、理由。3.用函数观点解数列应用题基础知识梳理：基础知识梳理：1. 关于等差数列an (1)通项公式 an=a1+(n-1)d,可以写成 an=dn+(a1-d)。它是 n 的一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上。公差 d=是相应直线的斜率。当 d0 时，数列递增；当 d0 且 q1 时，y=qx(xR)是指数函数，而 y=qx(xR)是一个qa1不为 0 的常数与指数函数的积，因此 an=qn(nN*)的图象是函数 y=qa1qx(x R)的图象上的一群孤立点。qa1很明显，若0,当 q1 时，数列递增；当 00,即an是首项为负数的递增数列。d217因此，当 an0

4、且 an+10 时， Sn有最小值，即需-+(n-1)d0,d217-+nd0, 解得0,所以d217Sn=na1+d=-+-n=n2-9dn2) 1( nnnd 2172 2nd 2d 2d= (n2-18n) = (n-9)2-.2d 2d 281d由此可知，当 n=9 时，Sn最小。 思路导引：思路导引：既然 sn是常数项为零的二次函数，那么，能否结合二次函数的 图象来解决本题？（教师画出开口向下且过原点的抛物线）从函数的角度看，已知条件中 S5=S13意味着什么？引导学生得出，说明在二次函数 Sn= 2dn2+(a1-)n 中，当 n=5 与 n=13 时，对应的函数值相等。 （教师在

5、画出的2d抛物线上描出这两点）描出这两个对称点后，进一步引导学生观察抛物线的 对称轴位置解法三 已知 S5=S13，而 Sn 是 n 的二次函数（二次项系数0）,2d由抛物线的对称性可得其对称轴方程为 n=9。2135所以，当 n=9 时，Sn最小。 小结：以上分别利用了单调性、配方转化为二次函数以及数形结合等，让学 生比较以上这三种常见的解法，体会函数思想的作用。 变式： （1） 在等差数列an中，a10，S3=S11，则 Sn中最大的是（ ）4(A)S6 (B)S7 (C)S8 (D)S9 （） （2003 年黄岗中学）在等差数列an中，已知 a1=20，前 n 项和为 Sn，且 S10=

6、S15 求前 n 项和 Sn 当 n 为何值时，Sn有最大值，并求它的最大值 例例 2（2004 年重庆卷）若an是等差数列，首项 a10,a2003+a20040,a2003a20040 成立的最大自然 数 n 是( ) （A）4005(B)4006(C)4007(D)4008思路导引：思路导引：由于解题目标是前 n 项的和 Sn=na1+d,故可2)(1naan 2) 1( nn从两方面入手。由已知条件，能否判断本题中等差数列an的单调性？（学生能判断） 对照例 1，可知该数列的前 n 项和 Sn 有最值，且当 n=2003 时取到该 值，但 n=2003 时 Sn 最大，是否就是本题所要

7、求的答案呢？让学生认识到例 1 和例 2 的联系和区别。由a1a2a20030a2004 a2005知，虽然 S20040 成立的最大自然数 n 是多少呢，能否借鉴例 1 中所用 的函数的思想，数形结合的思想？从而引导学生画出抛物线，判断其对 称轴的位置，进而判断出抛物线与 x 轴的交点的坐标 解法一：由题意可得：等差数列中， 从第 1 项到第 2003 项是正数， 且从第 2004 项开始为负数， 则所有的正项的和为 Sn的最大值， 即当 n=2003 时，Sn取得最大值， 显然 Sn是关于 n 的缺常数项的二次函数， 且开口向下，所以第 2003 项离对称轴最近，故其对称轴介于 2003

8、到 2003.5 之间。 又因二次函数的图象与 x 轴的一个交点是（0,0）,则设另一个交点 （x,0）,x 应介于 4006 到 4007 之间（如上图） 所以使 Sn0 的最大自然数是 4006，故选 B。思路导引：思路导引：根据 Sn=，可以利用等差数列的性质求解。问：2)(1naana2003+a2004= a1 + a？，从而判断出 S40060,进而判断出S40070S4007=4007a20040,S130,S120,S130,S130,d0, S2k+10, S2k为 S1,S2, S2k中的最大值。下面提供另一种证明法，由 可得 a1a2ak0ak+1 ak+2.于是, 0)

9、(, 0) 12(S12112 kkkkk aakSak. 0, 011 kkk aaa.,.SS2121 kkkk SSSS由此可知，Sk有最大值。 2(1)已知等差数列an中,Sm=Sn(mn)，则 Sm+n= _ (2)已知等差数列an中,Sm=Sn(mn)，则 a1+am+n=0 例例 3（可视为上题的推广）已知等差数列 Sm=n, Sn=m, (mn), 求 Sm+n 思路导引：思路导引：本题退到一般的情形,可以用方程的思想求解. 解：对等差数列可设,S22mBnAnSnnBmAmm，得 A（m2-n2）+B(m-n)= n-m即 A(m+n)+B=-1,故 A（m+n）2+B(m+

