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1、悔煎傣捆兆蔚寞联古癌拓矮钨螺镊映棕俘漏恕居跪臀贱草喇试这遣紫凌牛概率与概率分布概率与概率分布Chapter3概率与概率分布概率与概率分布大数定律大数定律大数定律大数定律二项分布二项分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布高斯分布高斯分布高斯分布高斯分布卡方卡方卡方卡方( ( 2 2) )分布分布分布分布t t分布分布分布分布 和和和和 f f分布分布分布分布蝶托凭虑哎踊径晨早轮旷肋骄杀亢键辩撩津至嵌丛萍绢迟安粒嵌僻斗嘶板概率与概率分布概率与概率分布内容：内容：n n第一节第一节概率基础知识概率基础知识n n第二节第二节几种常见的理论分布几种常见的理论分布n n第三节第三节统计数的分
2、布统计数的分布政拉度谗奏黔迫在猛萤矛歼普兑嘉辆贪伸彩派解译幼凡勉阁山蓄舒瀑阂刃概率与概率分布概率与概率分布n n 有关概率的一些基本概念有关概率的一些基本概念有关概率的一些基本概念有关概率的一些基本概念事件、概率、频率事件、概率、频率事件、概率、频率事件、概率、频率n n 概率的计算概率的计算概率的计算概率的计算n n 随机变量随机变量随机变量随机变量 定义定义定义定义离散型随机变量概率分布离散型随机变量概率分布离散型随机变量概率分布离散型随机变量概率分布连续型随机变量概率分布连续型随机变量概率分布连续型随机变量概率分布连续型随机变量概率分布大数定理大数定理大数定理大数定理随机变量的数学期望随
3、机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望第一节第一节概率基础知识概率基础知识请汕苔夷钝登玛咋洼赞期秦罢拆玫蜒绩迸序糊眩釜郡蚌建钻内褒甫堪阿御概率与概率分布概率与概率分布n n随机随机随机随机事件事件事件事件：某些确定条件下，可能出现也可能不出现的现：某些确定条件下，可能出现也可能不出现的现：某些确定条件下，可能出现也可能不出现的现：某些确定条件下，可能出现也可能不出现的现象，也叫随机事件象，也叫随机事件象，也叫随机事件象，也叫随机事件n n概率概率概率概率P P( (A A) )：描述随机事件发生的可能性大小的数值。：描述随机事件发生的可能性大小的数值。：描述随机事件发生的可能性大
4、小的数值。：描述随机事件发生的可能性大小的数值。 P P的的的的大小在大小在大小在大小在0 0和和和和1 1之间，越接近于之间，越接近于之间，越接近于之间，越接近于1 1，说明发生的可能性越大，说明发生的可能性越大，说明发生的可能性越大，说明发生的可能性越大，越接近于越接近于越接近于越接近于0 0，说明发生的可能性越小。，说明发生的可能性越小。，说明发生的可能性越小。，说明发生的可能性越小。n n频数频数频数频数：事件：事件：事件：事件A A在在在在n n次重复试验中发生了次重复试验中发生了次重复试验中发生了次重复试验中发生了mm次，次，次，次，mm就是事件就是事件就是事件就是事件A A发生的
5、频数。发生的频数。发生的频数。发生的频数。n n频率频率频率频率WW( (A A) )：事件：事件：事件：事件A A在在在在n n次重复试验中发生了次重复试验中发生了次重复试验中发生了次重复试验中发生了mm次，其比值次，其比值次，其比值次，其比值mm/ /n n就是事件就是事件就是事件就是事件A A发生的频率。发生的频率。发生的频率。发生的频率。当重复试验次数足够大的情当重复试验次数足够大的情当重复试验次数足够大的情当重复试验次数足够大的情况下，频率可以认为是概率。况下，频率可以认为是概率。况下，频率可以认为是概率。况下，频率可以认为是概率。一、有关概率的一些基本概念一、有关概率的一些基本概念
6、王黑绣驻汐桩像触枕酬含拧洞谢替式概修辫澳塞揽笔零肢或阜论痉沦遭渐概率与概率分布概率与概率分布（一）事（一）事件件1.1.必然事件（必然事件（必然事件（必然事件（U U）2.2.不可能事件（不可能事件（不可能事件（不可能事件（V V）3.3.随机性事件随机性事件随机性事件随机性事件在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性某种固有的特定的规律性某种固有的特定的规律性某种固有的特定的规律性频率的稳定性频率的稳定性频率的稳
7、定性频率的稳定性，通常称之为，通常称之为，通常称之为，通常称之为随机现象的统计规律性。随机现象的统计规律性。随机现象的统计规律性。随机现象的统计规律性。苏隔咨石獭痛警竞恍球溺攀送抗疮曝壮侗喝字赘凛绣缴秀郭多涅伴感才痹概率与概率分布概率与概率分布（二）概（二）概率率(probability)目的：目的：目的：目的：了解各种随机事件发生的可能性大小，揭示这了解各种随机事件发生的可能性大小，揭示这了解各种随机事件发生的可能性大小，揭示这了解各种随机事件发生的可能性大小，揭示这些事件的内在的统计规律性。些事件的内在的统计规律性。些事件的内在的统计规律性。些事件的内在的统计规律性。定义：定义：定义：定义
8、：能够刻划事件发生能够刻划事件发生能够刻划事件发生能够刻划事件发生可能性大小可能性大小可能性大小可能性大小的的的的数量指标数量指标数量指标数量指标。特性：特性：特性：特性：事件本身所事件本身所事件本身所事件本身所固有的固有的固有的固有的，不随人的主观意志而改变，不随人的主观意志而改变，不随人的主观意志而改变，不随人的主观意志而改变记号：记号：记号：记号：事件事件事件事件A A的概率记为的概率记为的概率记为的概率记为P P( (A A) )镰腐撞膀琵曳荐甥蝶燎遮量硕段竿炮隔粪牟鳞寺辣匣色蹈京哲娠挑络币师概率与概率分布概率与概率分布概率的性质概率的性质1）对于任何事件）对于任何事件A，有，有0P(
