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1、第第 5 章章 级数与拉普拉斯变换级数与拉普拉斯变换无穷级数是进行数值计算的一个重要工具无穷级数是进行数值计算的一个重要工具, ,在自然科学与工程技在自然科学与工程技术中有着广泛的应用术中有着广泛的应用. .本章在介绍无穷级数的基本概念、性质以及数本章在介绍无穷级数的基本概念、性质以及数项级数敛散性的基础上，讨论如何将一般函数展开成幂级数与三角项级数敛散性的基础上，讨论如何将一般函数展开成幂级数与三角级数级数. .无穷级数包括：数项级数、幂级数、傅里叶级数无穷级数包括：数项级数、幂级数、傅里叶级数. .无穷级数是研无穷级数是研究函数的工具，它主要有以下这些作用：表示函数、研究性质、数究函数的工
2、具，它主要有以下这些作用：表示函数、研究性质、数值计算值计算. .551 级数的基本概念和性质级数的基本概念和性质一、无穷级数的基本概念无穷级数的基本概念1. .设 u1 ， u2 ， ， u ， （5. .1. .1）是按一定顺序排列起来的一个无穷数列，对数列（5. .1. .1）的各项依次用加号连接起来的表达式u1u2u n 1un（5. .1. .2）叫做无穷级数（简称级数）. .其中 u1叫作级数的第 1 项（也叫首项） ，u2叫作级数的第 2 项，第 n 项叫作级数的一般项（或者叫通项） 2. .如果级数（5. .1. .2）中的各项是常数，则称级数（5. .1. .2）为常数项级数
3、（简称数项级数） 例如 为一个数项级数，记作. .111123n11nn3. .如果级数（5. .1. .2）中的各项是变量 x 的函数，则称级数（5. .1. .2）为函数项级数例如 x+x2+ x3+xn+ 为一个函数项级数，记作. .11nnx二、级数的敛散性1. .从级数（5. .1. .2）的首项加到第 n 项止，即级数的前 n 项（有限项）的和sn= = u1u2u 叫做级数的部分和 当 n 依次取k 1unk1，2，3，时，级数的部分和构成一个新的数列 s1，s2，s3，sn，叫做 级数的部分和数列，记作sn2 2. . 当 n时，如果级数（5. .1. .2）的部分和数列 sn
4、存在极限，即则称级数（5. .1. .2）收敛收敛，极限值 s 称为级数（5. .1. .2）的和记作 limnnss s=u1u2u+3. . 当 n时，如果级数（5. .1. .2）的部分和数列 sn没有极限，则称级数（5. .1. .2）发散发散，这时级数（5. .1. .2）就没有和4. .当级数收敛时，其部分和 sn是级数的和 s 的近似值，称 ssn为级数的余余项项，记为 rn，即 rn=ssn= un+1un+2 由此定义可知，级数与其部分和数列有着紧密的联系，也就是说，级数的 收敛、发散性（简称敛散性）就是用级数的部分和数列是否有极限来定义 的正因为如此，我们不难看出，数列与级
5、数是一个问题的两种形式，一般地，任给级数（5. .1. .2） ，则对应一个数列sn ，反之对于给定数列sn可令 u1=s1 ，u2=s2 s1 ，un=sn sn-1， 从而构成级数这样级数的问题常可n 1un 以转化为数列的问题来研究，数列的问题也可以转化为样级数的问题来处理例例 1 讨论几何级数几何级数（等比级数等比级数）a+aq+aq2+ aqn-1+ （5. .1. .3）（其中 q 是公比，a0）的敛散性解 如果 q1，则部分和 sn= a+aq+aq2+ aqn-1= 111nnaaqaaq qqq当1 时，由于=，所以=，即级数发散；qlimnnq limnns 当 q=1 时
6、，sn=na，所以=，即级数发散；limnns 当 q=1 时，此时级数为 aaaaa 即其部分和为 0nsan ，n为偶数，为奇数所以 sn的极限不存在，级数发散根据以上讨论可得：当1 时，级数发散；（3）当 L=1 时，级数可能收敛也可能发散例例 10判别级数的敛散性121nnn n解 因为=1limnnnu lim21nn n1 2由根值判别法知，级数是收敛的121nnn n二、 交错级数 定义定义 1 凡各项是正、负交错的级数，叫交错级数即 11 1234 111nn nn nuuuuuu （1）0,1,2,3,nun 或 1234 111nn nn nuuuuuu （2）0,1,2,
7、3,nun 对于交错级数的收敛性有下面的判别方法 定理定理 1 （莱布尼兹判别法）（莱布尼兹判别法）若交错级数 11 1234 111nn nn nuuuuuu 0,1,2,3,nun 满足下面两个条件（1） （n=1，2，3，）1nnuu （2）lim0nnu 则交错级数（1）收敛，其和，其余项的绝对值un+11sunRnR证证 先证明前 2n 项的和 s2n的极限存在，为此把 s2n写成两种形式：s2n= 1234212.nnuuuuuu及 s2n= 1234522212.nnnuuuuuuuu根据条件（1）知道所有括号中的差都是非负的，由第一种形式可见数列 s2n是单调增加的，由第二种形
