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1、常微分期末考试试题Pa42 1.(8) (10) 2.(1）(4）Pa60 1.(1) (2) 2.(1) (2) (4) (5)Pa88 1.2.3pa111 1.(1) (2) Pa132 7Pa164 2.(6) (8) (9) (13) (14) (15)Pa182 2.(2) (3)pa244 2. 4.(1) (2)2222+3x-33-1231-yy1.1.+=0;*+=0.11-=+32-2-3= ,=6,dy2=.=,=+ ,exxxx yxxydy dxyyydydxyycdxdydxceee ec cee cceeee e求下列方程的解：解：原方程可以变形为积分两边即得为
2、任意常数。化简为这里是任意常数.解：原方程可变形为两边积分，即得这里c为任意常数22222. dy1=;= + , du=+1,du=, +1arctan = + ,(x+y)=x+c. - +52.=;- -2= - ,x=u+y, du-7=,+5+10+14=,c+ydx u x ydxdxu x ccdyx y dxx yu x ydyuxuuyuuc作适当的变量变换求解下列方程：.解：令则原方程变为分离变量为两边同时积分。得这里为任意常数。所以，原方程的解为arct an解：令即则原方程变为分离变量，并且积分得为任 222= - ,+10-+14 =+-2+10 +4 = .x-yx
3、x yy cxyxy cy意常数，代入u x y 可得原方程的解为化简得22233.1+-2=0;, = -=1,1,=+ ,=x-2y.1u=+ (y),3 yu= +(y)u= +2y(y)=-y dxxy dyMN yXuuuyxyxyxyxyx xxx 验证下列方程是恰当微分方程，并求出方程的解：.解：这里M =+y N x 2y，这时因此方程是恰当微分方程。现在求，使它同时满足如下两个方程：第一个方程对x积分，得到对此等式两边关于求导，得与相比较得到22y,(y)=,-y积分后得到23231u=+.31+=c,3-y-yxyxycxx所以即得到原方程的同解为这里是任意常数。22232
4、2. y-3-(4y-x)dy=0;y-3-,=1,1,=+ ,=x-4y.u=+ (y),yu= +(y)=x-4y,(y)=-4y,(y)=,-3-x-2ydxMN yXuuuyxyxyxyx xx 解：这里M =，N =x 4y 这时因此方程是恰当微分方程现在求，使它同时满足如下两个方程：第一个方程对x积分，得到对此等式两边关于求导，得于是积分后得到2323(y)u=-,-=-2yx-2yxxyxy将代入，得到因此，方程的通解为这里的是任意常数。222222224.12x(y-1)dx+dy=0;2xy+-= ,(-)=0.y-= .xxxxdxdyxyxceeee exex求下列方程的
5、解：.解：重新“ 分项组合” 得到（）2xdx 0d于是，方程的通解为，2x222x322x232x232.(+3)dx+2xydy=0;.+3+2=0(-2 +2)+d()=0,(-2 +2)=cx x+dxdxydydxxyeyx exye xxye xx解：方程两边同乘以得即于是方程的通解为222222322223.-=(+)dx;+yd -=1., +d(arctan-x)=0,arctan-x=c4.ydx-(x+)dy=0;1,1-= ,yd(-)=0,2-=2yydx xdyx xdydxx yx yxx yxcyyx yxyxyyyy解：方程两边同除以（），得即于是方程的通解为
6、解：方程两边同乘以并且重新分项组合得，（dxdy）ydy 0即于是方程通解为20220025210281152202281153dy5.= +0,0x = ,(x)= (t+)=,(t)2(x)= (t+)=+,(t)220(x)= (t+)=+.(t)2201604400dy= +0,0=+.2201604400yxxyxyxxxxdxdtdtdtxdxxxxxxxxx123求方程通过点（）的第三次近似解。解：（）0所以方程通过点（）的第三次近似解为202201221112 3522 352dy6.= -1,0x =0-11=-(t)=,222=-(t)=-411111=-+-,246203
7、0 dy= -1,011111=-+-,2462030-1yxxxxdxtdttdttdtxxdxxyxxxxxyxxx 求方程通过点（）的第二近似解解：（），所以，方程通过点（）的第二近似解为 2222023 1 022 20 -7.=-, : +11,1,-1 =01=max| -|=4,h=min(a,)=4 1|x-x |=|x-(-1)|=|x+1|4 11x =+(-0)=+;333(x)=y +-11+33xxdyR xydx yb Mdxyxyxxxxx 0求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计解：因为M则则解的存在区间为令（）y47 312