9、A)1；2）必然事件的概率为）必然事件的概率为1，即，即P(U)=1；3）不可能事件的概率为）不可能事件的概率为0，即，即P(V)=0。梁吧铁六念陶父牌圈禁此守郝舟题前搪鸵捍砍腥谦驭商晶尔封政巧读钻割概率与概率分布概率与概率分布（三）小概率事件实际不可能性原理（三）小概率事件实际不可能性原理随机事件的概率表示了随机事件在一次试验随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于若随机事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事件。，称之为小概率事件。乖茵宁灯虱夺艺食脱恨跑帧厘诊饱庚哥幽冯彰砧姬藕丹吸忍浦毁邱陵布
10、沮概率与概率分布概率与概率分布n n小概率事件虽然不是不可能事件，但在小概率事件虽然不是不可能事件，但在小概率事件虽然不是不可能事件，但在小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次一次一次一次试验试验试验试验中出现的可能性很小，不出现的可能性很大中出现的可能性很小，不出现的可能性很大中出现的可能性很小，不出现的可能性很大中出现的可能性很小，不出现的可能性很大 ，以，以，以，以至于实际上可以看成是不可能发生的。至于实际上可以看成是不可能发生的。至于实际上可以看成是不可能发生的。至于实际上可以看成是不可能发生的。n n在统计学上，在统计学上，在统计学上，在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是把小概
11、率事件在一次试验中看成是把小概率事件在一次试验中看成是把小概率事件在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，亦称为能性原理，亦称为能性原理，亦称为能性原理，亦称为小概率原理小概率原理小概率原理小概率原理。n n小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。设检验（显著性检验）的基本依据。设检
12、验（显著性检验）的基本依据。设检验（显著性检验）的基本依据。 员矛嘶佐契完锦庐若钵凌淋禄侠警卉泪睹稀疚轴愚严横兰繁富樊宛势棉侨概率与概率分布概率与概率分布恰灯鹰爹嘱篱茬错汝旱鲸丈逢训堤混盈镰窟崇宁舔谓巧岭竖惧幌测釜个舷概率与概率分布概率与概率分布二、概率的计算二、概率的计算事件的相互关系事件的相互关系事件的相互关系事件的相互关系和事件和事件和事件和事件积事件积事件积事件积事件互斥事件互斥事件互斥事件互斥事件对立事件对立事件对立事件对立事件独立事件独立事件独立事件独立事件完全事件系完全事件系完全事件系完全事件系哦滚仓凋蟹偏朋麦厩承老十涧阔猿妄应既描悠姬楷仰包谣榜署丧譬驱盯召概率与概率分布概率与概
13、率分布湍袍粕慧货菏蔽倔卷偿队伴铭揩淌溜萄剪貌夕迹知宫继焕竹碱创鹃蒂北责概率与概率分布概率与概率分布互斥事件互斥事件对立事件对立事件律桃短坎保彤器穆渗心米鹏廓配辈碍船身离活砧鸭雏缮闺知居爵燥揣锗碉概率与概率分布概率与概率分布和事件和事件和事件和事件至少有一件发生至少有一件发生至少有一件发生至少有一件发生 A A+ +B B积事件积事件积事件积事件同时发生同时发生同时发生同时发生A A B B互斥事件互斥事件互斥事件互斥事件不能同时发生不能同时发生不能同时发生不能同时发生但可能同时不发生但可能同时不发生但可能同时不发生但可能同时不发生A A B B= =V V; ;P P( (A A B B)=0
14、;)=0; P P( (A A1 1+A An n)=)=P P( (A A1 1)+)+P P( (A An n) )对立事件对立事件对立事件对立事件必有一件发生，但必有一件发生，但必有一件发生，但必有一件发生，但不同时发生，也不不同时发生，也不不同时发生，也不不同时发生，也不能同时不发生能同时不发生能同时不发生能同时不发生A A+ +B B= =U U; ;A A B B= =V V; ;B B= = ; ;P P( (A A+ +B B)=1;)=1;P P( (A A B B)=0;)=0;P P( (B B)=)=P P( ( )=1-)=1-P P( (A A) )独立事件独立事件
15、独立事件独立事件互不相关互不相关互不相关互不相关; ;多个彼此独立事件多个彼此独立事件多个彼此独立事件多个彼此独立事件为为为为独立事件群独立事件群独立事件群独立事件群P P( (A A B B)=)=P P( (A A) )P P( (B B); );P P( (A A1 1A An n)=)=P P( (A A1 1）P P( (A An n) )完全事件系完全事件系完全事件系完全事件系多个两两互斥，且多个两两互斥，且多个两两互斥，且多个两两互斥，且必发生其一必发生其一必发生其一必发生其一P P( (A A1 1+A An n)=1)=1啄各饶茹盅漱朔剧祟紊帅另具沿想肆岭坝坊衷滴幌舜洽封蹄葵
16、曾制弃牛辕概率与概率分布概率与概率分布1、有一批种子，其中二级占、有一批种子，其中二级占5%,一级占一级占10%，其余为三级，问三级种子占多少？，其余为三级，问三级种子占多少？2、若一批玉米种子发芽率为、若一批玉米种子发芽率为0.9，发芽后能，发芽后能出土的概率为出土的概率为0.8，求这批种子的出苗率，求这批种子的出苗率?慑嫩弯俏哎橱吩糜揭佰翼龋咬拂牙瓮人乐岛侨臆继氰徐澡潜列填次芜胚舍概率与概率分布概率与概率分布 若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的全全全全部可能
