全国数学建模竞赛论文2106721

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1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我

2、们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：0艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘 要本文首先分析了 HIV 病毒导致 CD4 丢失的生物机理，由

3、于二者间的相互作用极其 复杂，而且无法对各个相互作用进行定量的分析，没有办法以微观生物机制分析的方 式对治疗效果进行预测，故采用神经元算法，学习方法采用按时间序列进行数据交错 预测，通过训练学习达到目标误差后对整体进行预测，获得合理的数据，并对治疗效 果进行了恰当的判断。 在选择多种治疗方案时，采用灰色模型 GM(1,1)对附件 2 中数据的变化趋势进行预 测，虽然每个病人的测试数据都比较少，但是灰色模型对于贫数据预测较其它模型更 为精确，通过累加消除扰动的方式较精确地求出了数据的变化趋势，求出每组数据的 灰色指数模型参数 a,b 后，对其进行残差分析，得到可信的预测结果。通过分组后组 内求平

4、均的方式消除病人与病人之间的差异，得出了这 4 种疗法最多能维持 CD4 在 1000 左右（单位为：0.2/ml） ，还得出 CD4 在不同范围时四种疗法的优劣排名，其中疗 法 3 在经济和治疗效果方面都比较令人满意。 在问题二的基础上，考虑治疗艾滋病的经济因素，分别对治疗效果和经济因素赋 一个权重，由双目标规划变为一个单目标规划，然后根据灰色模型中求得的指数方程 预测了后十次检测的数据，并对照各个治疗费用分析了不同权值所应该选择的最优治 疗方案，根据较优的方法进行了效果预测。 在模型的拓展中，采用信号分析的思想，将 HIV 和 CD4 分别看作激励和响应，以 小信号分析的方式，将部分函数常

5、数化，进而推出了 HIV 和 CD4 的表达式的一些特性。关键字：神经网络 灰色模型 1一、问题的提出艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从 1981 年发现以来的 20 多年间，它 已经吞噬了近 3000 万人的生命。 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症” ，英文简称 AIDS，它是由艾滋病毒 （医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称 HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫 系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 的入侵中起着重要作用，当 CD4 被 HIV 感染而裂解时，其数量会急剧 减少，HIV 将迅速增加，导致 A

6、IDS 发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少要 有效地降低 CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。 迄今为止人类还没有找到能根治 AIDS 的疗法，目前的一些 AIDS 疗法不仅对人体 有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的 AIDS 疗 法。 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据。 ACTG320（见附件 1）是同时服用 zidovudine（齐多夫定） ，lamivudine（拉美夫定）和 indinavir（茚 地那韦）3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV

7、 的浓度（每毫升血液里的 数量） 。193A（见附件 2）是将 1300 多名病人随机地分为 4 组，每组按下述 4 种疗法中 的一种服药，大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度（这组数据缺 HIV 浓度，它的测试成本很 高） 。4 种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或 400mg didanosine（去羟基苷） ， 这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨） ； 600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine；600 mg zidovudine 加 400 mg didan

8、osine，再加 400 mg nevirapine（奈韦拉平） 。 完成以下问题： （1）利用附件 1 的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继 续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治 疗） 。 （2）利用附件 2 的数据，评价 4 种疗法的优劣（仅以 CD4 为标准） ，并对较优的疗 法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。 (3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60 美元，400mg didanosine 0.85 美元，2.25 mg zalcitabine 1.8

9、5 美元，400 mg nevirapine 1.20 美元。如果病人需要考虑 4 种疗法的费用，对（2）中的评价和预测 （或者提前终止）有什么改变。二、问题假设1.不考虑治疗药物相互之间的关系； 2.不考虑艾滋病发病中其药物作用的具体机理； 3.在比较不同治疗方案时仅以 CD4 的数据为判别标准； 4.假设 HIV 数值单位可以根据解题需要自行设定； 5.假设预测不同治疗方法时检测 CD4 值的周期为定值（8 周） ； 6.假设病人与病人之间没有免疫水平差别； 7.题中所给调查数据值得信赖；2三、参数设定：第 k 次测量时的 CD4 值；0X (k)：每个预测模式的初始值；X(0)S(k+1

10、)：k+1 时刻治疗的成本； ：病人对于疗效的权重； f(t)：CD4 影响 HIV 增长的比例系数；：描述 CD4 对 HIV 的杀伤程度的函数；( )f t四、问题的分析本问题研究的是分组预测的问题，根据艾滋病发病机理，由统计数据中每个艾滋 病人的患病情况，综合预测疾病的发展趋势。AIDS 的发病学目前仍在探索中，研究表 明 AIDS 的发展取决于病毒和宿主的相互作用。AIDS 的进程，也就是免疫缺陷的进程， 将决定于 CD4+T 细胞的绝对数目减少的速率，而后者取决于病毒存在的数量和持续时 间、CD4+T 细胞的死亡易感性以及 CD4+T 细胞的补充速率等因素。AIDS 的发展过程实 质