8、3 22111=-+39 186342f(x,y)|2=L*11|x -(x)|=242+1xxdxyMx xxLh又则：误差估计为：（）8.解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：1、4 22dxdyxdxdyxy解：令，则，pdxdy422pxxpy两边对 x 求导，得dxdppxxpdxdpxpp324422202213 pdxdpxxp从得 时，；0213 xp0p2343,21 pypx从得 ，02 pdxdpx2 22,cpcypcx为参数，为任意常数.0p0c经检验得，是方程奇解.331 2 3 4xpyp 2、2 dxdyyx解：令，则，pdxdy2pxy两边对 x 求导，得dx
9、dppp21，pp dxdp 21解之得 ，cppx21ln2所以，cpppy221ln2且 y=x+1 也是方程的解，但不是奇解.9.试证 n 阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在 n+1 个线形无关解。证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）txtxtxn,21Ltx的一个解，则： （1） ，均为（4.1）的 ,21txtxtxtxtxtxtxnL解。同时（1）是线形无关的。事实上：假设存在常数，使得：121,ncccL tx cctxccctxtxctxctxtxctxtxctxtxciiniiniiniiniiniiininnn111111111112211
10、000:0，则有：否则，若我们说：即L（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！从而有0 1 txciini又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，txtxtxn,21L故有：0:, 0121nncccc进而有L即（1）是线形无关的。10.求下列常系数线性微分方程：1.32254 txxxx解：特征方程有根2,两重根10254231齐线性方程的通解为 x=ttttececec322 1又因为0 不是特征根，故可以取特解行如代入原BtAx方程解得 A=-4，B=-1故通解为 x=-4-tttttececec322 12.txxcos 解：特征方程有复数根0131,231
11、i2,231i13故齐线性方程的通解为tttectectecx321221123sin23cos取特解行如代入原方程解得 A=tBtAxsincos21,21B故通解为tttectectecx321221123sin23cos)sin(cos21tt 3. txxx2sin82 解：特征方程有根-2,102212故齐线性方程的通解为 x=ttecec2 21因为+-2i 不是特征根取特解行如代入原方程解得 A=tBtAx2sin2cos56,52B故通解为 x=ttecec2 21tt2sin562cos524.texxxtcos32 解：特征方程有根-1+i,-1-i03221222故齐线性
12、方程的通解为tectecxtt2sin2cos21不是特征方程的根, 取特解行如代入i1tetBtAx)sincos(原方程解得 A=414,415B故通解为+tectecxtt2sin2cos21tett)sin414cos415(5. ttxx2cossin 解：特征方程有根i,- i01212故齐线性方程的通解为tctcxsincos21,i,是方程的解 代入原方程解得txxsin 1)sincos(tBtAtxA= B=0 故21ttxcos21代入原方程解得txx2cos tBtAx2sin2cosA= B=0 故31tx2cos31故通解为tctcxsincos21ttcos21t
13、 2cos3111.试证：如果是=Ax 满足初始条件的解，那么)(tx)(0texpA(t-t )(t0证明：由定理 8 可知(t)-1(t0) (t) )(tttdssfs0)()(1 -又因为 (t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0, 又因为矩阵 （At）（- At0）=（- At0）（At）所以 expA(t-t )(t012.试求方程组=Ax 的一个基解矩阵，并计算 expAt，其中 A 为：xa） b） 2112 3421解：a）det（EA）=0 得，1323对应于的特征向量为 u， （ 0 ）1 321对应于的特征向量为 v， （ ）2 3210u，v是对应于，的两个线性无关的特征向量 321 32112(t)=是一个基解矩阵 tttteeee3333)32()32(ExpAt= tttttttteeeeeeee33333333)32()32()32()32( 321b)由 det（EA）=0 得5，112解得 u，v是对应于，的两个线性无关的特征向量 21 1112则基解矩阵为 (t) tttteeee552(0) 1(0) 121131 3231 31则 expAt(t) 1(0) tttttttteeeeeeee55552222 31