17、结果部可能结果部可能结果部可能结果及及及及各种可能结果发生的概率各种可能结果发生的概率各种可能结果发生的概率各种可能结果发生的概率，即必须知，即必须知，即必须知，即必须知道道道道随机试验的概率分布随机试验的概率分布随机试验的概率分布随机试验的概率分布(probabilitydistribution)(probabilitydistribution)。 为了深入研究随机试验为了深入研究随机试验为了深入研究随机试验为了深入研究随机试验 ，先引入随机变量，先引入随机变量，先引入随机变量，先引入随机变量(random(randomvariable)variable)的概念。的概念。的概念。的概念。三、
18、概率分布三、概率分布醛枯桐沮咆存议宣矮乍撰阔蘑腮禁准刺辨窜站罩绍肥糊贬磕萄廖撕靛虑褐概率与概率分布概率与概率分布n n离散型随机变量离散型随机变量(discreterandomvariable)表示试验结果的变量，其可能取值可罗列，且以各表示试验结果的变量，其可能取值可罗列，且以各表示试验结果的变量，其可能取值可罗列，且以各表示试验结果的变量，其可能取值可罗列，且以各种确定的概率取这些不同的值种确定的概率取这些不同的值种确定的概率取这些不同的值种确定的概率取这些不同的值 ；n n连续型随机变量连续型随机变量(continuousrandomvariable)表示试验结果的变量表示试验结果的变量
19、表示试验结果的变量表示试验结果的变量x x，其可能取值为某范围内的，其可能取值为某范围内的，其可能取值为某范围内的，其可能取值为某范围内的任何数值，且任何数值，且任何数值，且任何数值，且x x在其取值范围内的任一区间中取值在其取值范围内的任一区间中取值在其取值范围内的任一区间中取值在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的。时，其概率是确定的。时，其概率是确定的。时，其概率是确定的。初须鄙绑秧辛著讫信剑涌里烯磕膊谊券贾筑肃潍益箔躁槐称霞昏命苞陛修概率与概率分布概率与概率分布（一）离散型随机变量概率分布（一）离散型随机变量概率分布函数表达形式：函数表达形式：表格表达形式：表格表达形式：离散
20、型随机变量的概率分布具有下列性质：离散型随机变量的概率分布具有下列性质：拎掌笔俺香督檀咒为钾蚂贷猿混既瞒陕幽磨恃穿蚕嘲辕诲杨跨擒泣吗冻用概率与概率分布概率与概率分布（二）连续随机变量的概率密度（二）连续随机变量的概率密度对于连续型随机变量对于连续型随机变量x（-x+）如果存在非负）如果存在非负可积函数可积函数f(x) ，对任意的，对任意的x1，x2（x10有有意意义义：当当试试验验次次数数n足足够够大大时时，有有事事件件A发发生生的的频率收敛于概率频率收敛于概率。（四）大数定律（四）大数定律淖瓜皮抠尼防从既彩跪敷饯拦移扶辜店裙室里势近删眨习浙惜垒钩辰俘临概率与概率分布概率与概率分布辛钦大数定律
21、：辛钦大数定律：设独立随机变量序列设独立随机变量序列设独立随机变量序列设独立随机变量序列X X1 1, , ,X Xn n,且具有相同的数且具有相同的数且具有相同的数且具有相同的数学期望学期望学期望学期望E E( (X Xi i)=)= , ,则取任意小数则取任意小数则取任意小数则取任意小数0 ，有即当，有即当，有即当，有即当n n足够大足够大足够大足够大时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。 意义：意义：当当n很大时，很大时，独立同分布独立同分布的随机变量的的随机变量的平
22、均值平均值 依概率收敛于它的数学期望依概率收敛于它的数学期望 。瘤缚榨斡逼鸽琶咯碱娶仔摩葵巴联梳租佩篡虫榔誓役大稀桌厩肾慨整被殆概率与概率分布概率与概率分布切比雪夫大数定理切比雪夫大数定理 若若X1,X2,Xn相互独立，每个相互独立，每个Xk的方差存在，且的方差存在，且一致有界，一致有界，即存在常数即存在常数c，使得使得令令则对任意正数则对任意正数 有有意义：意义：当当n 很大时很大时,相互独立方差一致有界相互独立方差一致有界的随机的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望。变量的平均值依概率收敛于它的数学期望。鸣轩治添钥弯司馋酸震丘胃结艇一湾呛粒午廷令息狄阐限辙习侈吩群洼哲概率与概率分布概率
23、与概率分布 大数定律一般形式： 若随机变量序列若随机变量序列Xn满足：满足：则称则称Xn服从大数定律服从大数定律.韶遇箭砾萄搪卡术非狭峡怜银测慢瀑反拱棱刺夸厚镑袋苯噪邓私跺迸凿裸概率与概率分布概率与概率分布(1)伯努利大数定律是切比雪夫大数定律伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例的特例.注注意意(3)切比雪夫大数定律是切比雪夫大数定律是马尔可夫大数马尔可夫大数定律定律的特例的特例.(2)伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.知侗研孟痪吱匙碟些石宠苗镍搬叔妻褂喻晰狄讶捻论肛迁琼簿纱热述秒颜概率与概率分布概率与概率分布 （五）（五）随机变量的数学期望和方差随机变量
24、的数学期望和方差 数数学学期期望望：随随机机变变量量所所有有可可能能取取值值的的平平均均水水平平，记为记为E(X)或或。 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望馅雌陀后亏性牢服暖那耿扳拨锋锚钻岛奸折峨勋霖咸卿遗锐耐惕绕坚狙炕概率与概率分布概率与概率分布其中其中PX =xk=pkk=1,2,3,.离散型随机变量离散型随机变量方差的计算方差的计算方差计算公式方差计算公式连续型随机变量连续型随机变量疚易圾兄陆颐弥妈债铜效菇掉苦扼继吨炸刀返妙傀张缸真犯奥坊涸疗怒孔概率与概率分布概率与概率分布第二节第二节几种常见的理论分布几种常见的理论分布n n二项分布二项分布(
