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1、初三十一短期班第 2 讲教师版 page 1 of 29第一讲存在性问题探究存在性问题探究知识点睛对存在性问题的探究一直以来是初三期末以及中考中乐此不疲的题型。对特殊三角形的存在性问 题探究、对特殊四边形的存在性探究、对面积关系的探究、对特殊位置关系和图形关系的探究等是探 究的几个重要方面。例题精讲一、对几何最值的探讨 【例 1】 （2010 安徽）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形，其顶点为（0，1） 、（ABCOAB，1） 、（，0） 、（0，0） 将此矩形沿着过（，1） 、（，0）3 3-C3 3-OE3-F4 3 3的直线向右下方翻折，、的对应点分别为、EFBCBC （1）求折痕所在直
2、线 EF 的解析式； （2）一抛物线经过三点，求此二次函数解析式；BEB、 （3）能否在直线 EF 上求一点 P，使得周长最小？如能，求出点 P 的坐标；若不能，PBC 说明理由4-51FECBAOyxPBAC4-51FECBAOyx【解析】（1）由于折痕所在直线过、，E F，3 1F ，4 303F，直线倾斜角为。tan3EFOEF60所以直线的解析式为：，化简得：。EF1tan60 3 yx 34yx初三十一短期班第 2 讲教师版 page 2 of 29（2）设矩形沿直线向下方翻折后，的对应点为.过作EFB C，1122BxyCxy，B交所在的直线于点。B AAEAEA2 360B EB
3、EB EFBEF ，60B EA33A EB A，与重合，在轴上，AABy即.1102xy ， 02B，【此时需要说明在轴上】11Bxy，y设二次函数解析式为：2yaxbxc抛物线经过 3 3 13 1 02BEB，得到，解得2331273 31cabcabc 1 3 433 2abc 该二次函数解析式为。2143233yxx （3）能，可以在直线上找到点，连接交于点，再连接。EFPB CEFPBP由于，此时点与在一条直线上，故得和最小，B PBPPC B，BPPCB PPC由于为定长，所以满足周长最小。BCPBC设直线的解析式为B Cykxb，直线的解析式为：203 3bkb B C2 32
4、9yx 又因为为直线和直线的交点，解得。PB CEF2 329 34yxyx 18311 10 11xy 点的坐标为P181031111，【补充】几何模型：条件：如下左图，是直线 同旁的两个定点A B，l问题：在直线 上确定一点，使的值最小lPPAPB 方法：作点关于直线 的对称点，连结交 于点，则的值最小AlAA BlPPAPBA B （不必证明） 模型应用： （1）如图 1，正方形的边长为 2，为的中点，是上一动点连结，ABCDEABPACBD初三十一短期班第 2 讲教师版 page 3 of 29由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于，则的最小BDACEDACPPBPE 值是_； （
5、2）如图 2，O的半径为 2，点ABC、在O上，OAOB，60AOC，P是 OB上一动点，求PAPC的最小值； （3）如图 3，45AOB，P是AOB内一点，10PO ，QR、分别是OAOB、上的动点，求PQR周长的最小值ABAPlABPRQ 图 3ABC图 2AB图 1（第 25 题）P【解析】（1）的最小值为的长，因此最小值为PBPEDE22215（2）作关于对称点，连接交于，此时的满足值最小，此时最小COBCACOBPPPAPC值等于的长。易得，的最小值为AC90AOC22 2ACAOPAPC2 2（3）分别作关于的对称点，连接分别交于点，此时三角形POB OA，MN，MNOB OA，R
6、 Q，满足周长最小。此时周长等于长，因此。PQRMN210 2MNOP【例 2】 已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，取的中点，连结OCBA32OCBC，ABM，把沿轴的负方向平移的长度后得到.MCMBCxOCDAO （1）试直接写出点的坐标；D （2）已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点BDP作轴于点，连结.PPQxQOP若以为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；O P Q，DAOP试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.TTOTBMCBAOyxETQMCPDBAOyx初三十一短期班第 2 讲教师版 page 4 of 29【解析】（1）依题意得：