11、上是 HIV 对宿主免疫系统的不断破坏和宿主的免疫应答失去清除感染的 HIV 的动力 学过程。 几乎可以肯定：HIV 和 AID 发病机制的模式是“普遍性免疫活化细胞增殖活化 诱导细胞死亡（AICD）和自主性细胞凋亡（ACAD）细胞丢失” ，而不是“HIV 的直接 杀伤自稳性细胞增殖自主性细胞凋亡（ACAD）细胞丢失”模式。利用这一模式 可以解释 HIV 感染者临床所遇到的许多问题。 通俗说来，HIV 劫持了宿主细胞两台生死攸关的生物学机器，一台是细胞增殖机器， 另一台是细胞死亡机器，以服务于它自身的生存和复制。劫持细胞增殖机器用于病毒 自身的复制；劫持细胞死亡机器服务于病毒逃脱宿主免疫系统的

12、攻击。下图为 HIV 致 病机理简图：HIVCD4免疫系统自吞噬效应 促进凋亡由于活化而加 速产生 cd4以抗原形式活 化免疫系统无法正常识别反 而提供了生存空间图 1 已证实未经HAART抗病毒治疗的HIV/ AIDS 患者均可被检测出一定的病毒载量 (1E21E6拷贝/ml),随着疾病的进展,病毒载量逐渐升高,病毒载量与CD4+T淋巴细胞绝 对数量呈负相关(r=-0.899,P0 表示 CD4 会减少，a0 表示 CD4 会增加， a 越小说明该疗法越有效。由图可以看出四种疗法都最多将 log(CD4+1)的指维持在 3 左右，而且并非每一个个体都可以维持在 3 左右。 为了考察这四种疗法

13、在对于不同 CD4 量的情况下的治疗效果，我们按照 CD4 的变 化范围重新对数据进行分组求平均值，得到如下结果： 疗法分组灰色模型参数 a灰色模型参数 b该组 CD4 均值 A0.0452.3551.551 B0.0983.2572.8841 C0.0934.2283.858 A0.0912.1241.465 B0.0993.4032.8402 C0.0734.2293.86614A-0.1112.4171.699 B0.0763.4252.8063 C0.0684.3333.920 A0.1182.3801.528 B0.0553.4982.7764 C0.0444.3053.800 表

14、7 从该表中我们可以看出，在 CD4 量比较少时（大约 1.5 左右） ，疗法 3 最有效，在 CD4 大于 2.7 后，疗法 4 最有效。四种疗法的优劣排序如下表(A 优于 B 优于 C 优于 D)：CD4 疗法1.562.833.861BCD 2CDC 3ABB 4DAA 表 8 第三问： 此问题是在问题二的基础上添加了经济限制，这样就可以考虑分别给效果和经济消耗 赋一个权值，首先根据问题二中对每一种治疗方案都有一个表达其总体效果的函数表 达式，并且是由灰色预测所得到的指数方程：aka 0bX (k)e(1 e )X(0)a其中为第 k 次测量时的 CD4 值，而则是每个预测模式的初始值，

15、我们根据0X (k)X(0)数据的特点分为 3 类初始值，分别对应与不同的数据变化方式，现把初始值对应的上 述表达式的参数列表于下： 初始值 X(0)1.56 治疗方案1234 a 值0.05 0.09 -0.11 0.12 b 值2.35 2.12 2.42 2.38 初始值2.83 治疗方案1234 a 值0.10 0.10 0.08 0.06 b 值3.26 3.40 3.42 3.50 初始值3.86 治疗方案1234 a 值0.09 0.07 0.07 0.04 b 值4.23 4.23 4.33 4.30 表 9 我们认为艾滋病对于病人的疗效的体现就是 CD4 值的增减情况，而每一个检测时间段 都对应着一个 CD4 值 X(k+1)，同时也对应着这个时刻治疗的成本 S(k+1)，对于治疗方 案和相应药物的治疗费用全部给出：15药物名称zidodidzalnevir 日费用（美元）1.60.851.851.2表 10 上述表格为不同药物所对应的日费用，而题中给出了检测病人体内 CD4 的周期为 8 周 左右，为了计算了简便，可以认为检测周期就为 8 周，固由此可以得到一个周期内每 个治疗方案的总费用： 第一种68.6 第二种193.2