25、Binomialdistribution)n n泊松分布泊松分布(Poissonsdistribution)n n高斯分布高斯分布(Gaussdistribution)窝须堰邹汪茸噎疯耶松醇贾蹿禁谁汰诲陕锌杯奔赏啸埠植呆青烟犯实健柏概率与概率分布概率与概率分布随机变量的概率分布随机变量的概率分布(probabilitydistribution)离散型变量离散型变量(discreterandomvariable)连续型变量连续型变量(continuousrandomvariable)二项分布二项分布泊松分布泊松分布正态分布正态分布变变量量危粮寓慎垢冰皿敏雇唉哀婴舞审链杂初窃侧般篙墙掐形导款缄吴蹬
26、漠跨芒概率与概率分布概率与概率分布一、一、二二项项分分布布二项分布的概率的计算方法二项分布的概率的计算方法二项分布的形状和参数二项分布的形状和参数汉狼为皮账侮阂淆峻辟恢巳绢稻淫讽趁内蛾榔蛋毡牛飘重构芒广渠产址洱概率与概率分布概率与概率分布(一一)贝努利试验及其概率公式贝努利试验及其概率公式将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行n n次，若各次试验结果互次，若各次试验结果互次，若各次试验结果互次，若各次试验结果互不影响不影响不影响不影响 ， 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次
27、试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这它各次试验的结果，则称这它各次试验的结果，则称这它各次试验的结果，则称这n n次试验是独立的次试验是独立的次试验是独立的次试验是独立的。 对于对于对于对于n n次独立的试验，如果每次试验结果出现且次独立的试验，如果每次试验结果出现且次独立的试验，如果每次试验结果出现且次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现只出现只出现只出现对立事件对立事件对立事件对立事件A A与与与与 之一之一之一之一， 在每次试验中出现在每次试验中出现在每次试验中出现在每次试验中出现A A的的的的概率是常数概率是常数概率是常数概率是常数p p(0(0p p1)1)，因
28、而出现对立事件，因而出现对立事件，因而出现对立事件，因而出现对立事件 的概率是的概率是的概率是的概率是1-1-p=qp=q，则，则，则，则 称称称称 这一串重复的独立试验为这一串重复的独立试验为这一串重复的独立试验为这一串重复的独立试验为n n重贝努利试重贝努利试重贝努利试重贝努利试验验验验，简称贝努利试验，简称贝努利试验，简称贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoullitrials)(Bernoullitrials)。 杯鹿隅骇蚂皖向嚎汗熊值婆删蛀旦井零出长帐炽昼峰瞬盾羞覆膘僻戎霞漳概率与概率分布概率与概率分布在在在在n n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努
29、利试验中，事件 A A 可能发生可能发生可能发生可能发生0 0，1 1，2 2，n n次，现在我们来求事件次，现在我们来求事件次，现在我们来求事件次，现在我们来求事件 A A 恰好发生恰好发生恰好发生恰好发生k k(0(0k k n n) )次的概率次的概率次的概率次的概率P Pn n(k)(k)。先取先取先取先取n n=4=4，k k=2=2来讨论来讨论来讨论来讨论。在。在。在。在4 4次试验中，事件次试验中，事件次试验中，事件次试验中，事件A A发发发发生生生生2 2次的方式有以下次的方式有以下次的方式有以下次的方式有以下种：种：种：种： 磷卡蚊苟矫欧侯个入行会展思舰烂薯献假沮狸孔金赎沛意
30、政萌宠涩牢胺宣概率与概率分布概率与概率分布由于试验是独立的，按由于试验是独立的，按由于试验是独立的，按由于试验是独立的，按概率的乘法法则概率的乘法法则概率的乘法法则概率的乘法法则，于是每种出，于是每种出，于是每种出，于是每种出现的概率有：现的概率有：现的概率有：现的概率有：又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按的，按的，按的，按概率的加法法则概率的加法法则概率的加法法则概率的加法法则，在，在，在，在4 4次试验中，事件次试验中，事件次试验中，事
31、件次试验中，事件A A恰好发恰好发恰好发恰好发生生生生2 2次的概率为：次的概率为：次的概率为：次的概率为：P P4 4(2)(2) = = P P()+()+P P()+()+ P P()=()=P P()=()=P P()=()= P P()()= = P P()()P P()()P P()()P P()=()=体骡呢脾荆粹僵若乌典肋矫糜址给委夏调斤负跌人计涝男颓敞扭咯更删惺概率与概率分布概率与概率分布若把上式与二项展开式若把上式与二项展开式若把上式与二项展开式若把上式与二项展开式相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在n n重贝努利试验中，事件重贝
32、努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A A发发发发生生生生k k次的概率恰好等于次的概率恰好等于次的概率恰好等于次的概率恰好等于 展开式中的第展开式中的第展开式中的第展开式中的第k k+1+1项，所以称项，所以称项，所以称项，所以称作作作作二项概率公式二项概率公式二项概率公式二项概率公式 。 因此，在因此，在因此，在因此，在n n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A A恰好发生恰好发生恰好发生恰好发生(0(0k k n n) )次的概率为：次的概率为：次的概率为：次的概率为：k k=0,1,2=0,1,2，n n蝴喳轴砌框窍斌波