7、；（3 分）322D，（2） ，.32OCBC，3 2B，抛物线经过原点，设抛物线的解析式为20yaxbx a又抛物线经过点与点3 2B，322D， 解得：932 93242abab4 9 2 3ab 抛物线的解析式为.（5 分）242 93yxx点在抛物线上，P设点.242 93P xxx，1)若，则， ，解得： (舍去)或，PQODAOPQQO DAAO242 93 32 2xxx 10x 251 16x 点.（7 分）51 153 1664P，2)若，则，解得： (舍去)或，OQPDAOOQPQ DAAO242 93 32 2xxx 10x 29 2x 点.（9 分）962P，存在点，使
8、得的值最大.TTOTB抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点242 93yxx3 4x xE.（10 分）302E，点、点关于直线对称，OE3 4x （11 分）TOTE要使得的值最大，即是使得的值最大，TOTBTETB根据三角形两边之差小于第三边可知，当三点在同一直线上时，的值最大. TE B，TETB（12 分）设过两点的直线解析式为，B E，0ykxb k初三十一短期班第 2 讲教师版 page 5 of 29 解得：32 302kbkb4 3 2kb 直线的解析式为.BE423yx当时，.3 4x 432134y 存在一点使得最大.（13 分）314T，TOTB【例 3
9、】 （2009 黄石.本题满分 12 分）如图，点 P 是双曲线1 1(00)kykxx，上一动点，过点 P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，交双曲线 y=xk2（0k2|k1|）于E、F 两点 （1）图1 中，四边形PEOF 的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)；（3 分） （2）图 2 中，设 P 点坐标为（4，3） 判断 EF 与 AB 的位置关系，并证明你的结论；（4 分） 记2PEFOEFSSS，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由 （5 分）【解析】（1）21kk；（2）EFAB 证明：如图，由题意可得 A（4，0），B（0
10、，3），2( 4,)4kE ，2(,3)3kF PA=3，PE=234k，PB=4，PF=243k22312123 4PAkPEk ，22412124 3PBkPFk PAPB PEPF 6 分 又APB=EPF APB EPF，PAB=PEF EFAB 7 分 S2没有最小值，理由如下： 过 E 作 EMy 轴于点 M，过 F 作 FNx 轴于点 N，两线交于点 Q由上知 M（0，2 4k），N（2 3k，0），Q（2 3k，2 4k） 8 分初三十一短期班第 2 讲教师版 page 6 of 29而 SEFQ= SPEF， S2SPEFSOEFSEFQSOEFSEOMSFONS矩形 OMQ
11、N4321 212222kkkk2 221 12kk=2 21(6)312k 当26k 时，S2的值随 k2的增大而增大，而 0k212 11 分0S224，s2没有最小值 12 分二、对特殊三角形的探讨【例 4】 在边长为6 的菱形ABCD 中，动点M 从点 A 出发，沿 ABC 向终点 C 运动，连接 DM 交 AC 于点 N.（1）如图 1，当点 M 在 AB 边上时，连接 BN.求证：；ABNADN若ABC = 60，AM = 4，ABN =，求点 M 到 AD 的距离及 tan 的值；（2）如图 2，若ABC = 90，记点 M 运动所经过的路程为 x（6x12）.试问：x 为何值时
12、，ADN 为等腰三角形.NMDCBA 图 121 HNMDCBAMDCBAN图 24 321MDCBAN【解析】（1）证明：四边形是菱形ABCD ，2 分ABAD1 2 又ANAN 4 分 ABNADN 作交的延长线于点，由，得，MHDADAHADBC 60MAHABC 在中， ， Rt AMHsin60 4sin60 2 3MHAM 点到的距离为 23 . 6 分MAD 易求，则 7 分2AH 628.DH 四在中，43 832DHMH，Rt DMHtan MDH由知， .MDHABN 故 9 分3tan4（2）解：，菱形是正方形90ABCABCD 此时，45 .CAD 下面分三种情形： ）
13、若，则NDNA45 .ADNNAD 此时，点恰好与点重合，得；10 分MB6x ）若，则.DNDA45DNADAN 此时，点恰好与点重合，得； 11 分MC12x ）若，则，6ANAD12 由，得，又，ADBC14 23 ，从而，34 CMCN初三十一短期班第 2 讲教师版 page 7 of 29易求 AC=62 ，6 26CMCNACAN四故 13 分12126 26186 2xCM四四综上所述：当或 12 或时，是等腰三角形 14 分 6x 186 2ADN （说明：对于）、）分类只要考生能写出，就给 2 分）6x 12x 【例 5】 已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在xOyOABCO