8、式可见 s2nu1于是，根据单调有界数列必 有极限的准则知道，当 n 无限增大时，s2n趋于一个极限 s，并且 s 不大于 u1：=su12limnns 再证明前 2n+1 项的和 s2n+1的极限也是 s事实上，我们有 s2n+1=s2n+u2n+1由条件（2）可知 ，因此21lim0nnu=s21limnns221limnnnsu由于级数的前偶数项的和与奇数项的和趋于同一极限 s，故级数的部分和 sn当时具有极限 s这就证明了级数收 111n n nun 111n n nu敛于和 s，且 su1最后，不难看出余项 rn可以写成 rn=（un+1un+2 ）其绝对值 un+1un+2 ，nr
9、 上式右端也是一个交错级数，它也满足收敛的两个条件，所以其和小于级数的第一项，也就是说 证明完毕nr1nu例例 1 判断交错级数的敛散性 111nnn解 因为： ；1nun11 1nun1limlim0nnnun由交错级数的莱布尼兹判别法可知该级数收敛 三、 绝对收敛与条件收敛定义定义 2 如果级数 n n=1u.nuuu 其中（n=1，2，）可正，可负的每一项的绝对值所构成的级数nu12 1.nn nuuuu收敛，则称原级数绝对收敛例例 2 判断级数 是否绝对收敛 12 111nnn解 因为，此级数为 p级数（p=21）是收敛的， 122 11111nnnnn所以原级数是绝对收敛的定义定义
10、3 如果级数 收敛，而级数n n=1u.nuuu 发散，则称级数12 1.nn nuuuu为条件收敛n n=1u.nuuu 例例 3判断级数是否条件收敛 1111nnn解 因为级数是交错级数，满足莱布尼兹判别法条件，所以它 1111nnn是收敛的但是调和级数，是发散的，故原级数 111111nnnnn为条件收敛 1111nnn定理定理 2 如果级数绝对收敛，则级数必定收敛n 1unn 1un该定理告诉我们：该定理告诉我们：对于一般的级数，如果我们能够用正项级数的收敛性n 1un判断方法判定级数收敛，则级数收敛，这使锝一大类级数的收敛性1n nun 1un判定问题，转化成为正项级数的收敛性判定问
11、题例例 4判定级数的收敛性2 1sinnnn解解 因为，而级数收敛，所以级数也收敛，2sin nn21 n2 11nn2 1sinnnn由定理 2 知，级数收敛2 1sinnnn习题 521 用比较判别法判定下列各级数的敛散性（1） （2）2 11 1nn2 1121nn（3） （4）21sin4nnn 112 sin3n n n2 用比值判别法判定下列各级数的敛散性（1） （2）11 21nn 15nn nn n （3） （4）11sin2nnn11000nnn3 用根值判别法判定下列各级数的敛散性（1） （2）131nnn n11ln1n nn（3） （4）2112nn nn n 13 1
12、nn ne判断下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）2221111.357（2）1111.234（3） 111111.1.35721n n （4）1111.2ln23ln34ln45ln5（5） 11112nn nn（6） 111sinnn nn 553 幂级数幂级数一一 、函数项级数的概念、函数项级数的概念 如果给定一个定义在区间 I 上的函数列 123,.,.,nuxuxuxux则由这函数列构成的表达式（1） 123.nuxuxuxux则称为定义在区间 I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数对于每一个确定的值I，函数项级数（1）成为常数项级数0x（2） 10
13、20300.nuxuxuxux这个级数（2）可能收敛也可能发散如果（2）收敛，我们称点是函数0x项级数（1）的收敛点；如果（2）发散，我们称点是函数项级数（1）的发散0x点函数项级数（1）的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有发散点的全体 称为它的发散域 对应于收敛域内的任意一个数，函数项级数成为一收敛的常数项级数，x因而有一确定的和 s，这样，在收敛域上，函数项级数的和是的函数，x s x通常称为函数项级数的和函数，该函数的定义域就是级数的收敛域，并写 s x成 123.ns xuxuxuxux把函数项级数（1）的前 n 项的部分和记作，则在该收敛域上有 nsx limnnsxs x 我们仍把叫做函数项级数的余项（当然，只有在收 nnrxs xsxx敛域上才有意义） ，于是有 nrx lim0nnrx 二、二、 幂级数的概念及其收敛性幂级数的概念及其收敛性1 幂级数的概念幂级数的概念 函数项级数中简