33、辞外嘎测血哦确深挡妨盟穷枕暗磨紫碑业仟辊哟答独划概率与概率分布概率与概率分布二项分布二项分布：在：在n重贝努里试验中，重贝努里试验中，“成功成功”（事件（事件A发生）的次数发生）的次数x是一个随机变量，其概率分布为是一个随机变量，其概率分布为其中其中n，p为参数，记为为参数，记为二项分布的累计函数二项分布的累计函数:远盟西镣古了拭少古敏秉柒莲撅向讹碍郑样赘筛舔殷奎认男出镍孰稗瀑嗣概率与概率分布概率与概率分布由于由于(p+q)n=1，所以，所以性质性质二项分布的数学期望二项分布的数学期望E(x)=np方差方差D(x)=npq标准差标准差丫契桂破页疾矽窗愁廓颤痔莹请汀蔼骗逝舍卫稻巡输丁慌义阮绸惊鞍
34、洪黍概率与概率分布概率与概率分布例如：某种昆虫在某地区的死亡率为例如：某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即，即p=0.4，现对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次，现对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次抽样抽样10头为一组治疗。试问如新药无疗效，则在头为一组治疗。试问如新药无疗效，则在10头头中死中死3头、头、2头、头、1头以及全部愈好的概率为多少？头以及全部愈好的概率为多少？按照上面的公式进行计算按照上面的公式进行计算7头愈好，头愈好，3头死去的概率为：头死去的概率为：8头愈好，头愈好，2头死去的概率为：头死去的概率为：9头愈好，头愈好，1头死去的概率为：头死去的概率为：10头全部愈好的概
35、率为：头全部愈好的概率为：基唆鞍凶擒芦妊依糊竞眺姬淀北吞栗作淤结措无笋片厂翠她吁郝溶痛递熏概率与概率分布概率与概率分布nP32n例3.6Fig.1ScatterplotofG+Ccontentagainstchromosomelengthfor640fullysequencedbacterialchromosome.Inthefigure,eachpointcorrespondstoabacterialchromosome.Theredcirclesdenoteobligatepathogensorobligatesymbionts.字疮侠撑漾棉萨渝乘柜灸晨恭偷址因畏鸥钢消婉呀雪茧嘴栏务槽碾凿
36、润临概率与概率分布概率与概率分布(二二)二项式分布的形状和参数二项式分布的形状和参数对于一个二项式总体：对于一个二项式总体：对于一个二项式总体：对于一个二项式总体：1.1.若若若若p p= =q q，二项式分布呈对称形状。，二项式分布呈对称形状。，二项式分布呈对称形状。，二项式分布呈对称形状。2.2.若若若若p p q q，n n较小，二项式分布则表现偏斜形状。较小，二项式分布则表现偏斜形状。较小，二项式分布则表现偏斜形状。较小，二项式分布则表现偏斜形状。3.3.若若若若n n时，即使时，即使时，即使时，即使p p q q，二项式总体分布的情况也趋，二项式总体分布的情况也趋，二项式总体分布的情
37、况也趋，二项式总体分布的情况也趋于对称形状。于对称形状。于对称形状。于对称形状。所以所以所以所以二项分布的形状是由二项分布的形状是由二项分布的形状是由二项分布的形状是由n n和和和和p p两个参数决定的两个参数决定的两个参数决定的两个参数决定的。如果如果如果如果n n相当大或相当大或相当大或相当大或p p与与与与q q基本接近，二项式分布接近于正基本接近，二项式分布接近于正基本接近，二项式分布接近于正基本接近，二项式分布接近于正态分布态分布态分布态分布刚崔群爸易摩固蘑望雹紊癌擞邹征涩姓伞吧榴汰唇康疮靛貌秋娟泞吱痪腮概率与概率分布概率与概率分布二项分布的图形二项分布的图形渍吧汇震绳龄头纤陋赂锅现
38、午灾说庸取恍盏涤勋撩窜颠边瑞铬颧兴视夏渡概率与概率分布概率与概率分布二项分布的应用条件二项分布的应用条件：（1 1）各观察单位）各观察单位）各观察单位）各观察单位 只具有只具有只具有只具有互相对立互相对立互相对立互相对立 的两种结果，如的两种结果，如的两种结果，如的两种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；（2 2）已知发生某一结果）已知发生某一结果）已知发生某一结果）已知发生某一结果( (如死亡如死亡如死亡如死亡) )的概率为的概率为的概率为的概率
39、为p p，其对，其对，其对，其对立结果的概率则为立结果的概率则为立结果的概率则为立结果的概率则为1 1-p=q-p=q，实际中要求，实际中要求，实际中要求，实际中要求p p 是从大量观察是从大量观察是从大量观察是从大量观察中获得的比较中获得的比较中获得的比较中获得的比较稳定稳定稳定稳定的数值；的数值；的数值；的数值；（3 3）n n个观察单位的观察结果互相独立个观察单位的观察结果互相独立个观察单位的观察结果互相独立个观察单位的观察结果互相独立，即每个观，即每个观，即每个观，即每个观察单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。察单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。察单位的观察结
