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1、汕头市金山中学汕头市金山中学 20132013 届高三上学期期中考试届高三上学期期中考试理科数学理科数学本试题分第本试题分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分卷（非选择题）两部分，满分 150150 分，时间分，时间 120120 分钟分钟. .第第卷卷 （选择题（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题：一、选择题：(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.)1o660sin等于（ ）A23B21C21 D232设Rx, 那么“
2、0x”是“3x”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件3已知单位向量满足，则夹角为（ ）, i jr r(2)jiirrr, i jr rA B C D4 6 32 34已知函数sinyx0,02，且此函数的图象如图所示，则点, 的坐标是（ ）A2,4B2,2C4,4D4,25函数1lnxeyx的图象大致是（ ）6已知, x y满足线性约束条件10 20 410xy xy xy ，若( , 2)xa，(1, )yb，则z a b的最大值是（ ）A. 1B. 5 C. 5 2D. 77若函数 f x的零点与函数 422xg xx的零点之差的绝对值不超过0
3、.25，则 f x可以是（ ）A. 1xf xe B. 1ln2f xxC. 41f xx D. 2(1)f xx8对于下列命题：在ABC 中，若sin2sin2AB，则ABC 为等腰三角形；已知a，b，c 是ABC 的三边长，若2a ，5b ，6A，则ABC 有两组解；设2012sin3a，2012cos3b，2012tan3c,则abc；将函数2sin 36yx图象向左平移6个单位，得到函数2cos 36yx图象。其中正确命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2D. 3 第第卷卷 （非选择题（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题：二、填空题：(本大题共本大题共 6 小题，每小
4、题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.) 9已知向量1,2a r ，1,0b r ，3,4c r 若为实数，/abcrrr ，则 。10设562)(sin),2, 0(xxy且函数 的最大值为 16，则 。11已知534sin3sin ， 0 ,2，则 32cos 。12在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知5a，325b，4A，则Bcos 。13若关于x的不等式12axx存在实数解，则实数a的取值范围是 。14函数24 ( )22xxf xx.给出函数( )f x下列性质：函数的定义域和值域均为1,1；函数的图像关于原点成中心对称；函数在定义域上单调递增；( )0 A
5、f x dx （其中A为函数的定义域） ；A、B为函数( )f x图象上任意不同两点，则22AB 。请写出所有关于函数( )f x性质正确描述的序号 。三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ） 15 （本小题满分 12 分）已知集合| 2Axxa，26|12xBxx.（）求集合A和集合B；（）若ABRU，求a的取值范围。16 （本小题满分 12 分）在直角坐标系中，已知(cossin)Axx，(1 1)B，O为坐标原点，OAOBOCuu u ruuu ruuu r ，2(
6、 )|f xOCuuu r （）求 f x的对称中心的坐标及其在区间,0上的单调递减区间；（）若 032f x，03,24x，求0tan x的值。17 （本小题满分 14 分） 已知函数21( )3sincoscos2f xxxx，.xR（）求函数( )f x的最大值和最小正周期；（）设ABC的内角, ,A B C的对边分别, , ,a b c且3c ,( )0f C ，若sin2sinACA,求, a b的值18 （本小题满分 14 分）已知函数 xaxaxxfln246313， bxxxg22（）若2a，求 xf的单调区间；（）在（）的条件下，对, 0,21xx，都有 21xgxf，求实数
7、b的取值范围；（）若 xf在m, 0，, n上单调递增，在nm,上单调递减，求实数a的取值范围。19 （本小题满分 14 分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD的池底水平铺设污水净化管道FHERt(，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口H是AB的中点，FE,分别落在线段ADBC,上。已知20AB米，310AD米，记ABCDE FHBHE。（）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；（）若213cossin，求此时管道的长度L；（）问：当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。20 （本小
8、题满分 14 分）已知函数24( )1xaf xx的单调递增区间为,m n，（）求证：( ) ( )4f m f n ；（）当nm取最小值时，点112212( ,),(,)()P x yQ xyaxxn是函数( )f x图象上的两点，若存在0x使得21 0 21()()()f xf xfxxx，求证：102xxx参考答案参考答案一、选择题（一、选择题（40 分）分）题号12345678答案DACADBCC二、填空题（二、填空题（30 分）分）91 2106114 51223213 , 33, U 14三、解答题（三、解答题（80 分）分）15解：解：（）由| 2xa，得22axa，即(2,2)
9、Aaa3 分由26410422xxxxx 或2x ，即(, 4)( 2,)B U6 分（）ABRU244222aaa ，a的取值范围是42a 12 分16解：解：(cossin )OAxxuu u rQ，(1 1)OB uuu r，则OCOAOBuuu ruu u ruuu r(1 cos1 sin )xx， 2 分2( ) |f xOCuuu r22(1 cos )(1 sin )xx32(sincos )xx32 2sin()4x4分（）由4xkkZ，即4xkkZ，对称中心是(3)4kkZ，当322242kxkkZ，时( )f x单调递减，即52244kxkkZ，( )f x的单调递减是5
10、2244kkkZ，6分( )f x在区间,0上的单调递减区间为3,4.8分() 00()32 2sin()324f xxQ01sin()42x00003357,+, +=24444612xxxxQ即10分07tantantan231234x 。12 分 17解：解：（）31 cos21( )sin2sin(2) 12226xf xxx2 分则( )f x的最大值为 0，最小正周期是2 2T4分（）( )sin(2) 106f CC 则sin(2)16C1100222666CCC Q2623CC6 分sin()2sinACAQ由正弦定理得1 2a b 9 分由余弦定理得2222cos3cabab
11、即229abab12分由解得3a ，2 3b 14分18解：（）)(xf定义域为)(0,当2a时，xxxf431)(3，4)( 2 xxf，令0)( xf得2x或2x（舍）x（0，2）2), 2( )( xf-0+ )(xf )(xf的递减区间为（0，2） ，递增区间为), 2( 4 分 （）), 0(,21xx都有)()(21xgxf成立minmax)()(xfxg5 分由（）知316)2()(min fxfbxxg1) 1()(2，bgxg1) 1 ()(max7分3161b，319b8分（）xaxax xaaxxf24)6(24)6()(3 29 分 由条件知nm,恰为0)( xf的两个不相等正根，即024)6(3axax恰有两个不相等正根， 10 分对于方程046)2(3xxxa显然2x是方程的一个解， 11 分当2x时，3) 1(2222xxxa(0x且2x)当0x时，2222xx 当2x时， 6222xx13 分 2a且6a 14 分19解：解：（）10 cosEH，10 sinFH，cossin10EF由于10 tan10 3BE，1010 3tanAF
