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1、数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法【知识点讲解】 一、数列的概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中每一个数叫作这个数列的项.项数有限的数列 叫有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列，数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（也称为首项），依此下去，通常记为简记为.123,na aaa na二、数列的通项公式1、定义：如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式 nannan来表示，我们把这个公式叫作这个数列的通项公式.( )()nf n nNa2、数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或
2、前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做na1na这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法. 3、注意事项 通项公式是数列的一种重要表示方法，但并不是所有数列都有通项公式，并且有些数列的通项公式并非唯一.例如：的通项公式可写为 ，还可以写成0,1,0,1,1( 1) 2nna 0,() 1,()nnan 为奇数为偶数若已知通项公式，可将代入，求出数列各项，还可以判断某数是否为该数列的项及哪12 3 ，一项. 三、数列与函数的关系在数列中，对于每一个正整数都有一个数与之对应，因此，在函数的意义下， na()n nNna数列可以看成是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的
3、函数，当自变量从 1 开N( )naf nn始依次取自然数时，所对应的一列函数值为，简记为.(1),(2),( ),fff n ( )f n四、数列的分类 （1）根据项数是有限还是无限来分有穷数列：项数有限的数列.无穷数列：项数无限的数列. （2）根据项的增减规律来分递增数列：从第二项起每一项都大于它的前一项.1nnaa递减数列：从第二项起每一项都小于它的前一项.1nnaa常数列：各项均相等的数列.1nnaa摆动数列：从第二项起，有些项大于前一项，有些项小于前一项，如：1, 1,0,3,2递增数列和递减数列统称为单调数列，非单调数列有摆动数列、常数列等. （3）根据任何一项的绝对值是否都小于某
4、一正数来分有界数列：若为常数）,|(nnNaM M 无界数列：若使得.,MRnN |naM五、数列的表示法 （1）列举法：如 2，4，6，8，.（2）图像法：用表示函数图像上一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，)( ,nn a( )yf x也可是有限的.（3）解析法：用通项公式表示，如32nna（4）递推公式法：用表示数列的后项与前项（前几项）关系的式子来表示数列.如，11a；1111,1n naaa 21111,2,32(2)nnnaaaana六、数列的前项和公式：n12nnSaaa（1）前项和与通项的基本关系为:nnSna11,(2),(1)nn nSSnSna七、数列的单调性（1）根
5、据定义：若，则为递增数列；若，则为递减数列；1nnaa na1nnaa na（2）作商比较：（前提是各项均为正数，），若，则递增（或减）.0na11(1)nn aa或 na八、数列的最值（1）若为最大项；若为最小项.11nnnnnaaaaa11nnnnnaaaaa（2）构造函数，先确定单调性，再求最值.【例题】例 1. 数列的一个通项公式是 。149161 ,2, 3,4,251017L1.提示：观察和对应项数的关系，不难发现22.1nnann，111122 22442222,552122993333,101031一般地，22.1nnann例 2. 数列的一个通项公式是 。K,54,43,32
6、,212. 。提示： 这类题应解决两个问题，一是符号,可考虑（-1）n或（-1) 1(1 nnan n1），二是分式，分子是 n，分母 n+1。故.1) 1(1 nnan n例 3.将正偶数按下表排成 5 列：第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第 1 行 2 4 6 8 第 2 行 16 14 12 10 第 3 行 18 20 22 24 28 26 则 2006 在第 行，第 列。 3第 251 行，第 4 列.提示：由题意知每列 4 个数，1003=4250+3,故 2006 在第 251 行。 又由奇数行的特点知应该是第 4 列。例4.已知an是递增数列，且对