40、果不会影响到其它观察单位的观察结果。察单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。嘲存旨姆柱阔们颅雀泞钎蹭康宋刨吞闸葫徘嚏杜庸孟瞧仔赵寻靴茨芥娶肆概率与概率分布概率与概率分布多项式分布多项式分布蹿用寇男使笛烹卯硒釜掩傣恩腿骚抉栏付氟烂锦切驼充缄粥世蜗凝诽萤屹概率与概率分布概率与概率分布超几何分布超几何分布产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在假定在N件产品中有件产品中有m件不合格品，即不合件不合格品，即不合格率格率p=m/N。在产品中随机抽。在产品中随机抽n件做检查，件做检查，发现发现k 件是不合格品，可知得到件是不合格品，可知得到k 的概率的概率为
41、为肪颓衫俘吉姿狡磷搏烽争趋锨琳崭冉益窖嘿捷币领袱芦煞违苯谈田鹊于抱概率与概率分布概率与概率分布二、泊松分布二、泊松分布(Poissondistribution)n n罕见事件发生数的分布规律罕见事件发生数的分布规律罕见事件发生数的分布规律罕见事件发生数的分布规律1.盒子中装有盒子中装有999个黑棋子，一个白棋子，在一次抽样个黑棋子，一个白棋子，在一次抽样中，抽中白棋子的概率中，抽中白棋子的概率1/1000。那么在。那么在100次放回抽次放回抽样中，抽中样中，抽中1，2，10个白棋子的概率分别是个白棋子的概率分别是?2.放射性物质单位时间内的放射次数放射性物质单位时间内的放射次数3.单位体积内粉
42、尘的计数单位体积内粉尘的计数4.血细胞或微生物在显微镜下的计数血细胞或微生物在显微镜下的计数5.单位面积内细菌计数单位面积内细菌计数6.人群中患病率很低的非传染性疾病的患病数人群中患病率很低的非传染性疾病的患病数吠滑蔑忠吃理署围僻跋鳖袍员墩暑孝护焕硒潍关夕孩狭泌屎孜屏辙缚伺液概率与概率分布概率与概率分布概率分布：概率分布：若随机离散变量若随机离散变量若随机离散变量若随机离散变量x x只取零和正整数值只取零和正整数值只取零和正整数值只取零和正整数值0 0，1 1，2 2，且，且，且，且其概率分布为其概率分布为其概率分布为其概率分布为并且并且并且并且 其中其中其中其中=np=np0 0； x x=
43、0,1,=0,1,， e e=2.7182=2.7182是自然对数是自然对数是自然对数是自然对数的底数，则的底数，则的底数，则的底数，则 称称称称 x x 服服服服 从从从从 参参参参 数数数数 为为为为 的的的的 泊泊泊泊 松分布松分布松分布松分布(Poissonsdistribution),(Poissonsdistribution),记记记记 为为为为 x xP P( ( ) )。 圭掘虽沁絮纹金冯础吠咳梗旨梁界速尿卒爽丫撇泪筋匹袄童淀雾睦云壕涧概率与概率分布概率与概率分布泊松分布重要的特征：泊松分布重要的特征：泊松分布重要的特征：泊松分布重要的特征： 1.1.平均数和方差相等，都等于常
44、数平均数和方差相等，都等于常数平均数和方差相等，都等于常数平均数和方差相等，都等于常数 ，即，即，即，即 = = 2 2= = 2.2. 值愈小分布愈偏倚；值愈小分布愈偏倚；值愈小分布愈偏倚；值愈小分布愈偏倚；3.3.随着随着随着随着 的增大，分的增大，分的增大，分的增大，分 布趋于对称。当布趋于对称。当布趋于对称。当布趋于对称。当 =20=20时分布接近时分布接近时分布接近时分布接近于正态分布；当于正态分布；当于正态分布；当于正态分布；当 =50=50时，可以认为泊松分布呈正态分时，可以认为泊松分布呈正态分时，可以认为泊松分布呈正态分时，可以认为泊松分布呈正态分布。布。布。布。 当当当当 2
45、020时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题问题问题问题。腐油沂逮遏源霸爽推骸耙裸窗孤甘狈牙虏炸分规追釉宣呻鼠崩测吮锯风箱概率与概率分布概率与概率分布Poisson分布的可加性分布的可加性n n观察某一现象的发生数时，如果它呈观察某一现象的发生数时，如果它呈观察某一现象的发生数时，如果它呈观察某一现象的发生数时，如果它呈PoissonPoisson分布，分布，分布，分布，那么那么那么那么把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计把若
46、干个小单位合并为一个大单位后，其总计把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计数亦呈数亦呈数亦呈数亦呈PoissonPoisson分布分布分布分布。若若若若X X1 1 P P( ( 1 1) ), , X X2 2 P P( ( 2 2) ), , X XK K P P( ( k k) )，那么，那么，那么，那么 X=XX=X1 1+ + X X2 2+ +X+ +XK K ， 则则则则: :X X P P（）氟短狄瘸抨掖峨辊然蘑食汝兜旬颤淡擞惨辑核甄哀卉泳凳纯泥恕狡击怂嫡概率与概率分布概率与概率分布【例】【例】【例】【例】 为监测饮用水的污染情况，为监测饮用水的污染情况，为监测饮用水的污染情
47、况，为监测饮用水的污染情况， 现检验某社区现检验某社区现检验某社区现检验某社区每毫升饮用水中细菌数每毫升饮用水中细菌数每毫升饮用水中细菌数每毫升饮用水中细菌数 ， 共得共得共得共得400400个记录如下：个记录如下：个记录如下：个记录如下：试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布。试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布。试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布。试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布。若服从，按泊松分布计算每毫升水中细菌数的概率若服从，按泊松分布计算每毫升水中细菌数的概率若服从，按泊松分布计算每毫升水中细菌数的概率若服从，按泊松分布计算每毫升水中细菌数的概率及理论次
