高中数学第一册（上）第三章“数列”

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1、高中数学第一册（上）第三章高中数学第一册（上）第三章“数列数列”一、教材分析一、教材分析-数列在数列在教纲教纲 、 考纲考纲的地位的地位 1、数列在教材中的地位与作用 新教学大纲把数列的教学目标定位在“理解数列的概念、掌握等差数列、等比数列通项公式及前 n 项和公式，了 解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，数列是以正整数为自变量的一种特殊函 数。在高中数学中，数列是重点学习内容之一，它具有相对其他内容的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，并且， 数列还是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一，是进一步学习高等数学的基础，在一定程度上可以衡量 一个学生进一步

2、深造和发展的潜力，所以成为高考中的一个重点内容。 2、数列与其它知识的联系 数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、 式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等 内容作了铺垫。 课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各 知识沟通方面发挥了重要作用 由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、 等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。 3、本章的重

3、点是数列的通项公式、等差数列和等比数列的性质及求和。 4、本章的难点有： （1） 、数列是学习离散量的开始，如何使学生理解数列与函数的联系； （2） 、应用数列知识建立实际问题的数列模型以及如何区分实际问题中所蕴含的数列的类型。 二、教学中应注意的几个问题二、教学中应注意的几个问题 (一)把握好本章的教学要求 由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教 学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考” 的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担 事实上， 学习是一个不断深化的过程 作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初

4、步的综合训练，在后续的学 习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高， 最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综 合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次 为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方， 例如在学习数 列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在 研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧. (二)有意识地复习和深化初中所学内容 对于初中学过的多数知识在高中没有系统深入学习的机会 而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学 习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要 本章是高中数学的第三章，距离初

5、中数学较近，与初中数 学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力。 (三)适当加强本章内容与函数的联系 适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问 题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步。 比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数， 而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产 生的学生认识上的负迁移； 本章内容与函数的联系涉及以下几个方面 ： （1）数列概念与函数概念的联系相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前 n 个数组成的

6、有限子集)的函数，它是一种自变量 “等距离”地离散取值的函数，从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围。但数列与函数并不能划等 号，数列是相应函数的一系列函数值，基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的 性质。数列的通项公式实际上是相应函数的解析表达式，而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要 给定一个自变量的值 n，就可以通过递推公式确定相应的 f(n)，这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示 因变量与自变量关系的解析式。 （2）等差数列与一次函数、二次函数的联系 从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项 a 是关于

7、项数 n 的一次函数式，于是可 以利用一次函数的性质来认识等差数列。例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就 容易理解为什么两项可以确定一个等差数列。 此外，首项为 、公差为 d 的等差数列前 n 项和的公式可以写为：1a2) 1(1dnnnasn即当 时，是 n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前 n 项和的0dns问题。 如可以根据二次函数的图象了解函数的增减变化、极值等情况 。（3）等比数列与指数型函数的联系 由于首项为 、公比为 q 的等比数列的通项公式可以写成1a1 1n nqaa它与指数函数有着密切联系，从而可利用指数函数的性

8、质来研究等比数列。 (四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征 等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前 n 项和的公式、 两个数的等差(等比)中项，以及具体问题中成等差(等比)数列的三个数的设法等。因此，可以在两者之间架起一座联 想类比的桥梁。 (五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力。 事实上，在问题探索求解中， 常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用 证明方法(或举反例)

9、来检验所提出的猜想。 应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很 多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过。（六）注意通解通法的使用本章内容中,涉及多种数学思想方法,如函数思想、方程思想、递归思想、合理猜想等，教学中要突出思想方法在解题中的作用，技巧的熟练掌握应建立在学生体会理解的基础上,不要以特殊的技巧冲淡通性通法的领悟.如 3.3 节习题第 5 题: “一个等差数列的第 6 项是 5,第 3 项与第 8 项的和也是 5,求这个数列的前 9 项的和.”.由，根据等差数列的性质可得583 aa56574aaaa由,得=0, 所以,得出=