10、n)=-(m+n)即得 Sm+n=-(m+n)例例 4、已知数列an的公式是 an=，其中 a、b 均为正常数，那么1bnanan与 an+1的大小关系是 ( ) (A) anan+1 (C) an=an+1 (D)与 n 的取值相关6思路导引思路导引:要比较 an与 an+1的大小关系,其实就是要判断 an=的单调性.1bnan从函数的观点看,函数 f(x)= 的单调性在函数一章中已会判断.1bxax解：an=1bnannba 1a、b 均为正常数，an随 n 的增大而增大。故选 A，答案：A。例例 5、 （2002 年上海卷）已知函数 f(x)=abx的图象过点 A（4，）和 B（5，1）

11、41（1）求函数 f(x)的解析式； （2）记 an=log2f(n),n 是正整数，Sn是数列an的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn0； （3） （文）对于（2）中的 an与 Sn整数 96 是否为数列anSn中的项？若是， 则求出相应的项数；若不是，请说明理由。 （理）对于（2）中的 an与 Sn整数 104是否为数列anSn中的项？ 若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。 思路导引思路导引:图象过 A,B 两点,说明 A,B 两点的坐标满足函数表达式解：（1）由 a=441ba102411=ab5 得, b=4f(x)=4x. 10241(2)an=log2f(n)=l

12、og24n=2n-10, an是以-8 为首项，公差为 2 的等差数列。Sn=n(n-9)2)1028(nnanSn=2n(n-5)(n-9), 由 anSn0 得 5n9. 故 n=5,6,7,8,9. 思路导引思路导引:由(2)知,从函数的观点看,anSn 是关于 n 的三次函数,而且5n9 时 anSn0.n=1,2,3,4 易求得 a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40,都不等于 96,所以要考虑 anSn 中 n10 的项. 由导数的知识可知 n10 时 anSn=2n(n-5)(n-9)是单调递增函数.所 以可以先计算 a10S10的值,文科马上得出答

13、案.理科要进一步估值,使其 逼近 96 或者等于 96.此时可以鼓励学生进行猜想,并通过估值结合计 算,得到答案. (3) （文）a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40, 当 5n9 时，anSn0。当 n10 时，anSna10S10=100。7因此，96 不是数列anSn中的项。 （理）a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40, 当 5n9 时，anSn0。当 10n22 时，anSna22S22=9824104.因此，104不是数列anSn中的项。 例例 6、某计算器有两个数据输入口 J1、J2，一个输出口 C. (1)当 J1、

14、J2分别输入正整数 1，经过计算器运算后，C 输出正整数 2； (2)当 J1输入正整数 m,J2 输入正整数 n 时，C 的输出要比 J1输入 m,J2输入 n+1 时，C 的输出减少 3.试问：J1输入 1,J2输入 n 时， C 输出的是多少？ 思路导引思路导引:先把问题具体化.引导学生完成下表 J1J2C 112 125 138 1411 1514 进而,让 J1 取 2,取 3,让学生认识到,无论 J1,J2 取何正整数,每当 J1,J2 各取一个确定的值,C 就有一个唯一确定的值与它对应.引导学生联 想函数的定义.可把条件用二元的解析式 f(m,n)表示，再用函数观点和数 列知识解

15、题。 解解:设当设当 J1、J2分别输入正整数 m、n 时，经计算器运算后，C 输出正 整数 k 记为 k=f(m、n).由已知（1）得 f(1,1)=2, 由已知（2）得 f(m、n+1)=f(m、n)+3.因此，有 f(1,2)-f(1,1) =3,f(1,3)-f(1,2)=3,f(1,n)-f(1,n-1)=3.由此可知：f(1,1)， f(1,2)，f(1,3)， f(1,n)为以 2 为首项、公差为 3 的等差数列。所 以，f(1,n)=2+(n-103=3n-1,即当 J1、输入 1，J2输入正整数 n 时， C 输出的是 3n-1 变式：右图是一个计算装置的示意图，J1，J2是数 据入口，C 是计算结果的出口。计算过程是由 J1，J2分 别输入正整数 m 和 n，经过计算后得正整数 k 由 C 输 出，所进行的计算满足以下三个性质： 若 J1，J2分别输入 1，则输出结果为 1； 若 J1、输入任何固定的正整数不变，而 J2输入的正整数增大 1，则 输出结果比原来的增大 2； 若 J2输入 1，而 J1输入的正整数增大 1，则输出结果为原来的 2 倍。试问：（1）若 J1、输入