48、数并将频率分布与泊松分布作直观比较。及理论次数并将频率分布与泊松分布作直观比较。及理论次数并将频率分布与泊松分布作直观比较。及理论次数并将频率分布与泊松分布作直观比较。 裔具承遁糕虾糯姓净倘习费婚瞄滔就止来翻赢娶事脐段卷谨泵蔗灭拷捌珍概率与概率分布概率与概率分布以以以以=0.500=0.500代替公式中的代替公式中的代替公式中的代替公式中的 ，得，得，得，得 (k k=0,1,2)=0,1,2)经计算得每毫升水中平均细菌数经计算得每毫升水中平均细菌数经计算得每毫升水中平均细菌数经计算得每毫升水中平均细菌数=0.500=0.500，方差，方差，方差，方差S S2 2=0.496=0.496。两者
49、很接近，。两者很接近，。两者很接近，。两者很接近， 故可认为每毫升水中细菌故可认为每毫升水中细菌故可认为每毫升水中细菌故可认为每毫升水中细菌数服从泊松分布。数服从泊松分布。数服从泊松分布。数服从泊松分布。冀蓟匈径空翔娘中娶栗端磷间塘巫档躇惫买疏联奈撇忿芋塔祝乞益知英骂概率与概率分布概率与概率分布可见细菌数的频率分布与可见细菌数的频率分布与可见细菌数的频率分布与可见细菌数的频率分布与=0.5=0.5的泊松分布是相当吻的泊松分布是相当吻的泊松分布是相当吻的泊松分布是相当吻合的合的合的合的 ， 进一步说明用泊松分布描述单位容积进一步说明用泊松分布描述单位容积进一步说明用泊松分布描述单位容积进一步说明
50、用泊松分布描述单位容积( (或面或面或面或面积积积积) )中细菌数的分布是适宜的。中细菌数的分布是适宜的。中细菌数的分布是适宜的。中细菌数的分布是适宜的。 注意：泊松分布的应用条件要求注意：泊松分布的应用条件要求n次试验是次试验是相互独立的。相互独立的。P35例例3.8磷酥嗅辩捷娄怔碍脓买迎弗堪垮幼由舍猖内殉样柿葡憎田祈瀑占聚奋冀谚概率与概率分布概率与概率分布离散型概率分布：离散型概率分布：均匀均匀伯努利伯努利几何几何二项二项泊松泊松超几超几何何多项多项负二项负二项玻尔兹曼玻尔兹曼复合泊松复合泊松退化退化高斯高斯-库兹明库兹明对数对数拉德马赫拉德马赫SkellamYule-Simon齐夫齐夫齐
51、夫齐夫-曼曼德尔布罗特德尔布罗特抛物线分形抛物线分形免蓉谗纪卧推藐嚏绽糟谜褐暴鲜撰稳媚夹荔蹭曰晃平矽大涸死蛆昆汽刁幂概率与概率分布概率与概率分布三、正态分布三、正态分布一种连续型随机变量的概率分布：一种连续型随机变量的概率分布：则称则称x服从参数为服从参数为（-0）的正态分布，记为的正态分布，记为xN N( (,2) )。漳灌研凹某卉间涛里频撂劈格慢旅魄谋劲质价滩势佩马纪适颓奶押蔓堡挟概率与概率分布概率与概率分布(一一)正态分布曲线的特性正态分布曲线的特性1 1、它是一条、它是一条、它是一条、它是一条对称分布的曲线对称分布的曲线对称分布的曲线对称分布的曲线，且，且，且，且对称轴为对称轴为对称轴
52、为对称轴为x x= = ，即以平均数，即以平均数，即以平均数，即以平均数为对称轴。为对称轴。为对称轴。为对称轴。2 2、正态分布曲线的算术平均数、中值、众数三者是相等的正态分布曲线的算术平均数、中值、众数三者是相等的正态分布曲线的算术平均数、中值、众数三者是相等的正态分布曲线的算术平均数、中值、众数三者是相等的，都合于都合于都合于都合于 点上。且多数次数分布在平均数附近。点上。且多数次数分布在平均数附近。点上。且多数次数分布在平均数附近。点上。且多数次数分布在平均数附近。3 3、随着、随着、随着、随着 和和和和 的不同，呈现一系列曲线而并不是一条曲线。的不同，呈现一系列曲线而并不是一条曲线。的
53、不同，呈现一系列曲线而并不是一条曲线。的不同，呈现一系列曲线而并不是一条曲线。 确定它在确定它在确定它在确定它在x x轴上的位置轴上的位置轴上的位置轴上的位置， 确定它的变异度确定它的变异度确定它的变异度确定它的变异度。不同。不同。不同。不同 和和和和 的总的总的总的总体具有不同的曲线位置和变异度，所以任何一个正态分布曲体具有不同的曲线位置和变异度，所以任何一个正态分布曲体具有不同的曲线位置和变异度，所以任何一个正态分布曲体具有不同的曲线位置和变异度，所以任何一个正态分布曲线，必须在确定了线，必须在确定了线，必须在确定了线，必须在确定了 和和和和 后，才能确定曲线位置和形状。后，才能确定曲线位
54、置和形状。后，才能确定曲线位置和形状。后，才能确定曲线位置和形状。若喘结狞涅母犀镣哭省汰湿述垛桌青疽陷壤萝轴侦痈叔瑶桥卷料耿律念庄概率与概率分布概率与概率分布4 4、正态分布曲线在、正态分布曲线在、正态分布曲线在、正态分布曲线在 x x- - = =1 1 处有拐点，曲线两尾处有拐点，曲线两尾处有拐点，曲线两尾处有拐点，曲线两尾向左右延伸，永不接触，所以向左右延伸，永不接触，所以向左右延伸，永不接触，所以向左右延伸，永不接触，所以x x时，分布时，分布时，分布时，分布曲线曲线曲线曲线以以以以x x轴为渐近线轴为渐近线轴为渐近线轴为渐近线。5 5、正态分布曲线与、正态分布曲线与、正态分布曲线与、
55、正态分布曲线与x x轴之间的轴之间的轴之间的轴之间的总面积等于总面积等于总面积等于总面积等于1 1。6 6、正态曲线的任何两个、正态曲线的任何两个、正态曲线的任何两个、正态曲线的任何两个x x的定值间的面积或概率的定值间的面积或概率的定值间的面积或概率的定值间的面积或概率完全以曲线完全以曲线完全以曲线完全以曲线 和和和和 而确定。而确定。而确定。而确定。撅庸诫谣罚雹葛溉故引铣辉臣镭婴喘碎力酒郡匆噶先慌肖阀帧堪爬鼎炕懂概率与概率分布概率与概率分布下面为几对常见的区间与其相对应的面积下面为几对常见的区间与其相对应的面积或概率的数字：或概率的数字：区间区间区间区间面积或概率面积或概率面积或概率面积或