10、0.55a6a091 aa9S这一解法,利用了等差数列具有的性质.掌握了这一性质,能迅速求解本题.但L23121nnnaaaaaa这仅仅是一种解题的技巧,这些技巧的形成要建立在学生对等差数列深刻认识的基础上,不然随着时间的推移学生就容易淡忘,因此，从让学生掌握通性通法考虑，下列解法就显得更加具有普适性，因而也就更加重要：设数列的首项为,公差为.由题意得 1ad .592,5511 dada从这个二元一次方程组可解得数列的首项与公差,进而可求出前 9 项的和.这一解法较前一解法复杂些，但它使用了“方程思想” ，这是通性通法，更能反映数学问题的本质.而前一解法则带有特殊性,有较强的技巧性.一味让学

11、生死记硬背一些方法技巧不利于学生数学能力的提高.三、本章教学特点三、本章教学特点 （一） 、注意启发学生思维 1、在问题的提出和概念的引入方面 (1)、在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点 的基础上给出相应的定义，可以培养学生从特殊到一般的归纳推理 (2)、在等比数列求和一节中将一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子，制造悬念，引起思考。在推导结论 时，如在等差数列前 n 项和的公式推导时，是先提出问题：“1+2+3+100 = ?”，并指出著名数学家高斯 10 岁时便 很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察

12、高斯算法的基础上，发现等差数列的一个对称性质。从而得到等差数列求和的方法。 （二） 、注意数学思想方法的渗透 1、函数思想 1 2、 方程（方程组）的思想 已知数列满足某些条件，求这个数列等。 3、递推思想在数列的递推公式里有所体现 应使学生明白当数列通项公式不明显时，有时也可以利用递推关系式来描述，而另一方面也应清楚;有时利用递 推关系式是能够推导数列的通项公式的。对于递推公式的表达式还可以用计算机的算法语言表达成流程图，使数学和 计算机学科有机的整合起来。 4、猜想证明 归纳的思想 综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力。事实上，在问题探索求解中， 常常是先

13、从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用 证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想。譬如，等差数列有许多的性质非常重要，这些性质不但要让学生知道记住，还应尽可能让学生会自己独立推导证 明这些结论，探究的过程更重于结论。不妨可以从特殊的数列着手，观察发现规律，归纳猜想出一般结论，进而严密 论证。在等差等比数列中这些素材是非常多的。 5、注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征类比思想 （三） 、注重实际应用 1、数列在分期付款中的应用 2、数列在储蓄问题中的应用 3、数列在细胞分裂中的应用 4、数列在环境保护中的应用 5、数列在浓度

14、问题中的应用让学生真正感受到数学源自生活，服务于生活的事实，真正体会数学的工具价值，并逐渐培养善于从身边发现问 题，并借助所学知识解决问题的探究意识，借此增强学生学习数学的兴趣。 （四） 、几个研究性问题 斐波那契数列 等比数列求和公式的推导方法 组合贷款购房中的数学问题 数表中的数列问题 四、四、 教学建议教学建议 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比 数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 （2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、 几何的结合。 （3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难

15、度有三个层次，小题大都以基础题为主， 解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 因此我们建议在教学时，要注意以下三点： 1、 注意课本，要对课本中的典型例题、习题、总复习题进行总结、归纳、使学生熟练掌握等差、等比数列的概念与 性质，掌握特殊化与一般化的思想方法。会从 n=1；2-归纳、递推 an,Sn;会从整体出发求出 n=1;2-时 an,Sn。特别注 意特殊值法在解小题时的应用技巧，加强运算能力的训练。 2、数列是特殊的函数，用函数的观念方法处理数列题，有时简便易行，要求学生对等差数列、等比数列与函数的结 合题型要做到心中有数

16、，对数形结合、分类讨论、解不等式、求函数最值等方法要熟悉。 2006 高考数列部分试题高考数列部分试题1、 （2006 年福建卷）在等差数列中，已知则等于 （B） na1232,13,aaa456aaa（A）40 （B）42 （C）43 （D）45 2、 （2006 年广东卷）已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是 A.5 B.4 C. 3 D.2 3、 （2006 年广东卷）在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商场橱窗 里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层， 就一个乒乓球；第 2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图 4 所示方式固 定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n