7、任意 nN+，都有 an=n2+n 恒成立，则实数的取值范围是 。 4.。提示：常见的错解：an是一个特殊的3（，）二次函数，要保证在 n 取自然数时单调递增，只须-1，2即-2。本题错误的原因在于机械地套用了函数的性质， 忽略了数列的离散性的特点。正解 如图，只要-3 时就适合题意。23 2例 5.观察下列不等式：，112111123111312372L111122315L，由此猜想第个不等式为 .1115123312LLn5. 。提示：本题是归纳推理问题，注意到 3=22-1，7=23-111123212nnL1，15=24-1，1=，2=，故猜想：。2 24 2111123212nnL点
8、评：归纳推理的关键是找到式子变化的共同点和不同点。例 6.若数列an满足 an+1=则 a20的值是 ,76, ) 121(12)210(21 a aaaannnn 若6.提示：。751234366553621212777777aaaaa 8642-2y51015x012数列是周期为 3 的数列，. na2018 225 7aaa例 7.7.已知数列an中，an=，求数列an的最大项.* 15.6nnNn解:考察函数,因为直线为函数图象的渐近线,且函数在15.6115.615.6xyxx 15.6x 上单调递减，在上单调递减，所以当且最接近 15.6 且,15.615.6,15.6n n时,最
9、大,故最大,即第 16 项最大.*nNna16a例 8.8.设向量a a =（），b b =（）（），函数 a ab b在0，1上的最2 , x12 ,xnxnNy小值与最大值的和为，又数列满足：nanb1109)109()109(2) 1(21 121 LLnn nnbbbnnb（1）求证：；1 nan（2）求的表达式；nb（3），试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都nnnbacnckn有成立？证明你的结论.nckc解 （1）证明：a ab b =，因为对称轴 , ,y2)4(2xnx24nx所以在0，1上为增函数，。1)3()2(nnan（2）解：由1109)109()10
10、9(2) 1(21 121 LLnn nnbbbnnb得1109)109()109()2() 1(32 121 LLnn nbbnbn两式相减得，nn nnSbbbb 1 121)109(L当时， 1n111 Sb当2 时， n2 1)109(109 n nnnSSb即 21 )109(10112nnbnn（3）解：由（1）与（2）得nnnbac 21 )109(10122nnnn设存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立，knnckc当时， 2 , 1n121201023cccc当2 时，n1008)109(2 1nccn nn 所以当时，8nnncc1当时， 8nnncc1当时， 8nn
11、ncc1所以存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立 9knnckc例 9. . 数列的通项公式是 。19 199 1999 19999,10 100 1000 100001.an=.提示 101110nn19910 111,101010221999910111,10010010因此，an=.33199999910111,1000100010101110nn例 10. .数列an满足 a1=2，an+1=-，求 a2008。1 1na2.解 由 an+1=-，得 an+2=-=-=-.1 1na11 1na1 111na1nna aan+3= -=-=an，故 a2008=a6693+1=a
12、1=2。21 1na1 11nna a【巩固练习】 一填空题一填空题( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分) )1.1.数列，的通项公式的是 。1, 1,1, 1,1 1. 或或。提示：写成两种形式都对，an不能省掉。1( 1)nna 1 1nnan，为奇数 ，为偶数2. 的一个通项公式是 。2121,325 2. 提示：若把换成，同时首项 1 换成，规律就明显了。其一个通项应2;1nan1 22 42 2该为：2;1nan 3.在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中 数据的特点，用适当的数填入表中
13、空白（ ）内.年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （ ）145舒张压（水银柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ ）883.140,85。提示：观察上表规律，收缩压每次增加 5，舒张压相应增加 3 或 2，且是间隔出 现的，故应填 140,85。4已知数列，那么是这个数列的第 项. na1()(2)nanNn n1 1204.10.提示：令=，即 n2+2n-120=0,解得 n=10.1 (2)nan n1 1205.已知数列an的图像是函数图像上，当 x 取正整数时的点列，则其通项公式为 1yx。5. an=.提示：数列an对应的点列为(n,an),即有 an=。1 n1 n6.已知数列，它的最小项是 。 na22103nann6.2 或 3 项。提示：=2（n-）2-.故当 n=2 或 3 时，an最小。22103nann5 219 27. 已知数列满足，则 . na12a 1221n n naaa4a 7. 。提示：=