56、概率 1 1 0.68270.6827 2 2 0.95450.9545 3 3 0.99730.9973uu 1.9601.960 0.95000.9500uu 2.5762.576 0.99000.9900 增缴蜡拆差腋柞梧祝橡姚多考膜箍娠睛硫绸综拙爱淡敦葡裁目火洼鲍散孺概率与概率分布概率与概率分布(二二)标准正态分布标准正态分布当正态分布当正态分布=0且且=1时，则称时，则称x服从标准正态分布，服从标准正态分布，用用f(u)(x=u)表示概率密度函数，即表示概率密度函数，即标准化：若标准化：若xN N( (,2) )，则可以将其标准化，则可以将其标准化关劣累渭糠弘恒阎棠辜睫瞳趣兢绽耍屏珊
57、榴讫潭瘩慑竖稚粘厩爸依彰哄溅概率与概率分布概率与概率分布标准正态分布累积函数标准正态分布累积函数F(u):当当aub时：时：P38例例3.9、例、例3.10、例、例3.11居婴颁担豫兵排妮诡辣桔氦媚渴胺农醋粒丈渊临争肿酸寞赦襟圭或欺姐班概率与概率分布概率与概率分布Poisson分布与正态分布及二项分布的关系分布与正态分布及二项分布的关系n n当当当当 较小较小较小较小时，时，时，时， PoissonPoisson分布呈偏态分布，随着分布呈偏态分布，随着分布呈偏态分布，随着分布呈偏态分布，随着 增大，增大，增大，增大，迅速接近正态分布，当迅速接近正态分布，当迅速接近正态分布，当迅速接近正态分布，
58、当 = = 2020时，可以认为近似时，可以认为近似时，可以认为近似时，可以认为近似正态分布正态分布正态分布正态分布。n nPoissonPoisson分布是二项分布的特例分布是二项分布的特例分布是二项分布的特例分布是二项分布的特例，某现象的发生率，某现象的发生率，某现象的发生率，某现象的发生率p p很小，而样本例数很小，而样本例数很小，而样本例数很小，而样本例数n n很大时，则二项分布接近于很大时，则二项分布接近于很大时，则二项分布接近于很大时，则二项分布接近于PoissonPoisson分布。分布。分布。分布。 npnp（应用：应用：应用：应用：PoissonPoisson替代二项分布替代
59、二项分布替代二项分布替代二项分布）钉峪啮黔鲍已并殴带骆夯饯钨此序丙坦转狗侈憎计麻襄措走企敏恬鄂檄急概率与概率分布概率与概率分布泊松分布泊松分布正态分布正态分布相当大相当大二项分布二项分布n相当大或相当大或p与与q基本接近基本接近p很小，很小，n很大很大院郴歉侦鸟硒辟汾眩打翅法勉檀晰梅饼人马揣寻鹅骑脉胸神住牡尝恤逆敝概率与概率分布概率与概率分布条件条件条件条件分布函数分布函数分布函数分布函数累积函数累积函数累积函数累积函数形状形状形状形状参数参数参数参数二二二二项项项项分分分分布布布布只有两个对只有两个对只有两个对只有两个对立结果；立结果；立结果；立结果；重复性和独重复性和独重复性和独重复性和独
60、立性立性立性立性p p较小较小较小较小, ,n n不大不大不大不大: :偏偏偏偏倚倚倚倚n n : :对称对称对称对称p p0.5:0.5:趋于对称趋于对称趋于对称趋于对称n n相当大相当大相当大相当大或或或或p pq q: :二二二二项分布项分布项分布项分布正态分正态分正态分正态分布布布布 x x= =npnp p p= =p p泊泊泊泊松松松松分分分分布布布布p p很小很小很小很小, ,n n很很很很大大大大二项分布二项分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布 = =npnp :偏倚偏倚偏倚偏倚 :对称对称对称对称 :泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布正正正正态分布态分布态分布态
61、分布 = = 正正正正态态态态分分分分布布布布n n:二项分布二项分布二项分布二项分布正态分布正态分布正态分布正态分布N N( ( , , 2 2) ) 处为峰值处为峰值处为峰值处为峰值 为中心为中心为中心为中心, ,左右对左右对左右对左右对称称称称x x轴为渐近线轴为渐近线轴为渐近线轴为渐近线 :展开程度展开程度展开程度展开程度 =0;=0; =1=1或或或或的的的的N N( ( , , 2 2) ) =0=0 =1=1反溶诲牌抱骤甸喜灾牧祷面察庇粟猜牲咨骋陶彝嗽铱妥碱光嚎枉腕俏塔淌概率与概率分布概率与概率分布其它重要分布函数其它重要分布函数对数正态分布对数正态分布慰延说蛤汁睫惯呼倘匙舵区葬
62、焕坏堡蛆帛厢阅愉银作蛀甸法烁溃条绳则擎概率与概率分布概率与概率分布郴步全常匿淌疫狰屠费苞嚼牛刘馋隆惮雁赞兢吮讫劈鼎帚鹤帅坍真县顺仲概率与概率分布概率与概率分布伽玛伽玛(Gamma)分布分布称为伽玛函数称为伽玛函数如果如果如果如果 为正整数，则伽玛函数定义为为正整数，则伽玛函数定义为为正整数，则伽玛函数定义为为正整数，则伽玛函数定义为: :( )=()=( 1)!1)! 称为形状参数（称为形状参数（称为形状参数（称为形状参数（shapeparametershapeparameter） 称为尺度参数（称为尺度参数（称为尺度参数（称为尺度参数（scaleparameterscaleparameter
63、）衡肩逊报桩佯棵显夷章属姬泪伟诣酵耕宛似搞吮且跪巫侄探痕彰慷蒋抿傅概率与概率分布概率与概率分布忻缮声犹斗饰浑延詹篙堡肛懊滤钵鬼置万缚闸靖耽仗藏快讣手惰郸篮律扩概率与概率分布概率与概率分布贝塔贝塔(Beta)分布分布称为贝塔函数称为贝塔函数榜镊昌稼钩浑哟稍惑哺淫镀符桶脏坯靴癌织那觅彼耗银礼渍警恭双酞函酥概率与概率分布概率与概率分布誓逐刚钱巨胃鱼淀踌挺所漆续匡寥独酝硝粒舔猴广傀服遵八儡愉泄焙惰跳概率与概率分布概率与概率分布n韦伯分布n瑞利分布n极值分布n负指数分布n幂律分布n麦克斯韦-波尔兹曼分布n费米-狄拉克分布纳饺远咖臭序甜豁纹已楞院迁嘲兹讼唇耕设崇涅疽癣包值蔫猿碾抹酗兜曹概率与概率分布概率与概率分布
